0,(9)=1

[viktormn]

venco в сообщении #331752 писал(а):

viktormn в сообщении #331748 писал(а):

Lyosha,
я привел три доказательства 1>0.(9), которых вы не заметили.

Наверно, потому что это не доказательства.

1.
Необосновано.
$2^2$ и $4$ тоже по разному выглядят, тем не менее они равны.


1.
Необоснован ваш контрпример.
Вы сравниваете выражение $2^2 = 2*2 = 2+2$ с числом $4$
1/3, 1/9 и т.д. это выражения с использованием операции деления.
0.(9) это выражение незаконченного дописывания девяток, не равного 1.
В википедии утверждается, что это изображение числа, равного 1, и на этом основании
делается вывод о невозможности лексографической уникальности чисел.
На мой взгляд, именно требование лексографической уникальности чисел перевешивает все остальные
аргументы, но это уже другая тема.

Далее, раскрываю 1>0.9, 0.1>0.09,...1>0.(9)

Доказательство: 1>0.(9).
Рассмотрим неравенство 1>0.9.
Чтобы превратить это неравенство в равенство к правой части необходимо добавить 0.1
Дописывая справа 9 в левую часть неравенства, мы добавляем 0.09
Поскольку 0.09 < 0.1, то мы не изменяем неравенство, действительно, 1>0.99
Таким образом, сколько бы мы не дописывали девяток, мы не изменим исходное неравенство,
и, следовательно 1>0.(9),ч.т.д.

[Lyosha]

viktormn в сообщении #331980 писал(а):

0.(9) это выражение незаконченного дописывания девяток, не равного 1.

Это неверно.0,(9) - это сокращённая запись бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом равным 0,9 и знаменателем равным 0,1,сумма которой,как известно ещё со школы,равна 1.

[venco]

viktormn в сообщении #331980 писал(а):

1.
Необоснован ваш контрпример.
Вы сравниваете выражение $2^2 = 2*2 = 2+2$ с числом $4$
1/3, 1/9 и т.д. это выражения с использованием операции деления.
0.(9) это выражение незаконченного дописывания девяток, не равного 1.

Какая разница, умножение или деление? Ваше "доказательство" строилось на различии записи. Теперь вы убедились, что из различия записи неравенство не следует. Думайте дальше.

viktormn в сообщении #331980 писал(а):

В википедии утверждается, что это изображение числа, равного 1, и на этом основании
делается вывод о невозможности лексографической уникальности чисел.

То, что $0.(9)$ равно $1$ следует из определения записи типа $x.y(z)$. Всё остальное - непротиворечивые выводы.

viktormn в сообщении #331980 писал(а):

Далее, раскрываю 1>0.9, 0.1>0.09,...1>0.(9)

Доказательство: 1>0.(9).
Рассмотрим неравенство 1>0.9.
Чтобы превратить это неравенство в равенство к правой части необходимо добавить 0.1
Дописывая справа 9 в левую часть неравенства, мы добавляем 0.09
Поскольку 0.09 < 0.1, то мы не изменяем неравенство, действительно, 1>0.99
Таким образом, сколько бы мы не дописывали девяток, мы не изменим исходное неравенство,

Правильно, любое конечное приближение неравенства не нарушит.

viktormn в сообщении #331980 писал(а):

и, следовательно 1>0.(9),ч.т.д.

А это не верно. Т.к. справа здесь уже не конечная десятичная запись.

[viktormn]

Правильно, не верно, и математическая индукция тоже.
На бесконечный раз сравнения девятка конечно
станет равна десятке, и будет достигнуто равенство, ч.нет.д.

[venco]

viktormn в сообщении #332059 писал(а):

Правильно, не верно, и математическая индукция тоже.

Математической индукцией мы доказали, что при любом конечном количестве девяток будет неравенство.
Но это ничего не говорит о числе $0.(9)$.

viktormn в сообщении #332059 писал(а):

На бесконечный раз сравнения девятка конечно
станет равна десятке, и будет достигнуто равенство, ч.нет.д.

Что такое "бесконечный раз сравнения"?

У меня возникло подозрение...
Вы знаете, что такое предел?

[Physicist lazerschik]

Используйте законы статистики. Посчитайте кол-во док-в 1=0,(9) и 1>0,(9) (17 страниц обсуждение (вряд ли кто-то начинает читать сначала)). Сравните полученные значения и решите вопрос о принятии нового формализма. Жаль только, что интересная тема будет закрыта.

[viktormn]

1. Можно использовать и статистику и голосование, и ответы
на вопрос 2 + 2 =? - а сколько вам нужно?

2. Цитирую по википедии:
"Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства.
Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел."
Если "всех натуральных чисел" конечное число, то вы правы,
если бесконечное - то права математическая индукция.

3. Я догадываюсь, что такое предел - это как раз тот договор без основания,
чтобы вместо неравенства ставить равенство. К сожалению, это не мое открытие,
споры о необоснованности теории пределов идут уже более 200 лет.

[Ranax]

равенство-это неравенство в пределе, демагогию развели ни на чем

[Lyosha]

viktormn,каким образом Вы приспособили метод математической индукции для доказательства того,что 1>0,(9)?

[venco]

viktormn в сообщении #332688 писал(а):

3. Я догадываюсь, что такое предел

Не надо догадываться. У предела есть определение. Почитайте как нибудь.
Так вот $0.(9)$ определяется через предел. И по этому определению получается $0.(9) = 1$.
А отмахнуться от предела так просто не получится, ибо очень многое в матане на нём основано - интегралы, производные, площади, да даже длина окружности и число $\pi$.

[ewert]

viktormn в сообщении #332688 писал(а):

3. Я догадываюсь, что такое предел - это как раз тот договор без основания,
чтобы вместо неравенства ставить равенство. К сожалению, это не мое открытие,
споры о необоснованности теории пределов идут уже более 200 лет.

Обоснованно или необоснованно -- это лирика, а вот что практически необходимо -- то факт. Любое прикладное вычисление подразумевает некий предельный переход, и никуда от этого не денешься.

[sergey1]

Цитата:

споры о необоснованности теории пределов идут уже более 200 лет

Вы путаете. Долгое время спорили о необоснованности анализа (Беркли и др.). А открытие теории пределов как раз ппекратило все споры.

[arseniiv]

viktormn в сообщении #332688 писал(а):

Если "всех натуральных чисел" конечное число, то вы правы,
если бесконечное - то права математическая индукция.

Натуральных чисел бесконечное число (точнее, счётное). Но каждое натуральное число конечно. Бесконечных натуральных чисел не существует. Так что ваш вывод неверен.

[Padawan]

viktormn
Прежде чем спорить уясните для себя, что такое поле действительных чисел. Почитайте, например, учебник Кудрявцева "Курс математического анализа".

Поле действительных чисел можно построить многими способами. Все они изоморфны и представляют конкретную реализацию абстрактного понятия поля действительных чисел, которое описывается некоторой системой аксиом.

Определитесь какой из способов Вы хотите использовать -- сечения Дедекинда, бесконечные десятичные дроби, фундаментальные последовательности рациональных чисел или что-то другое?

[PAV]

Тема закрывается по причине очевидной бессмысленностью дальнейшего обсуждения. Ответы уже даны и все разумные аргументы, кажется, уже высказаны. Как было совершенно справедливо отмечено, этот вопрос не будет вызывать никаких сложностей для того, кто разбирается в определении вещественных чисел и владеет понятиями анализа в объеме первого курса. А тем, кто этим условиям не удовлетворяет, разбираться с этим вопросом вообще не нужно, так как не по статусу и вообще бесполезно/