Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[ewert]

(Оффтоп)

Lyosha в сообщении #336900 писал(а):

Надо было бы так:задачу с формулировкой Коровьева.

Так лучше, но правильно всё-таки "в формулировке Коровьева".

[Lyosha]

master в сообщении #336946 писал(а):

Я не прав.
По условию шары пронумерованы, значит их конечное количество, значит останется "пусто". (надо внимательно читать условия)

Перечитайте ещё раз.Шаров там "шотное" количество.

(Оффтоп)

ewert!И смех,и грех.

[age]

hurtsy в сообщении #336833 писал(а):

age в сообщении #336692 писал(а):

Задача показывает необходимость развития математического аппарата в заданном направлении.

Вот с этого места, не спеша и все подробно. Готов слушать. С уважением,

А вот тут как раз поподробнее я не знаю. Возможно надо вводить в теорию какие-то операторы либо какие-то интересные приемы, которые помогут разрешить парадокс. На примере того, как я один раз делал, когда строил график функции $f(x)=x^x$. Там тоже получается, что функция не определена в отрицательной полуплоскости, например, в точке $f(-0,5)=\dfrac{1}{\sqrt{-0,5}}$ и так далее. Однако, это не так.
Можно заметить, что $-0,5\sim\dfrac{100}{201}\sim\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{x}{2x+1}}$
Откуда $f(-0,5)\to\sqrt2$

Ну вот таким каким-то способом, я думаю, надо выходить из затруднения и задачу решать.

[ewert]

age в сообщении #337201 писал(а):

я один раз делал, когда строил график функции $f(x)=x^x$. Там тоже получается, что функция не определена в отрицательной полуплоскости, например, в точке $f(-0,5)=\dfrac{1}{\sqrt{-0,5}}$ и так далее. Однако, это не так.
Можно заметить, что $-0,5\sim\dfrac{100}{201}\sim\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{x}{2x+1}}$
Откуда $f(-0,5)\to\sqrt2$

Ну вообще-то $x^x=|x|^x\cdot e^{i\pi x}$ при $x<0$ (в качестве "главной ветви"). У Вас же -- просто $|x|^x$, без никаких оснований.

[hurtsy]

age в сообщении #337201 писал(а):

Ну вот таким каким-то способом, я думаю, надо выходить из затруднения и задачу решать.

Мне кажется, что ewert с функциональной точкой зрения все прояснил. Но ведь в задаче Литлвуда "не в функции играют" а перебирают счетное множество. Из того что для любого заданного конечного числа можно указать момент с конечным индексом по времени когда шар имени этого конечного числа будет удален делается вывод о пустоте остатка в пределе. Здесь, наверняка задействована трансфинитная индукция, на то процесс бесконечный. Полдень точка не принадлежащая нашему счетному временно-индексированному множеству(это предельная точка).
Здесь конечно прав

Lyosha в сообщении #336669 писал(а):

Мне вспомнился закадровый голос из фильма "Бриллиантовая рука":"Дальше следует непереводимая игра слов с использованием местных идиоматических выражений".

Но у меня нет более ясных соображений. Я надеялся на Вас. С уважением,

[age]

И все же мне кажется, в задаче надо исходить из здравого смысла. Невозможность сосчитать шары следует из невозможности добавлять 10 шаров и извлекать один в бесконечно малые промежутки времени.
Т.к. при приближении к числу 12-00 продолжаем добавлять и извлекать шары в соотношении 10:1, то мы априори подразумеваем, что всякий раз перед операцией добавления/изъятия шары уже сосчитаны. Иначе бы поменялся порядок. Т.е. формально задачу надо разложить на два этапа:
1. Подсчет в бесконечно малый промежуток времени количества шаров равное 10, занумерованных от $10n-9$ до $10n$.
2. Сама процедура извлечения, которая оставляет ненарушенными условия задачи (т.е. ровно десять шаров докладывается, ровно один вынимается).
Далее, ввиду того, что каким бы малым промежуток времени $\dfrac1n$ ни был, мы продолжаем успевать считать шары и "держим" таким образом целостность условия задачи, то рано или поздно наступит момент абстрагирования от процедуры пересчета и времени, как такового.
Т.е. в виду того, что настанет момент, когда шары невозможно будет пересчитать, т.к. для этого нужно время, а его у нас по условию задачи нет, то в конце концов (в момент абстракции) не будет ни положен, ни изъят ни один шар.
В результате, до момента абстракции в ящике будет $\lim\limits_{n\to\infty}{(9\ln{n})$ шаров.

