Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[Лукомор]

Lyosha в сообщении #337460 писал(а):

А из того,что с каждым шагом число шаров возрастает на девять(высказывание А) не следует,что шары в корзине в полдень останутся(высказывание В).Мне было бы интересно взглянуть на доказательства того,что из А следует В,

А мне было бы интересно узнать:
1. Начиная с которого по счёту шага количество шаров в корзине начнёт уменьшаться;
и
2. Номер последнего вынутого из корзины шара перед наступлением полудня...

-- Ср июл 07, 2010 19:15:56 --

Lyosha в сообщении #337460 писал(а):

А из того,что с каждым шагом число шаров возрастает на девять(высказывание А) не следует,что шары в корзине в полдень останутся(высказывание В).Мне было бы интересно взглянуть на доказательства того,что из А следует В,

А мне было бы интересно узнать:
1. Начиная с которого по счёту шага количество шаров в корзине начнёт уменьшаться;
и
2. Номер последнего вынутого из корзины шара перед наступлением полудня...

master в сообщении #337738 писал(а):

А это смотря какое растояние будите расматривать.

Расстояние задано условием задачи - оно определяется по формуле геометрической прогрессии...

[Lyosha]

Лукомор!Во-первых,если из А следует В,то это не значит,что из В следует А.Во-вторых,предъявите наибольшее натуральное число.И в-третьих,укажите номер хотя бы одного из шаров,оставшегося в корзине.

master,натуральных чисел конечное число что ли?Если да,то самое большое число - тридцать первое,и больше не бывает!

[master]

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

master,натуральных чисел конечное число что ли?

нет, но и не бесконечное. Я это явление назвал "открытым множеством".

-- Чт июл 08, 2010 10:18:37 --

Лукомор в сообщении #337817 писал(а):

Расстояние задано условием задачи - оно определяется по формуле геометрической прогрессии...

Я помню.
Ахил, если по дороги не подвернет ногу и т.п. догонит черепаху. Но не всякий наблюдатель это зафиксирует. Ограниченый в чем либо наблюдатель просто не сможет зафиксировать этот момент. Но возможно ли существование такого наблюдателя?

[Lyosha]

master,у Вас выходит так:натуральных чисел не конечное число и не бесконечное.При том,что бесконечное число - это не конечное число,получаем:Вы сами себе противоречите.

[Someone]

master в сообщении #337867 писал(а):

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

master,натуральных чисел конечное число что ли?

нет, но и не бесконечное. Я это явление назвал "открытым множеством".

Прошу прощения за вмешательство. Но раз пошла такая пьянка - предъявите определения конечного и бесконечного множеств.

[Лукомор]

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

Во-первых,если из А следует В,то это не значит,что из В следует А.

Конечно нет!
Это означает только то, что ответов на свои вопросы я не дождусь...

-- Чт июл 08, 2010 13:49:31 --

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

Во-вторых,предъявите наибольшее натуральное число.

Вот это и был мой второй вопрос...

-- Чт июл 08, 2010 13:56:00 --

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

И в-третьих,укажите номер хотя бы одного из шаров,оставшегося в корзине.

Только после Вашего ответа на мой первый вопрос:
"1. Начиная с которого по счёту шага количество шаров в корзине начнёт уменьшаться;"

-- Чт июл 08, 2010 14:04:00 --

master в сообщении #337867 писал(а):

Ограниченый в чем либо наблюдатель просто не сможет зафиксировать этот момент. Но возможно ли существование такого наблюдателя?

Всё возможно! У нас тут каждый второй наблюдатель в чём-либо ограничен...
Радует только одно: Там, где всё можно рассчитать, наблюдатель не требуется вовсе...

[master]

Someone в сообщении #337938 писал(а):

Прошу прощения за вмешательство. Но раз пошла такая пьянка - предъявите определения конечного и бесконечного множеств.

пример бесконечного множества - множество отрезков на данной прямой
пример открытого множества - множество отрезков последовательно откладываемых от точки отсчета.
пример конечного множества - множество отрезков отложеных от точки отсчета, множество отрезков на отрезке.

[ewert]

master в сообщении #337964 писал(а):

пример бесконечного множества - множество отрезков на данной прямой
пример открытого множества - множество отрезков последовательно откладываемых от точки отсчета.
пример конечного множества - множество отрезков отложеных от точки отсчета, множество отрезков на отрезке.

Это круто и высшей степени оригинально. Однако во всех пунктах категорически противоречит обычной (сиречь заскорузлой или ретроградской) терминологии. Не исключено, конечно, что Ваш, новаторский вариант терминологии гораздо креативнее. Но судить об этом невозможно, ибо определений Вы, к сожалению, тщательно и заботливо избегаете...

[Lyosha]

Лукомор в сообщении #337956 писал(а):

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

И в-третьих,укажите номер хотя бы одного из шаров,оставшегося в корзине.

Только после Вашего ответа на мой первый вопрос:
"1. Начиная с которого по счёту шага количество шаров в корзине начнёт уменьшаться;"

Ни с какого!Только отрицательный ответ на этот вопрос не поможет Вам в обосновании Вашего тезиса о том,что шары в полдень останутся.Ибо высказывание о том,что количество шаров,начиная с некоторго шага,будет уменьшаться - является всего лишь достаточным условием пустоты ящика(при достаточной длительности этого процесса).Вам же надо доказать необходимость этого условия,чего сделано не было.

А вопросом на вопрос отвечать не всегда хорошо!

-- Чт июл 08, 2010 23:20:29 --

Лукомор в сообщении #337956 писал(а):

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

Во-первых,если из А следует В,то это не значит,что из В следует А.

Конечно нет!
Это означает только то, что ответов на свои вопросы я не дождусь...

