Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[Time]

bayak в сообщении #316090 писал(а):

очему бы и нет.

Извините, Игорь, но это профанация. Вы ж еще даже с h-аналитическими функциями простенького двумерного и плоского пространства $H_2$ не разобрались, а тем более с плоским $H_4$. Перепрыгивать сразу в кривые финслеровы пространства с последней метрической функцией в касательных пространствах - абсолютно безнадежная затея. Нет, если присутствует четко выраженное и осознанное желание свернуть шею, никто не возражает..
Кстати, а почему 4-торами ограничиваетесь? Давайте уж сразу к 4-пространствам произвольной кривизны и других геометрических финслеровских свойств. Вас же белые пятна в понимании промежуточных более простых случаев, похоже, совершенно не волнуют, не пугают и не останавливают..

[Scholium]

Time писал(а):

При этом с самого начала и в отличие от Вас мы подразумеваем матричное представление $e_1$ в виде:
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
и $e_2$ в виде:
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
Тогда как $i$ - самая обычная мнимая единица из множества комплексных чисел и имеет вид матрицы 2х2:

0 1
-1 0

В итоговой четырехкомпонентной алгебре появляются 4 мнимые единицы:
Кроме $e_1$ и $e_2$ еще и $e_1i$ и $e_2i$, которые в отличие от $i$ имеют представление как и первые две в виде матрицы 4x4. Давайте две последних обозначим как $e_3$ и $e_4$.

Ну, Вы удивили :) ! Мне очень интересно, а как можно умножить две матрицы, одна их которых четвертого порядка, а другая второго? Умножать ведь можно только две матрицы вида n*k на k*m получая в итоге матрицу размером n*m. Для других матриц умножение неопределенно. Поэтому Ваше использование произведений $e_1i$ и $e_2i$ полагаю бессмысленным. Иначе можно доказать, что 2*2 = 5 :) .

Без выяснения этого вопроса все остальные выкладки «подвисают» в воздухе.

-- Чт май 06, 2010 14:29:47 --

To: Time

Наверное? Вы имели в виду умножение матрицы на число? В данном случае комплексную единицу $i$. Тогда да, можно рассмотреть матрицы $e_3$ и $e_4$ вида:

$i$ 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

и

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 $i$ 0
0 0 0 0

Но тогда у меня другой вопрос, а как от единиц $e_1, e_2, e_3$ и $e_4$ получить единичную матрицу $e$? Матрица которой должна быть вида:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

А также каковы матрицы Ваших единиц I, J, K?

И потом матрицы $e_1, e_2, e_3$ и $e_4$ линейно зависимы в $\mathbb{C}$. Так что претензии:

- избыточная размерность;
- линейная зависимость в $\mathbb{C}$;
- неполнота системы единиц.

Т.е. выкладки должны быть полными, хотя бы у Вас в тетрадке, и результаты желательно также показывать полнее, чтобы не ломать голову :) .

[Time]

Scholium в сообщении #316130 писал(а):

Ну, Вы удивили :) ! Мне очень интересно, а как можно умножить две матрицы, одна их которых четвертого порядка, а другая второго? Умножать ведь можно только две матрицы вида n*k на k*m получая в итоге матрицу размером n*m. Для других матриц умножение неопределенно. Поэтому Ваше использование произведений и полагаю бессмысленным. Иначе можно доказать, что 2*2 = 5 :) .

Без выяснения этого вопроса все остальные выкладки «подвисают» в воздухе.

Я сам себя удивил. :) Прошу прощения, дело в том, что я никогда не работал с алгеброй ${C}\oplus{C}$ через квадратные матрицы, да еще в изотропном базисе. Видел только как это делал Гарасько, вот и решил, что быстро и сам все состряпаю. Что получилось, Вы уже имели удовольствие наблюдать. :) Еще раз извиняюсь. Не нарочно.. Попробую исправиться.

Возвращаемся к числу $X$ алгебры ${C}\oplus{C}$ представленному в изотропном базисе:

$X=e_1x_1+e_2x2+e_3x_3+x_4e_4$

Свяжем с базисными элементами $e_k$ следующие матрицы 4x4:

$e_1$

0-1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

$e_2$

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0-1
0 0 1 0

$e_3$

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

$e_4$

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Модуль числа $X$ в таком базисе имеет вид:
$X^4=((x_1)^2+(x_3)^2)((x_2)^2+(x_4)^2)$

Это и будет матричным представлением единиц алгебры ${C}\oplus{C}$ в одном из самых удобных изотропных базисов.

Что бы от этих единиц (модули которых равны нулю) перейти к "ортонормированным" $1, I, J, K$ нужно воспользоваться формулами:

$1=e_3+e_4$
$I=e_1+e_2$
$J=e_3-e_4$
$K=e_1-e_2$

Откуда получаем матричные представления этих новых единиц, делителями нуля уже не являющихся:

$1$

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

$I$

0-1 0 0
1 0 0 0
0 0 0-1
0 0 1 0

$J$

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0-1 0
0 0 0-1

$K$

0-1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0-1 0

Кажется так, хотя опять могу что ни будь наврать. Вам виднее, Вы с матрицами явно больше дел имели..