[hurtsy]

age в сообщении #337270 писал(а):

И все же мне кажется, в задаче надо исходить из здравого смысла. Невозможность сосчитать шары следует из невозможности добавлять 10 шаров и извлекать один в бесконечно малые промежутки времени.

Парадокс в задаче Литлвуда, признак противоречивости аксиоматики. Вы, используя здравый смысл, вводите новую аксиому. А нужно найти причину противоречивости аксиоматики. С уважением,

[Лукомор]

hurtsy в сообщении #337279 писал(а):

А нужно найти причину противоречивости аксиоматики

В консерватории что-то подправить надо!
Шары добавляются и вынимаются мгновенно.
При этом, существуют моменты времени, в которые количество шаров в корзине не изменяется, существуют моменты времени (и их бесконечно много), в которые количество шаров в корзине увеличивается на 10-1=9 шаров, и нет ни одного момента времени, в который бы суммарное количество шаров в корзине уменьшилось хотя бы на один шар.
Поэтому в полдень их там останется бесконечно много...

[hurtsy]

Лукомор в сообщении #337421 писал(а):

В консерватории что-то подправить надо!

Я не говорил об "подправить", тем более в консерватории. Я говорил, что должна быть причина. С уважением,

[ewert]

Лукомор в сообщении #337421 писал(а):

Поэтому в полдень их там останется бесконечно много...

Поэтому ничего там не останется.

Или -- останется что угодно.

По вкусу. Это не имеет значения.

Ибо в рамках поставленной задачи -- полдень никогда не наступит.

И, следовательно, домысливать несуществующее -- можно как угодно. Можно, скажем, счесть, что тот полдень будет фиолетовым. Или всюду плотным. Или всюду вкусным. Не важно. Раз уж его всё равно не будет.

[Lyosha]

А в чём тут парадокс-то?Сия задача лишь демонстрирует,что между множеством натуральных чисел кратных десяти и $\mathbb{N}$существует взаимно однозначное соответствие.А из того,что с каждым шагом число шаров возрастает на девять(высказывание А) не следует,что шары в корзине в полдень останутся(высказывание В).Мне было бы интересно взглянуть на доказательства того,что из А следует В,где связь между этими высказываниями обоснована не только словами "поэтому","следовательно" и т.д. и т.п.

[master]

Lyosha в сообщении #337012 писал(а):

Перечитайте ещё раз.Шаров там "шотное" количество.

Прочитал, по начальным условия количество шаров конечно, тоесть шары кончаться и ложить будет нечо, будем только выгребать. Вот если бы было бы "шары нумеруются и кладуться...." то результат будет другой, 9 к 1.
Здесь еще нужно сказать что для любого действия обязательно существует $\Delta t$, вы конечно можете устремлять его к нулю, но удалить нельзя. А множесто чисел любых является открытым.

[Anton Nonko]

master в сообщении #337688 писал(а):

для любого действия обязательно существует $\Delta t$, вы конечно можете устремлять его к нулю, но удалить нельзя.

А догонит ли Ахилл черепаху?

[Лукомор]

Anton Nonko в сообщении #337720 писал(а):

А догонит ли Ахилл черепаху?

Давно уже догнал!

[master]

Anton Nonko в сообщении #337720 писал(а):

А догонит ли Ахилл черепаху?

А это смотря какое растояние будите расматривать.