Векторное произведение

[ewert]

(Оффтоп)

terminator-II в сообщении #340095 писал(а):

Лягте на пол на спину разведите ноги.

не могу, у меня совсем не та ориентация

[terminator-II]

neo66 в сообщении #340098 писал(а):

Нет, я серьезно. Если нет объективного способа выбрать "правую" систему координат, то как они (т.е. физики) понимают друг друга? И откуда я знаю, что моя правая нога правая, а не левая?

строго говоря, ориентация вводится через отношение эквивалентности на множестве реперов, а что называть правым/левым это вопрос договоренности по произволу.

[ewert]

neo66 в сообщении #340098 писал(а):

И откуда я знаю, что моя правая нога правая, а не левая?

Откуда Вы -- не знаю, а я -- с детства твёрдо помню: у меня правый глаз с самого начала и на всю жизнь видит -- плохо, причём неисправимо. С тех пор я его (ну т.е. противоположный) всегда и прищуриваю, чтоб узнать -- правая, левая где сторона.

[neo66]

terminator-II в сообщении #340101 писал(а):

строго говоря, ориентация вводится через отношение эквивалентности на множестве реперов, а что называть правым/левым это вопрос договоренности по произволу.

Так и я ровно о том же. А, что, где нибудь в Париже, скажем, хранится эталон ПРАВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ? Я предлагаю в качестве эталона использовать глаз ewerta. Ну, естественно, с некоторыми дополнительными частями тела. Это нужно науке.

[JMH]

А не проще было бы не заниматься геометрической и физической интерпретацией, а рассматривать векторное произведение, как чисто алгебраическую операцию, удовлетворяющую тождеству Якоби и превращающую векторное пространство в Лиево кольцо? Тогда отпадет вопрос размерности, а ориентация троек векторов будет определяться группой симметрий базиса пространства?

[paha]

JMH в сообщении #340594 писал(а):

А не проще было бы не заниматься геометрической и физической интерпретацией, а рассматривать векторное произведение, как чисто алгебраическую операцию, удовлетворяющую тождеству Якоби и превращающую векторное пространство в Лиево кольцо? Тогда отпадет вопрос размерности, а ориентация троек векторов будет определяться группой симметрий базиса пространства?

Такая операция в $\mathbb{R}^3$ не является единственной. Ее еще нужно нормировать. И -- при чем тут конкретный базис?

-- Сб июл 24, 2010 10:19:28 --

Pixar в сообщении #339936 писал(а):

По идее, других ограничений быть не должно, но в определении векторного произведения почему-то даются ещё два ограничения:
1. $|\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin{\phi}$ - почему?
2. Тройка векторов {$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$} является правой - почему?

Эти требования продиктованы следующим:
выражение $(a\times b,c)$ должно совпадать с ориентированным объемом параллелограмма, натянутого на вектора $a,b,c\in\mathbb{R}^3$.

[JMH]

Я предполагал сравнивать ориентацию упорядоченной тройки $\vec x_3=\vec x_1\times\vec x_2 с ориентацией упорядоченной тройки векторов базиса $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$, но Вы правы, это чушь. Существует ли строго формальный способ задания ориентации n-ок векторов? Нельзя же каждый раз, для определения ориентации пользоваться частями тела :) terminator-II говорил об "отношении эквивалентности на множестве реперов", это что такое? Где можно прочитать?

[ewert]

JMH в сообщении #340657 писал(а):

Существует ли строго формальный способ задания ориентации n-ок векторов?

Существует, конечно (на вещественном линейном пространстве, конечно). Два базиса считаются эквивалентными, если определитель перехода от одного к другому положителен. Ориентация же -- это просто-напросто класс эквивалентности всех базисов по данному отношению эквивалентности.

[JMH]

Стало быть, ориентация векторного произведения все-таки определяется ориентцией базиса?

[ewert]

естественно. На то оно и псевдовектор.

[paha]

JMH
не базиса, а класса эквивалентности базисов

[ewert]

paha в сообщении #340685 писал(а):

не базиса, а класса эквивалентности базисов

это как-то вроде не в тему. Ориентация конкретного базиса -- и есть его принадлежность к одному из двух классов эквивалентности, не более и не менее.