В этом базисе число:
$X=X_1+IX_2+JX_3+KX_4$

имеет модуль вида:

$X^4=(X_1^2-X_2^2)^2+(X_3^2-X_4)^2+2(X_1X_3-X_2X_4)^2+(X_1X_4-X_2X_3)^2$

откуда очевидно, если такую форму принять в качестве метрической то получится явно неквадратичная геометрия. Такое выражение для модуля, будучи принято в качестве метрической функции приводит к специального класса линейному финслерову пространству с делителями нуля, которое и соответствует алгебре ${C}\oplus{C}$ точно также как евклидова плоскость соответствует алгебре $C$, а псевдоевклидова - $H_2$.
Причем подпространство делителей нуля в этом финслеровом пространстве образует собой объединение двух пересекающихся в единственной точке (0,0,0,0) двумерных плоскостей, на каждой из которых реализуется "внутренняя" (потому что модули, принадлежащих этим плоскостям векторов, в смысле четырехмерной геометрии - нулевые) евклидова метрика, откуда, видимо и проистекает Ваша уверенность, что в этом пространстве и в соответствующей ему алгебре ${C}\oplus{C}$ нет ровным счетом ничего интересного, кроме этих двух комплексных плоскостей "не чувствующих" всего четырехмерного финслерова пространства..

Надеюсь, теперь нигде не наврал?

[Scholium]

To: Time

Ну вот, совсем другое дело! Если бы Вы не ленились бы подкреплять свои слова формулами или делать ссылки, то другим явно было бы проще понимать Вас и не писать по нескольку раз одно и то же :) .

Действительно, я проверил Ваши матрицы в Maple-13 – все действительно сходится :) . При таком подходе, с алгеброй и прямыми суммами, по крайней мере, есть шанс «разобраться».

Ваши матрицы в поле $\mathbb{C}$ имеют вид:

E:
1 0
0 1

I:
i 0
0 i

J:
1 0
0 -1

K:
i 0
0 -i

В таком виде они гораздо более обозримые, хотя это не принципиально.

Я конечно не против изучать конкретные реализации Ваших пространств, однако я хочу все-таки решить вопрос о классификации алгебр 3-го и 4-го порядка, хотя бы.

Дальше у Вас речь идет о модуле:

Time писал(а):

В этом базисе число:
$X=X_1+IX_2+JX_3+KX_4$

имеет модуль вида:

$X^4=(X_1^2-X_2^2)^2+(X_3^2-X_4)^2+2(X_1X_3-X_2X_4)^2+(X_1X_4-X_2X_3)^2$

откуда очевидно, если такую форму принять в качестве метрической то получится явно неквадратичная геометрия.

Т.е. Вы связываете модуль поличисел с метрикой и т.п. Лично мне такой подход очень не нравится. Как я воспринимаю модуль? В поле $\mathbb{C}$ для числа $z$ его модуль связали с длиной вектора. Для этого нашли подходящую функцию $\bar{z}$, которая при умножении на $z$ дает искомый квадрат модуля. Потом понятие $\bar{z}$ расширили на произвольные числовые системы и определение модуля сохранили. Только, в общем случае, он уже перестал быть связан с длиной вектора, т.е. быть его нормой. Вот отсюда и проблемы. Если модуль перестал быть нормой (удовлетворять ВСЕМ их аксиомам), то зачем на его основе вводить метрику? Да, к тому же не удовлетворяющую ВСЕМ аксиомам метрического пространства? Т.е. я просто за полноценные метрические и нормированные пространства. Если Ваша норма и метрика удовлетворяет ВСЕМ их аксиомам, пусть будет конкретное пространство с Вашей топологией, которое вполне можно изучать.

Только я не вижу той эстетики в топологии Вашего пространства, которую видите Вы. По крайней мере, конкретно это пространство для меня всего лишь «одно из». Поэтому я наверное предпочту заниматься сначала вопросами классификации всех трехмерных и четырехмерных поли- и гиперчисел, а уже потому делать вывод, которое из них мне больше «нравиться» :) .

[Time]

Scholium в сообщении #316403 писал(а):

Ваши матрицы в поле $C$ имеют вид:

E:
1 0
0 1

I:
i 0
0 i

J:
1 0
0 -1

K:
i 0
0 -i

В таком виде они гораздо более обозримые, хотя это не принципиально.

Наоборот, в каком виде эти матрицы записать - очень принципиально. Записывая в поле $C$ Вы неявно полагаете, что у векторов соотвествующих данным базисным числам НЕНУЛЕВЫЕ значения модуля и соотвествующей ему "длины". При записи в виде матриц 4x4 все встает на свои места. И модули и "длины" таких векторов имеют нулевую величину.

Scholium в сообщении #316403 писал(а):

Я конечно не против изучать конкретные реализации Ваших пространств, однако я хочу все-таки решить вопрос о классификации алгебр 3-го и 4-го порядка, хотя бы.

Естественно, Вы сами расставляете приоритеты.

