Элементы теории чисел (делимость)

[TOTAL]

Батороев в сообщении #324367 писал(а):

Этак мы эту задачу никогда не расхлебаем.

Будете расхлёбывать сами -- Marina так и не научится решать задачи.

[Батороев]

Нервы сдали. Звиняйте.

[Marina]

Я думала так, при $n=3$, получаем следующие простые числа: 1;15;29,
при $n=5$ получаем числа 7;17;31,
при $n=7$ получаем числа 5;19;33
и т.д.
Но это просто подбором чисел, а как найти общее решение задачи я пока не знаю.

[ИСН]

Marina в сообщении #324448 писал(а):

а как найти общее решение задачи я пока не знаю.

Предыдущая страница темы погибла при пожаре Александрийской библиотеки?
(1 не простое. Но это мелочи.)

[Marina]

Математики шутят:

Цитата:

Предыдущая страница темы погибла при пожаре Александрийской библиотеки

А ещё добавьте: Возрождение библиотеки проблематично потому, что кто-то...?

[JMH]

Marina в сообщении #324448 писал(а):

Я думала так, при $n=3$, получаем следующие простые числа: 1;15;29,
при $n=5$ получаем числа 7;17;31,
при $n=7$ получаем числа 5;19;33
и т.д.
Но это просто подбором чисел, а как найти общее решение задачи я пока не знаю.

Marina, "внимание, намек"(C): вспомните определение простого числа и еще раз внимательно посмотрите последний пост на предыдущей странице.

-- Чт май 27, 2010 06:31:29 --

ИСН в сообщении #324454 писал(а):

(1 не простое. Но это мелочи.)

Никогда не мог понять, почему 1 не считается простым числом? Оно что, делится на что-то кроме единицы и себя самого?

[Батороев]

JMH в сообщении #324568 писал(а):

Никогда не мог понять, почему 1 не считается простым числом? Оно что, делится на что-то кроме единицы и себя самого?

Объяснение мне видится в том, что у любого числа при принятом определении можно подсчитать количество простых делителей. Если же единицу признать простым числом, то количество простых делителей будет равно "непонятно чему".

-- Чт май 27, 2010 21:20:29 --

При этом количество простых делителей у числа 1 равно 0. Этим оно уникально и поэтому не относится ни к простым, ни к составным.

[Marina]

Значит единственный вариант: $n=5$. Но как доказать, что других вариантов нет?

[ewert]

JMH в сообщении #324568 писал(а):

Никогда не мог понять, почему 1 не считается простым числом?

просто по определению там как минимум по определению два

[VAL]

JMH в сообщении #324568 писал(а):

Никогда не мог понять, почему 1 не считается простым числом? Оно что, делится на что-то кроме единицы и себя самого?

Ох, как я устал это объяснять! :( :) Студентам: сначала всем, потом каждому (последний раз сегодня). И на форумах: только некоторым, но обычно по много раз :)

Собственно ответ:
1 не является простым по определению.
А такое определение принимается по многим уважительным причинам.
Например для того, чтобы разложение на простые множители было однозначным. Это в частности. А в общем, потому что обратимые (к коим относится 1) и простые элементы играют существенно разную роль в теории делимости. Обратимые множители не существенны: свойства делимости изучаются с точностью до таких множителей. А простые множители наоборот очень существенны. Нечто вроде атомов.

PS: С разъяснениями Батороева согласен. Просто захотелось сделать умное лицо :)

-- 28 май 2010, 01:29 --

Marina в сообщении #324605 писал(а):

Значит единственный вариант: $n=5$. Но как доказать, что других вариантов нет?

Рассмотрите остатки данных чисел от деления на 3.
AFAIR, эта рекомендация уже приводилась раз несколько. Но вода камень точит.

[Marina]

Цитата:

Рассмотрите остатки данных чисел от деления на 3

При делнии на 3 остатки могут быть либо 1, либо 2. Других остатков быть не может.

[VAL]

Marina в сообщении #324897 писал(а):

Цитата:

Рассмотрите остатки данных чисел от деления на 3

При делнии на 3 остатки могут быть либо 1, либо 2. Других остатков быть не может.

Ошибаетесь. Есть еще один вариант.

[Marina]

Вы имеете в виду 0?

[VAL]

Marina в сообщении #324942 писал(а):

Вы имеете в виду 0?

Его.

[Батороев]

Marina
Теперь поэкспериментируйте с числами.
Задайте $ n\equiv 0\pmod 3$ и посмотрите, какие остатки будут у всех трех рассматриваемых чисел: $n-2$; $n+12$; $n+26$.
Затем задайте $n\equiv 1\pmod 3$ и т.д.
В оконцовке найдите объяснение полученному.

Еще немного воды на камень.