Насколько я помню, «разные варианты базисов ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры» это когда они подобны, т.е. для разных матричных единиц и существует неособая матрица (с неравным нулю определителем), для которой выполняется соотношение:
, (*)
в частности, при этом преобразовании сохраняется инвариант – определитель матрицы. Однако определители Вашей прямой суммы и моей – различны. Так что для меня не очевидно, что это базисы «ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры». Базисы могут различаться только с точностью до подобия.
Вы говорите выше о переходах между векторами безиса (или между представляющими их матрицами) при помощи ортогональных преобразований, которое представляют собой повороты (то есть, особый вид движений линейного пространства с сохранением длин или интервалов). Однако это очень частный случай линейных преобразований линейных пространств. Переходы между базисами в одном и том же линейном пространстве не ограничены поворотами и даже более широкой группой движений. Существуют линейные пространства, причем обладающие метрическими функциями (это обобщение понятия метрики на псевдоевклидовы и финслеровы пространства) в которых далеко не всегда можно перевести вектор одного направления в другой при помощи изометрических поворотов. В частности таким, способом невозможно перевести ни один вектор связанный с делителями нуля в такой, у которого ненулевой модуль. Равно как невозможно при помощи изометрических поворотов перевести в неизотропный вектор в изотропный. Однако это не означает, что такие пары векторов не связаны линейными преобразованиями более общего вида, чем вращения или группа движений. Поэтому, не смотря на то, что при помощи преобразований вида:
перевести вектора изотропного базиса (состоящего из делителей нуля) в неизотропные (в частности, такие как представлены единицами
и которые я называл "ортонормированными", естественно в финслеровском смысле последнего термина) - не возможно в принципе, все равно это базисы одного и того же линейного пространства, просто связаны они не поворотами, а более общего вида линейными преобразованиями.
Вероятно, Вы слишком много дела имели последнее время с ортогональными преобразованиями, да к тому же обычных евклидовых простарнств (недаром у Вас такое большое преклонение перед классическими понятиями метрики и нормы), я же, наоборот, последнее десять лет с ними уже почти не имею дела. Вот и происходит постоянное непонимание друг друга.
Отчасти, теперь мне также стало понятно недоразумение на счет "поворота на 45 градусов" векторов изотропного базиса пространства
для того, что бы те совпали с единичными ортонормированными векторами базиса этого же пространства
и
. Так выглядит это преобразование исключительно в евклидовой метрике плоскости. В самом же псевдометрическом пространстве
преобразование связывающие эту пару базисов поворотом (то есть изометрическим преобразованием) не является. Хотя бы потому, что у них разные длины (интервалы). У одной пары - нулевые, а у другой единичные.
Насчет, «не видят» это свойство прямых сумм, которые придумал не я :) .
Я знаю, что придумали это не Вы. Это очень распространенное мнение на счет устройства пространств, связанных с прямыми суммами двух полей. Отчасти, именно благодаря такому утверждению математики и не хотят видеть за подобными алгебрами нечто бОльшее, чем просто расщепленные на
плюс
отдельных вещественных и комплексных подпространств. Между тем, как всякое такое пространство размерности выше двух - совсем не тривиально. За ними всегда стоит уже не квадратичная, а финслерова метрическая функция, со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Именно благодаря этому утверждению, Вы не найдете ни в какой серьезной или хотя бы в учебной математической литературе разбора метрический свойств пространств, связанных с подобными алгебрами. Как только математики высяняют, что та или иная алгебра сводится к прямой сумме вещественных и комплексных чисел, они мысленно вспоминают эту фразу о "невидимости" и считают вопрос с метрической структурой ЗАКРЫТЫМ и неинтересным для дальнейших исследований. Именно поэтому факт красивой и нетривиальной связи алгебр прямых сумм полей
и
оставался, аж до примерно 2000 года неизвестным не только алгебраистам, но даже специалистам по финслеровым пространствам. Поэтому обсуждения этих и сопутствующих вопросов Вы не найдете не только у Розенфельда или в "Современной геометрии" Дубровина, Новикова, Фоменко, но и у таких известных финслеристов как Картан, Рашевский, Чен, Шен, Бао и сотен других.