Scholium в сообщении #316403 писал(а):

Т.е. Вы связываете модуль поличисел с метрикой и т.п. Лично мне такой подход очень не нравится. Как я воспринимаю модуль? В поле для числа его модуль связали с длиной вектора. Для этого нашли подходящую функцию , которая при умножении на дает искомый квадрат модуля.

Во всех поличислах в отношении сопряженных дело обстоит во многом аналогично комплекнсым числам. В той же алгебре ${C}\oplus{C}$ у произвольного числа $X$ не одно сопряженное, а три. Произведение всей четверки дает искомую четвертую степень модуля. Если именно с этим модулем связать метрическую функцию некоего финслерова пространства, то эта величина окажется ни чем иным как финслеровым обобщение длины соответствующего вектора. Правда, правильнее тут говорить не о длине, а об интервале, так как все пространства связанные с поличислами размерности три и выше - псевдометрические, что связанно именно с обязательным наличием делителей нуля, а последние связаны с теоремой Фробениуса. Это же все вполне естественно, разве что, попервой непривычно.

Scholium в сообщении #316403 писал(а):

Потом понятие расширили на произвольные числовые системы и определение модуля сохранили. Только, в общем случае, он уже перестал быть связан с длиной вектора, т.е. быть его нормой. Вот отсюда и проблемы. Если модуль перестал быть нормой (удовлетворять ВСЕМ их аксиомам), то зачем на его основе вводить метрику? Да, к тому же не удовлетворяющую ВСЕМ аксиомам метрического пространства? Т.е. я просто за полноценные метрические и нормированные пространства. Если Ваша норма и метрика удовлетворяет ВСЕМ их аксиомам, пусть будет конкретное пространство с Вашей топологией, которое вполне можно изучать.

В том то и дело, что расширить понятия без потери качества на произвольные числовые системы невозможно. Всегда от чего-то приходится отказываться. С нашими поличислами - точно также. В них по сравнению с полями комплексных и действительных чисел появились делители нуля. Но, думаю, это даже не то что меньшее из всех возможных зол при расширении понятия числа, а, наоборот, огромное достоинство. Во всяком случае для физики, для которой наличие световых конусов в физически интерпретируемых пространствах-временАх - очень даже желательное качество.

Что касается удовлетворяемости связанной с модулем поличисла метрической функции аксиомам метрики. Во всех случаях, кроме алгебр действительных и комплексных чисел эти аксиомы не выполняются. Но так ведь они не выполняются и на пространстве связанном с двойными числами, но что еще более "страшно" в столь милом физикам пространстве Минковского. Или на основании несовпадения аксиом метрического и некоего предназначенного для физических приложений пространства Вы запретите физикам рассматривать псевдоевклидовы геометрии и псевдофинслеровы?

Физики давно ушли далеко в сторону от сосбтвенно по классически строгого понимания как метрики, так и нормы. Почему математики должны продолжать цепляться за эти, пусть и удобные, но не охватывающие всех нужных для физики свойств понятия?

Так что я стою за полноправное использование вместо метрик - финслеровых метрических функций, а вместо норм - модулей поличисел, которые как правило не удовлетворяют классическим определениям данных геометрических понятий.

Scholium в сообщении #316403 писал(а):

Только я не вижу той эстетики в топологии Вашего пространства, которую видите Вы. По крайней мере, конкретно это пространство для меня всего лишь «одно из».

Не Вы один не видите. Абсолютное большинство математиков не видят. Однако, у Вас, как мне кажется, несколько больше шансов, чем у других кое что эстетическое за "моими" поличислами начать различать. :) Ну, да всему свое время..

[Scholium]

To: Time

Кажется, я поторопился сказать, что «разобрался» с Вашей прямой суммой. Ваши матрицы $E\,,I\,,J\,,K$четвертого порядка над $\mathbb{R}$ эквивалентны матрицам второго порядка над $\mathbb{C}$:

$E = \left ( \begin{matrix} 1, & 0 \\ 0, & 1 \end{matrix} \right )$, $I = \left ( \begin{matrix} i, & 0 \\ 0, & i \end{matrix} \right )$, $J = \left ( \begin{matrix} 1, & 0 \\ 0, & -1 \end{matrix} \right )$, $K = \left ( \begin{matrix} i, & 0 \\ 0, & -i \end{matrix} \right )$.

Легко проверить, что они имеют те же свойства, что и Ваши. Хотя Вы можете перейти к матрицам четвертого порядка, заменив числа здесь на их матрицы второго порядка над $\mathbb{R}$. Кстати, понятно, почему эти матрицы коммутируют.

Так вот. Ваши матрицы не являются матрицами прямой суммы. Для прямой суммы верными будут следующие матрицы:

$E = \left ( \begin{matrix} 1, & 0 \\ 0, & 0 \end{matrix} \right )$, $I = \left ( \begin{matrix} i, & 0 \\ 0, & 0 \end{matrix} \right )$, $J = \left ( \begin{matrix} 0, & 0 \\ 0, & 1 \end{matrix} \right )$, $K = \left ( \begin{matrix} 0, & 0 \\ 0, & i \end{matrix} \right )$,

или эквивалентные им матрицы четвертого порядка.