Это означает,что А - достаточное условие для В,а В - необходимое условие для А.

[Лукомор]

Lyosha в сообщении #338099 писал(а):

Это означает,что А - достаточное условие для В

Необходимое и достаточное!
Я вот провёл такой (мысленный) эксперимент.
Привинтил к корзине считыватель, который будет считывать номера шаров, и простенький счётчик, который будет прибавлять число $1/N$ в тот момент, когда шар с номером $N$ будет попадать в корзину,
и вычитать то же число при извлечении того же шара из корзины.
Получается ряд:
$ 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4+ \frac 1 5 + \frac 1 6 + \frac 1 7 + \frac 1 8 + \frac 1 9 + \frac 1 {10} -1 +$
$ \frac 1 {11} + \frac 1 {12} + \frac 1 {13} + \frac 1 {14}+ \frac 1 {15} + \frac 1 {16} + \frac 1 {17} + \frac 1 {18} + \frac 1 {19} + \frac 1 {20} - \frac 1 2 + $
$ \frac 1 {21} + \frac 1 {22} + \frac 1 {23} + \frac 1 {24}+ \frac 1 {25} + \frac 1 {26} + \frac 1 {27} + \frac 1 {28} + \frac 1 {29} + \frac 1 {30} - \frac 1 3 + ... $
Так вот, вы будете смеяться, но сумма этого ряда будет больше нуля, а именно $\ln 10=2.3026...$,
в то время, как по Вашей логике она должна быть равна нулю...
Таким образом порядок следования шаров имеет большое значение...

[Lyosha]

Lyosha в сообщении #338099 писал(а):

Лукомор в сообщении #337956 писал(а):

Lyosha в сообщении #337845 писал(а):

И в-третьих,укажите номер хотя бы одного из шаров,оставшегося в корзине.

Только после Вашего ответа на мой первый вопрос:
"1. Начиная с которого по счёту шага количество шаров в корзине начнёт уменьшаться;"

Ни с какого!

Я на Ваш вопрос ответил.Где ответ на мой вопрос?

Ещё раз прошу:приведите доказательство необходимости уменьшения,начиная с некоторого шага,числа шаров в корзине

И к чему Вы привели пример с рядом?

[ewert]

(Оффтоп)

Lyosha в сообщении #338762 писал(а):

И к чему Вы привели пример с рядом?

К старому анекдоту.

"-- Раби, а почему у нас модно делать обрезание?
-- (жена, выскакивая из-за спины): Ну, во-первых, это красиво..."

[Лукомор]

Lyosha в сообщении #338762 писал(а):

И к чему Вы привели пример с рядом?

Пример с рядом я привёл к тому, что для каждого натурального $N$ в этом ряду существует ровно один член ряда, равный $1/N$ со знаком плюс, и точно такой же член того же ряда $1/N$ со знаком минус.
Что прибавили, то в последствии и отняли...

И несмотря на это, сумма ряда, при $N$ стремящемся к бесконечности, будет отличаться от нуля.

И это отличие будет тем больше, чем больше положительных членов будет приходиться на один отрицательный....

В корзине что-то да и останется.
И этого что-то будет бесконечно много...
Это собственно и ответ на ваш вопрос, в том числе.

[Lyosha]

Этот пример с рядом ни куда не годится.Например,в этом ряде можно переставить члены таким образом,что его сумма станет равной нулю.Кроме того,определение суммы ряда существенно опирается на понятие потенциальной бесконечности.При оперировании с бесконечными множествами эти множества считаются уже готовыми,т.е.используется понятие актуальной бесконечности.Два этих понятия существенно отличаются.

Вы заменили операцию вычитания одного множества из другого арифметической операцией вычитания их элементов.И мне сильно сдаётся,что только на основе одинаковости названий.По крайней мере,эквивалентность такой замены не показана.

Слёзно умоляю,приведите доказательство необходимости:за ручку,за ножку,хоть как-нибудь.

И в конце концов,номер хотя бы одного шара,оставшегося в ящике!

[Лукомор]

Lyosha в сообщении #338821 писал(а):

Этот пример с рядом ни куда не годится.Например,в этом ряде можно переставить члены таким образом,что его сумма станет равной нулю

Это задача Литллвуда никуда не годится.
Ведь шары тоже можно переставить так, что их количество в полдень действительно будет равно нулю.
Для этого:
за минуту до полудня кладём шар №1 в корзину и тут же вынимаем его обратно;
за полминуты до полудня кладём шар №2 в корзину и тут же вынимаем его обратно;
...
за $1/N$ минут до полудня кладём шар c номером N в корзину и тут же вынимаем его обратно.
В этом случае, мы приходим с вами к консенсусу, в полдень в корзине шаров нет !
И мой ряд в этом случае также имеет нулевую сумму:$1-1+2-2+3-3...=\ln1=0$
Если же мы будем укладывать в корзину каждый раз два шара, а вынимать один, то:
за минуту до полудня в корзине будет один шар (с номером 2);
за полминуты до полудня в корзине будет два шара (с номерами 3 и 4);
...
за $1/N$ минут до полудня в корзине будет N шаров (с номерами от $N+1$ до $2N$).
То есть существует бесконечно много моментов времени, когда количество шаров в корзине увеличивается на один шар, и нет ни одного момента времени, когда количество шаров в корзине уменьшается хотя бы на один шар.
Такому варианту соответствует ряд:
$1+ \frac 1 2 -1 + \frac 1 3 + \frac 1 4 - \frac 1 2 + \frac 1 5 + \frac 1 6 - \frac 1 3...=\ln2$
Ненулевая сумма ряда говорит о том, что в корзине остаются шары... бесконечно много шаров...[/math]