Между тем, понять, что каждое финслерово пространство, связанное с коммутативно-ассоциативными алгебрами, по сути, устроено также нетривиально и гармонично, как алгебра комплекнсых чисел и даже существенно интереснее (при числе измерений три и выше и хотя бы одной эллиптически мнимой единице) совсем не сложно. Нужно только отказаться от навязанного неизвестно кем СТЕРЕОТИПА о тривиальности, связанного с тем, что в одном из базисов все такие пространства расщепляются на прямые суммы
и
полей. Такое имеет место в одном единственном базисе, что, конечно же, определенным образом характеризует все пространство, но совсем даже не дает представления о его устройстве целиком. Финслеровы метрические функции часто слишком сложны, что бы по связанным с ними закономерностям можно было бы судить с единого взгляда на них сквозь призму единственного тривиального изотропного базиса.
Я уже достаточно давно плотно общаюсь и с алгебраистами и с финслеристами. Этот простой факт доходит крайне медленно ДО ВСЕХ. Например, с группой ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ финслеристов из Румынии, имеющих огромный международный авторитет, мы общаемся уже более пяти лет. И лишь год назад только-только стали появляться первые признаки того, что они не только на словах, но и на деле стали понимать, о чем идет речь, когда обсуждаются метрические (правильнее было бы сказать - псевдометрические) свойства даже таких пространств как
или
.
Конечно, виной тут, отчасти, невыработанность языка, но еще больше повинны привычки, которые за один год не исчезают..
Вы можете упростить речь, если будете говорить о коммутативных алгебрах, а не «коммутативно-ассоциативных» (я об этом уже писал). Ибо ассоциативность входит в число аксиом произвольной алгебры, а коммутативность нет. Строго говоря, если не ассоциативная, то уже и не алгебра, но вроде термин «неассоциативная алгебра» узаконен. Так вот слово «неассоциативная» употреблять необходимо, а «ассоциативная» - явно избыточное определение для алгебры.
Снова у Вас неверное представление. Ассоциативность входит автоматически в понятие не произвольной алгебры, а группы. Например такая простенькая восьмикомпонентная алгебра как октавы или октанионы - неассоциативна. Она же, кстати, еще и некоммутативна. Однако существуют и коммутативные, но неассоциативные алгебры. Для них даже название специальное придумано - Йордановы алгебры. Хуже того, существуют и более искареженные алгебры, например, не обладающие альтернированностью. Например, алгебра 16-компонентных сединионов. И это все алгебры с ПОЛНЫМ умножением. А есть много таких, в которых умножение "урезанное" и осталось, в частности, лишь в виде скалярных и векторных произведений. Или чаще говорят о внутренних и внешних умножениях векторов, как имеет место в алгебрах Кэлли. Почему я и говорю, что если пытаться заниматься классификацией всех таких алгебр, даже ограничившись четырьмя измерениями, и жизни не хватит. Отчасти, именно поэтому мы не тратим время на классификацию, а на основании ряда "хороших" признаков выбрали для себя основным объектом изучения - коммутативно ассоциативные невырожденные гиперкомплексные числа (невырожденные поличисла), причем как правило с размерностью не выше четырех. Уже этих алгебр хватит не на одну жизнь. Если же говорить, чего же "хорошего" именно в таких, казалось бы, излишне тривиальных алгебрах - то это бесконечная размерность уже для группы конформных преобразований (а ведь из-за финслеровости метрики есть еще и более сложные и более богатые непрерывные преобразования), что автоматически тянет за собой существование не менее богатых множеств h-аналитических функций. Именно этого свойства нет НИ У ОДНОЙ некоммутативной и неассоциативной алгебры. Ну и конечно, немаловажную роль в "хорошести" играет то обстоятельства, что поля действительных и комплексных чисел являются не только подалгебрами и подпространствами, но и группы их конформных преобразований являются подгруппами групп этих многомерных пространств (чего нет в многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространствах и в частности в кватернионах и октавах).
Насчет «не бывает» – Вы не правы. Пример, параболические (дуальные) числа . Они не сводятся к прямой сумме полей. Это, так называемая, неполупростая алгебра. А в теореме Вейерштрасса речь идет только об полупростых алгебрах. Структура неполупростых алгебр очень сложна для анализа и до конца не решена до сих пор. В канонических матрицах этих алгебр, всегда присутствует, так называемая, «склейка». Похоже, она есть и у Вас. Т.е. вопрос, о том, что Ваша четырехмерная алгебра полупростая – не доказан. Хотя я могу быть не точен в «доказательстве» того, что она неполупростая. И Вы явно не в тех терминах ведете речь об ее «прямоте».