$E = \left ( \begin{matrix} 1, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & 1, & 0, & 0 \\ 0 & 0, & 0, & 0 \\ 0 & 0, & 0, & 0 \end{matrix} \right )$, $I = \left ( \begin{matrix} 0, & 1, & 0, & 0 \\ -1, & 0, & 0, & 0 \\ 0 & 0, & 0, & 0 \\ 0 & 0, & 0, & 0 \end{matrix} \right )$, $J = \left ( \begin{matrix} 0, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & 0, & 0, & 0 \\ 0 & 0, & 1, & 0 \\ 0 & 0, & 0, & 1 \end{matrix} \right )$, $K = \left ( \begin{matrix} 0, & 0, & 0, & 0 \\ 0, & 0, & 0, & 0 \\ 0 & 0, & 0, & 1 \\ 0 & 0, & -1, & 0 \end{matrix} \right )$.

Таким образом, Ваша алгебра относиться к типу неполупростой алгебры 4-го порядка, а не прямой сумме полей $\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$.

[Scholium]

Time писал(а):

Наоборот, в каком виде эти матрицы записать - очень принципиально. Записывая в поле $C$ Вы неявно полагаете, что у векторов соотвествующих данным базисным числам НЕНУЛЕВЫЕ значения модуля и соотвествующей ему "длины". При записи в виде матриц 4x4 все встает на свои места. И модули и "длины" таких векторов имеют нулевую величину.

В данном случае это было просто сокращение записи. Ибо, подставив вместо чисел 0, 1 и $i$ их матрицы второго порядка, мы как раз выходим на Ваши четырехмерные действительные матрицы. Тем не менее, определенная эквивалентность присутствует и в большей степени. Например, мы получаем ту же таблицу умножения матричных единиц. Откровенно говоря, я не совсем понимаю Ваши слова: «Вы неявно полагаете». Как только нет формул, сразу появляется двусмысленность :) . Я отнюдь не предполагаю, что в Вашем представлении:

$X = E X_1 + I X_2 + J X_3 + K X_4$

числа $X_1\,,X_2\,,X_3\,,X_4 \in \mathbb{R}$ имеют какие-то исключения. По-моему, что возможно в четырехмерных действительных матрицах, возможно и двухмерных комплексных. Ибо все заявленные Вами свойства, представленные в Вашей таблице умножения независимых единиц, выполняются. Выполнение других свойств Вы не требовали. Так что я просто не пойму, что Вам не нравится. Вы могли бы продемонстрировать примером?

Time писал(а):

Во всех поличислах в отношении сопряженных дело обстоит во многом аналогично комплекнсым числам. В той же алгебре ${C}\oplus{C}$ у произвольного числа $X$ не одно сопряженное, а три. Произведение всей четверки дает искомую четвертую степень модуля. Если именно с этим модулем связать метрическую функцию некоего финслерова пространства, то эта величина окажется ни чем иным как финслеровым обобщение длины соответствующего вектора. Правда, правильнее тут говорить не о длине, а об интервале, так как все пространства связанные с поличислами размерности три и выше - псевдометрические, что связанно именно с обязательным наличием делителей нуля, а последние связаны с теоремой Фробениуса. Это же все вполне естественно, разве что, попервой непривычно.

В Ваших формулировках я вообще не понимаю смысла сопряженности. Насколько я помню определение сопряженного вектора $\bar{r}$, в произвольном векторном пространстве, то оно вводится единственным образом. Т.е., что-то типа, для преобразования

$\bar{r} = S\,r$ (*)

матрица $S$ задается вполне однозначно. А как Вы понимаете определение сопряженного вектора $\bar{r}$, в произвольном векторном пространстве? Выходит, что и модулей у Вас три, если понимать его как выражение

$\,| r | =\sqrt{r \bar{r}}$. (**)

Мне также непонятно, о чем Вы говорите дальше. Я не нашел у Вас на сайте, описания «с нуля» понятий прямой суммы, модуля, сопряженного вектора, определении Финслерова пространства и его метрики и т.д., т.е. «букварь» для первоклассников. Обычно во всех статьях и других публикациях неявно предполагается знакомство читателя с этими основами. Но понимание этих основ, как выясняется, у нас разное. Вы понимает одно, а я другое. Может быть, Вы подскажете мне такой «букварь»?

Time писал(а):

В том то и дело, что расширить понятия без потери качества на произвольные числовые системы невозможно. Всегда от чего-то приходится отказываться. С нашими поличислами - точно также. В них по сравнению с полями комплексных и действительных чисел появились делители нуля. Но, думаю, это даже не то что меньшее из всех возможных зол при расширении понятия числа, а, наоборот, огромное достоинство. Во всяком случае для физики, для которой наличие световых конусов в физически интерпретируемых пространствах-временАх - очень даже желательное качество.

Ну, возможно или невозможно это будет понятно тогда, когда будет явно сформулирована задача. Например, получить преобразование $X$ для $Y$, удовлетворяющее следующим условиям. . . Пока этого нет это будут всего лишь общие рассуждения, типа, я думаю так, а я так. Далее, мы пока говорим о математической стороне поличисел и их физическая интерпретация здесь явно излишня (по крайней мере, для меня она нуждается в обосновании).

Делители нуля это неполные нули с точностью до подобия (для прямых сумм).

Мне эта характеристика говорит больше, чем понятие «световые конусы», хотя я ничего против них не имею. Просто мне хотелось бы до полного выяснения математической природы поличисил не заменять математические понятия физическими.

Лично я особых проблем не вижу. Определяем сопряжение и модуль по формулам (*) и (**). Если модуль имеет все свойства нормы, то используем его как норму, иначе вводим другую норму. Разные нормы будут определять разные пространства и т.д.

Time писал(а):

Что касается удовлетворяемости связанной с модулем поличисла метрической функции аксиомам метрики. Во всех случаях, кроме алгебр действительных и комплексных чисел эти аксиомы не выполняются. Но так ведь они не выполняются и на пространстве связанном с двойными числами, но что еще более "страшно" в столь милом физикам пространстве Минковского. Или на основании несовпадения аксиом метрического и некоего предназначенного для физических приложений пространства Вы запретите физикам рассматривать псевдоевклидовы геометрии и псевдофинслеровы?

Не выполняются, потому что пространства не нормированы должным образом. Двойные числа могут быть нормированы вводом нормы комплексного числа, т.е. $\,|| x + j y || = \sqrt{x^2 + y^2}$. А сами двойные числа нужно различать на те, которые имеют эту норму и те, которые не имеют. Получим два пространства. И каждый пусть изучает тот диалект, который ему больше нравится.

Я думаю, что если завтра окажется что пространство Минковского не вполне отражает суть физических явлений, то мир не рухнет. Впрочем, это не важно. Если физикам нравятся ненормированные пространства, то ради Бога, пусть изучают. Это такие же математические объекты, как и нормированные пространства, просто у них меньше «хороших» свойств, только и всего. Но лично я вижу проблему адекватности физико-математических моделей реальному миру не на водоразделе нормированные / ненормированные пространства, а на более глубоких концепциях.

Однако, что касается поли- и гиперчисел, то мне кажется более правильным путь «от простого к сложному». Сначала мы выясняем алгебраические свойства числовых систем и решаем проблему их классификации, потом, наделяем их стандартными метриками и топологиями и изучаем дальше, а затем уже можно рассмотреть их нестандартные метрики и топологии и всякие другие «изыски». Ну а какая конструкция будет применима в физике в большей или меньшей степени, то это уже другой вопрос. Возможно даже, что придется привлекать дополнительные концепции математического и физического плана.

Time писал(а):

Физики давно ушли далеко в сторону от сосбтвенно по классически строгого понимания как метрики, так и нормы. Почему математики должны продолжать цепляться за эти, пусть и удобные, но не охватывающие всех нужных для физики свойств понятия?

Не возражаю, но они уже проделали путь, описанный абзацем выше, только для полей чисел. А проблема здесь чисто техническая, взявшись сразу за сложный вариант, не разобравшись с простым, - больше риска «напартачить».

Time писал(а):

Так что я стою за полноправное использование вместо метрик - финслеровых метрических функций, а вместо норм - модулей поличисел, которые как правило не удовлетворяют классическим определениям данных геометрических понятий.

Какие проблемы? Я признаю неклассические топологии, а Вы классические, только и всего. Но я предпочитаю идти к неклассическим через классические, а Вы сразу берете «быка за рога». Просто я бы так не рискнул бы :) .

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Только я не вижу той эстетики в топологии Вашего пространства, которую видите Вы. По крайней мере, конкретно это пространство для меня всего лишь «одно из».

Не Вы один не видите. Абсолютное большинство математиков не видят. Однако, у Вас, как мне кажется, несколько больше шансов, чем у других кое что эстетическое за "моими" поличислами начать различать. :) Ну, да всему свое время..

Просто мне не нравится бессистемность. Появится система в поличислах, появится и эстетика :) .

[Time]

Scholium в сообщении #316523 писал(а):

Таким образом, Ваша алгебра относиться к типу неполупростой алгебры 4-го порядка, а не прямой сумме полей .

Не только я Вас удивляю, но и Вы меня.. :)
Что первый набор матриц, что второй - это просто разные варианты базисов ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры. Не станете же Вы утверждать, что свойства алгебры зависят от базиса, в котором представляются ее числа?
Просто первый набор чисел не являются делителями нуля и имеют модули равные вещественно единице, а второй, именно что, делители нуля и их модули как и положено равны нулю. У Вас получается, что алгебра является прямой суммой только в базисе из делителей нуля. Немудрено, что у Вас постоянно проскальзывало убеждение, что две комплексных плоскости в алгебре прямой суммы двух комплексных "не видят" не только друг друга, но и всего четырехмерного пространства, плоскостями делителей нуля которого они являются..
Коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных алгебр, не являющихся прямыми суммами действительных и комплексных алгебр - не бывает. Вспомните теорему Вейерштрасса..

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

По-моему, что возможно в четырехмерных действительных матрицах, возможно и двухмерных комплексных. Ибо все заявленные Вами свойства, представленные в Вашей таблице умножения независимых единиц, выполняются. Выполнение других свойств Вы не требовали. Так что я просто не пойму, что Вам не нравится. Вы могли бы продемонстрировать примером?