С тем, что не в тех терминах - вполне могу согласиться. Я говорил о невырожденных коммутативно-ассоциативных алгебрах поличисел. Математики, похоже, таким терминами невырожденные и вырожденные не пользуются, заменяя их на полупростые и неполупростые. Однако на их совести есть грех считать все алгебры связанные с прямыми суммами - тривиальными. Так что, признавая, что мы с Гарасько занялись тут излишнем терминотворчеством, хочется отметить, что определенное право на такой шаг мы имели. Еще раз подчеркну, что всегда, когда не оговаривается обратное, у нас речь идет о невырожденных алгебрах поличисел (последний термин также на нашей совести, и придуман именно для того, что бы не выписывать каждый раз некоммутативно-неассоциативная алгебра гиперкомплексных чисел).
То, что Вы пишете о неполупростых алгебрах (в нашей терминологии о вырожденных алгебрах поличисел) - вполне допускаю соответствует реальному положению вещей. Их структура наверняка не такая уж и элементарная. Однако и полупростые алгебры (в нашей терминологии - невырожденные поличисла) - совсем даже не тривиальны, если видеть за ними не только алгебры двух полей наиболее отчетливо разделяющиеся в особых изотропных базисах, а стоящие за ними многомерные финслеровы пространства и связанные с их непрерывными симметриями h-аналитические и супераналитические (речь о наличии метрических финслеровских инвариантов более сложных, чем длины и углы - которые приводят к появлению линейных и нелинейных h-аналитических функций) функции. C ТАКИХ позиций эти самые полупростые коммутативно-ассоциативные алгебры до нас, похоже, вообще никто не исследовал. Отсюда и непонимание, и обиды, а чаще всего - верчение пальцем у виска и восклицания - бред!
Что касается Вашего примера, что алгебра
являентся контрпримером о несводимости всех коммутативно-ассоциативных алгебр к прямым суммам вещественных и коплексных полей, то я говорил о невырожденных алгебрах поличисел. Извиняюсь, что не подчеркнул этого на этот раз, но об этом говорилось часто перед этим. Не стОит пока такими вырожденными (неполупростыми) алгебрами заниматься, пока не расставлены все точки над i в невырожденных (полупростых) алгебрах поличисел. Потом, не являясяь прямыми суммами, алгебры вырожденных поличисел, на сколько я понимаю, являются не простыми суммами, а обычными суммами вещественных и комплексных полей, а это приводит к более тривиальным финслеровым пространствам, чем те, что рассматриваем в первую очередь мы..
Я не вижу никакой оплошности. И я не понимаю, причем тут независимые единичные матрицы и делители нуля. Применив неособое преобразование (*) к матрице делителя нуля мы получим, скорее всего, матрицу, которая делителем нуля уже не будет. Но она будет подобна исходной матрице. Поэтому Ваш «критерий» не вполне разумный, по-моему.
Теперь понятна Ваша логика. Попробую объясниться..
Все векторные пространства связанные с делителями нуля в качестве естественной геометрии обладают неевклидовой метрикой (попробуйте хотя бы допустить такую мысль). А для таких пространств используемое Вами ортогональное преобразование матриц не является преобразованием из группы их движений, то есть сохраняющих ИХ метрическую функции и связанные с ними интервалы (длины) векторов. Однако формально преобразования, по внешнему виду совпадающие с изиметрическими вращениями ЕВКЛИДОВЫХ пространств в таких неевклидовых финслеровых пространствах - имеются. Естетсвенно, что те будут сохранять евклидову метрику. Но к финслеровой (или к псевдоевклидовой) метрике это не имеет ровно никакого отношения. Попробуйте вычислить ЕВКЛИДОВУ длину любого вектора связанного с делителями нуля. Она, естественно, не будет нулевой. А по самой логике пространства с делителями нуля в их собственной метрике любой делитель нуля имеет нулевую длину. Поэтому преобразования матриц, которые Вы выписали с одной стороны не имеют никакого отношения к движениям (вращениям) неевклидова пространства и, следовательно, к сохранению неевклиддовых мер, но с другой стороны имеют отношение к евклидовым движениям и, следовательно, к сохранению евклидовых длин.