Вы уже сами исправили собственную оплошность. Мне не нравилось, что вместо четырех матриц 4х4 $e_k$, которым соответствовали числа являющиеся делителями нуля, Вы привели четыре матрицы 2х2 с компонентами в виде комплексных чисел, которым соответствовали числа четырехмерной алгебры, делителями нуля не являвшиеся. В последнем варианте все нормально. Против такого представления не возражаю, но справшивается, зачем оно нужно? Ведь Вы декларировали, что в матрицах Вам все нужно представлять, что бы было более удобно, а более всего удобно именно с вещественными компонентами.
В этом месте я снова хочу обратить Ваше внимание, что кроме представления чисел из алгебры ${C}\oplus{C}$ в виде матриц-строк (сами гиперкомплексные числа) и в виде матриц 4х4 с вещественными компонентами можно рассматривать представление в виде матриц 4х4х4х4 также с вещественными компонентами. Конечно, такое представление чрезвычайно громоздко, но полагаю, рано или поздно, имея дело с "кривыми" пространствами связанными с поличислами, именно такие представления понадобятся, так как метрический тензор таких пространств имеет не два индекса как в римановых и псевдоримановых ($g_{ij}$) пространствах, а четыре: ($g_{ijkl}$).

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

А как Вы понимаете определение сопряженного вектора , в произвольном векторном пространстве? Выходит, что и модулей у Вас три

Вы все никак не привыкните, что я ЦЕЛЕНОПРАВЛЕННО не работаю с произвольными векторными пространствами. Мне интересны только такие, над которыми задана таблица умножения всех векторов, и даже она не произвольная, а коммутативно-ассоциативная. В ТАКИХ векторных пространствам очень многое по другому устроено, чем в произвольных векторных пространствах и даже в таких, в которых задано некоммутативное или неассоциативное произведение векторов, а то и вообще в "неполной" форме, а в виде "кусков", например как скалярное или векторное произведения, а также внутреннее или внешнее..
Если же умножение задано именно "полное" и коммутативно-ассоциативное - в ТАКОЙ алгебре всегда можно каждому вектору поставить в соответствие несколько сопряженных и получить при их перемножении n-ю степень модуля.

В случае рассматриваемой алгебры ${C}\oplus{C}$ каждому числу X представленному в базисе $1, I, J, K$:
$X=X_1+IX_2+JX_3+KX_4$

соответствуют еще три сопряженных:
$X'=X_1-IX_2+JX_3-KX_4$
$X''=X_1+IX_2-JX_3-KX_4$
$X'''=X_1-X_2-JX_3+KX_4$

Их произведение:
$XX'X''X'''$ - всегда действительное число, которое и следует называть четвертой степенью модуля числа $X$ алгебры ${C}\oplus{C}$

Такой модуль всегда один. По аналогии с ним можно ввести и аргументы гиперкомплексного поличисла, а вместе с ними и экспоненциальную форму представления, обобщающую на произвольные поличисла формулу Эйлера.
Все это описывалось и не единожды в наших с Гарасько статьях и в его книге. Мне казалось, что Вы это читали..

В векторных пространствах без алгебры, или с алгеброй но не коммутативно-ассоциативной, ни такого "множественного" сопряжения, ни модуля с со свойством мультипликативности, ни аргументов (которые при перемножении складываются) - ввести практически никогда нельзя. Отчасти, именно поэтому мне нравятся алгебры поличисел и не нравятся другие гиперкомплексные числа. Хотя, конечно, теперь я лучше понимаю, что происхождение "хороших" качеств поличисел зарыто существенно глубже..

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Мне также непонятно, о чем Вы говорите дальше. Я не нашел у Вас на сайте, описания «с нуля» понятий прямой суммы, модуля, сопряженного вектора, определении Финслерова пространства и его метрики и т.д., т.е. «букварь» для первоклассников. Обычно во всех статьях и других публикациях неявно предполагается знакомство читателя с этими основами. Но понимание этих основ, как выясняется, у нас разное. Вы понимает одно, а я другое. Может быть, Вы подскажете мне такой «букварь»?

По поличислам такой "букварь" пока только в стадии формирования и можно найти лишь в отывочном виде в книге Гарасько и в наших с ним статьях, опубликованных в журнале "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике", начиная с 2004 года. Кое что есть также в статьях Чернова и Кокарева в этом же журнале. К сожалению, учебника пока нет не то что по поличислам, а даже по такому их частному представителю, как двойные. Я понимаю, что это неправильно. Но что поделаешь, пока с h-анализом над двойными числами кто ни будь не наведен такой же лоск и порядок как в ТФКП, даже пробовать что-то "букварное" писать о поличислах, как мне кажется, преждевременно.

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Мне эта характеристика говорит больше, чем понятие «световые конусы», хотя я ничего против них не имею. Просто мне хотелось бы до полного выяснения математической природы поличисил не заменять математические понятия физическими.

Согласен, что термин светового конуса пока полностью оправдан лишь в случае двойных чисел, которым соответствует двумерная псевдоевклидова плоскость, которая физиками в виде двумерного пространства-времени давно и успешно используется. Во всех остальных случаях - это мои интуитивные ожидания и я согласен, что перескакиваю через ступеньки, перенося термин светового конуса и туда.

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Лично я особых проблем не вижу. Определяем сопряжение и модуль по формулам (*) и (**). Если модуль имеет все свойства нормы, то используем его как норму, иначе вводим другую норму. Разные нормы будут определять разные пространства и т.д.

Модуль любого поличисла имеет всегда не свойства классической нормы, а ее обобщения. Однако это обобщение совершенно естественное и свойства таких "других" норм ничем не хуже, чем обычной, а часто даже и лучше.
Однако обратите внимание, что моя логика существенно иная, чем Ваша. Я отталкиваюсь от коммутативно-ассоциативной алгебры. Именно она задает и модуль, и норму, и метрику, и топологию. А Вы хотите все это брать как кубики некоторого конструктора и смотреть, что получится, если в разных комбинациях соединять различные варианты этих объектов. Вы представляете, сколько при этом придется перебрать вариантов? И за ради чего?

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Двойные числа могут быть нормированы вводом нормы комплексного числа. А сами двойные числа нужно различать на те, которые имеют эту норму и те, которые не имеют. Получим два пространства. И каждый пусть изучает тот диалект, который ему больше нравится.

Теоретически правомочность такого подхода я допускаю. Но его практическую ценность оцениваю как весьма низкую. Вот Вы видите для двойных чисел только два возможных диалекта, а их бесконечное количество, в частности, при таком подходе можно с равным успехом кроме указанных двух рассматривать суммы и разности кубов, четвертых степеней, и т.д., а также и более сложные функций от компонент. И чего, всеми такими диалектами предлагаете кому-то заниматься? Кому что больше нравится? Нет, уж лучше однозначность, чем такой выбор.. В противном случае - получим бардак, вместо гармоничной и упорядоченной конструкции. Это естественно не означает, что кто-то может иметь иную позицию и поступать сообразно с ней.

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Я думаю, что если завтра окажется что пространство Минковского не вполне отражает суть физических явлений, то мир не рухнет.

Вы уже должны быть в курсе, что мы именно это физикам и предлагаем. :) Вместо пространства Минковского взять с метрикой Бервальда-Моора..

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Если физикам нравятся ненормированные пространства, то ради Бога, пусть изучают. Это такие же математические объекты, как и нормированные пространства, просто у них меньше «хороших» свойств, только и всего. Но лично я вижу проблему адекватности физико-математических моделей реальному миру не на водоразделе нормированные / ненормированные пространства, а на более глубоких концепциях.

У физиков есть замечательный критерий правильности их построений и используемых для этого понятий - эксперимент. У математиков с этим несколько сложнее.
Кроме того физики не просто отказываются от нормы, а вводят ее адекватный заменитель. Точно также получается и с "нашими" пространствами на поличислах. Предлагается не просто отказаться от нормы или метрики, а заменить их более естественными для поличисловых пространств обобщениями. Все от этого только выигрывают.

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Однако, что касается поли- и гиперчисел, то мне кажется более правильным путь «от простого к сложному». Сначала мы выясняем алгебраические свойства числовых систем и решаем проблему их классификации, потом, наделяем их стандартными метриками и топологиями и изучаем дальше, а затем уже можно рассмотреть их нестандартные метрики и топологии и всякие другие «изыски». Ну а какая конструкция будет применима в физике в большей или меньшей степени, то это уже другой вопрос. Возможно даже, что придется привлекать дополнительные концепции математического и физического плана.

Вы вольны поступать в соответсвии с этим озвученным планом. Просто я хочу высказать свое отношение к последствиям. Времени и сил Вы потратите немерянно, а результат будет все равно один - ничего более интересного, чем поличисла Вы не получите. А если покажется, что что-то более интересное нашли - пойдете по ложному пути. Запретить я не имею права, но предупредить то могу?

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Не возражаю, но они уже проделали путь, описанный абзацем выше, только для полей чисел. А проблема здесь чисто техническая, взявшись сразу за сложный вариант, не разобравшись с простым, - больше риска «напартачить».

Так я же не возражаю против необходимости начинать разбираться с самым простым. Таковым для поличисел является алгебра и h-анализ над двойными числами. Причем без всяких экспериментов с нормами, не согласованными с модулем двойного числа. Проще задачу связанную с поличислами трудно придумать, однако и она достаточно тяжела, раз вызывает столько непонимания, причем не только со стороны физиков, но и математиков. Именно это и демонстрирует наш спор на счет того, как правильно ввести понятие сходимости для последовательности двойных чисел. Может попробуете с таким простым вопросом разобраться?

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Какие проблемы? Я признаю неклассические топологии, а Вы классические, только и всего. Но я предпочитаю идти к неклассическим через классические, а Вы сразу берете «быка за рога». Просто я бы так не рискнул бы :)

Не рискунули бы до конца разобраться с двойными числами? :)
Впрочем, я согласен с утверждением, что самые простые вещи часто на поверку оказываются самыми сложными..