Вся эта чехарда проистекает из попытки заменить работу с самими обсуждаемыми алгебрами и связанными с ними пространствами - работой с квадратными матрицами, в которых этих самых алгебр как собак нерезанных. Вдобавок ко всему, исторически так сложилось, что евклидовы метрики, связанные с ними нормы и ортогональные преобразования почти всем кажутся самыми естественными и понятными. Реже можно найти тех, кто принимает во внимание псевдоевклидовы псевдометрики с их полунормами, несколько иными ортогональными преобразованиями и инвариантами. И совсем невозможно пока найти тех, кто как мы с Гарасько видим финслеровы метрики, финслеровы заменители норм, ортогональных преобразований и инвариантов. Преодолеть данное объективное препятствие ни за один месяц, ни за один год, к сожалению, не возможно. Если б хотя бы учебники были.. Конечно, книга Гарасько отчасти пыталась решить эту проблему, но нужно принимать во внимание, что он не математик, а физик-теоретик, и потому пишет, непонятным для математиков языком. Обо мне речь вообще не идет. Я даже не физик. :(
Пример, 1 и не являются делителями нуля в . Но они являются независимыми (матричными) единицами. Применив к ним неособое преобразование (*), заключающееся в повороте этих матричных единиц на 45 градусов по часовой стрелке, мы перейдем к другим независимым подобным (матричным) единицам вида и , которые уже являются делителями нуля и наоборот. Так по-Вашему должно быть, что эти пары матричных единиц не подобны и не выражают изоморфизм?
Метрическое пространство, естественным образом связанное с алгеброй
- не евклидово, а псевдоевклидово (пересмотрите еще раз по данному поводу Розенфельда, Яглома и др.). Поэтому преобразования вида (*) не являются для него изометрическими и, будучи примененными к его векторам, не сохраняют их длин. Как произвольное линейное преобразование они конечно же имеют место и в пространстве с псевдоевклидовой метрикой и потому можно говорить о переходе от изотропного базиса (связанного с делителями нуля алгебры
) к ортонормированному. Но в псевдоеквклидовой метрике это никакой не поворот на 45 градусов, а просто дискретное преобразование, не сохраняющее длин. Все встенет на свои места, когда (и если) Вы перестанете видеть за совершенно неевклидовыми пространствами привычные евклидовы метрики и нормы. Разнообразие предполагаемых диалектов, как показала практика нашего общения, не помогает общению, а наоборот, делает его практически невозможным. (Вам самому уже приходили мысли о мазохизме, но тут не он имеет место, а принципиально разные подходы к обсуждаемому объекту и связанные с этим различные языки). Конечно, Вы можете попробовать потребовать от меня перехода на Ваш язык. Но это точно невозможно. Во-первых, потому что я не математик, а во-вторых, потому что не собираюсь заниматься обычными пространствами, ради которых Ваш язык и был создан. Я еще могу согласиться потратить время на совершенствование "нашего" финслеровского языка, но не его отмене.
Более удобно то, что более проще. Если будет доказана эквивалентность двух представлений в
и
, то можно будет (скорее всего) пользоваться обеими вариантами равноправно.
Самый удобный вариант для поличисел (по крайней мере на уровне исходных линейных пространств) - не матрицы nхn или 2nx2n, не важно, компонентами их будут поля вещественных или комплексных чисел, а сами гиперкомплексные числа, то есть ЛИНЕЙНЫЕ формы (или иными словами - матрица строка), которая, кстати, также может рассматриваться как с вещественными так и с комплексными компонентами. При этом я в принципе согласен, что можно переходить к матричному представлению различного вида. Возможно, в каких-то вариантах это будет и рационально. Во всяком случае я не возражаю против таких шагов и предлакгаю Вам поступать именно так как представляется удобным (лишь бы не запутывать ситуацию).
Понимаете, я ничего не воспринимаю на веру. Допускаю малую вероятность, что Вы правы, но такой подход мне не кажется «правильным».
Давайте вернемся к вопросу "правильности" использования для алгебры
вместо матриц связанных с тензором
к матрицам связанным с тензором
- на потом, когда линейные пространства останутся только в касательных слоях к точкам в собственно кривых финслеровых пространствах. Если до этого вообще когда дойдет речь..
Закончу ответ чуть позже..