Scholium в сообщении #316538 писал(а):

Просто мне не нравится бессистемность. Появится система в поличислах, появится и эстетика :)

Тут полностью согласен. Однако, Вам не кажется, что системность в поличислах логично начать наводить с создания аналога ТФКП под названием теория функций двойной переменной и с одного из первых и главных ее понятий - определения сходимости последовательности чисел, причем не всеми возможными способами, а одним единственным, который однозначно диктуется алгеброй этих чисел, но до сих пор математически строго не идентифицирован?

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Таким образом, Ваша алгебра относиться к типу неполупростой алгебры 4-го порядка, а не прямой сумме полей .

Не только я Вас удивляю, но и Вы меня.. :)
Что первый набор матриц, что второй - это просто разные варианты базисов ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры. Не станете же Вы утверждать, что свойства алгебры зависят от базиса, в котором представляются ее числа?
Просто первый набор чисел не являются делителями нуля и имеют модули равные вещественно единице, а второй, именно что, делители нуля и их модули как и положено равны нулю. У Вас получается, что алгебра является прямой суммой только в базисе из делителей нуля. Немудрено, что у Вас постоянно проскальзывало убеждение, что две комплексных плоскости в алгебре прямой суммы двух комплексных "не видят" не только друг друга, но и всего четырехмерного пространства, плоскостями делителей нуля которого они являются..

Насколько я помню, «разные варианты базисов ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры» это когда они подобны, т.е. для разных матричных единиц $E_1$ и $E_2$ существует неособая матрица $B$ (с неравным нулю определителем), для которой выполняется соотношение:

$E_2 = B^{-1} E_1 B$, (*)

в частности, при этом преобразовании сохраняется инвариант – определитель матрицы. Однако определители Вашей прямой суммы и моей – различны. Так что для меня не очевидно, что это базисы «ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры». Базисы могут различаться только с точностью до подобия. Насчет, «не видят» это свойство прямых сумм, которые придумал не я :) .

Time писал(а):

Коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных алгебр, не являющихся прямыми суммами действительных и комплексных алгебр - не бывает. Вспомните теорему Вейерштрасса..

Вы можете упростить речь, если будете говорить о коммутативных алгебрах, а не «коммутативно-ассоциативных» (я об этом уже писал). Ибо ассоциативность входит в число аксиом произвольной алгебры, а коммутативность нет. Строго говоря, если не ассоциативная, то уже и не алгебра, но вроде термин «неассоциативная алгебра» узаконен. Так вот слово «неассоциативная» употреблять необходимо, а «ассоциативная» - явно избыточное определение для алгебры.

Насчет «не бывает» – Вы не правы. Пример, параболические (дуальные) числа $\mathbb{P}_2$. Они не сводятся к прямой сумме полей. Это, так называемая, неполупростая алгебра. А в теореме Вейерштрасса речь идет только об полупростых алгебрах. Структура неполупростых алгебр очень сложна для анализа и до конца не решена до сих пор. В канонических матрицах этих алгебр, всегда присутствует, так называемая, «склейка». Похоже, она есть и у Вас. Т.е. вопрос, о том, что Ваша четырехмерная алгебра полупростая – не доказан. Хотя я могу быть не точен в «доказательстве» того, что она неполупростая. И Вы явно не в тех терминах ведете речь об ее «прямоте».

Time писал(а):

Вы уже сами исправили собственную оплошность. Мне не нравилось, что вместо четырех матриц 4х4 , которым соответствовали числа являющиеся делителями нуля, Вы привели четыре матрицы 2х2 с компонентами в виде комплексных чисел, которым соответствовали числа четырехмерной алгебры, делителями нуля не являвшиеся. В последнем варианте все нормально. Против такого представления не возражаю, но справшивается, зачем оно нужно? Ведь Вы декларировали, что в матрицах Вам все нужно представлять, что бы было более удобно, а более всего удобно именно с вещественными компонентами.

Я не вижу никакой оплошности. И я не понимаю, причем тут независимые единичные матрицы и делители нуля. Применив неособое преобразование (*) к матрице делителя нуля мы получим, скорее всего, матрицу, которая делителем нуля уже не будет. Но она будет подобна исходной матрице. Поэтому Ваш «критерий» не вполне разумный, по-моему. Пример, 1 и $j$ не являются делителями нуля в $H_2$. Но они являются независимыми (матричными) единицами. Применив к ним неособое преобразование (*), заключающееся в повороте этих матричных единиц на 45 градусов по часовой стрелке, мы перейдем к другим независимым подобным (матричным) единицам вида $\frac{1 + j}{2}$ и $\frac{1 - j}{2}$, которые уже являются делителями нуля и наоборот. Так по-Вашему должно быть, что эти пары матричных единиц не подобны и не выражают изоморфизм?

Более удобно то, что более проще. Если будет доказана эквивалентность двух представлений в $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$, то можно будет (скорее всего) пользоваться обеими вариантами равноправно.

Time писал(а):

В этом месте я снова хочу обратить Ваше внимание, что кроме представления чисел из алгебры ${C}\oplus{C}$ в виде матриц-строк (сами гиперкомплексные числа) и в виде матриц 4х4 с вещественными компонентами можно рассматривать представление в виде матриц 4х4х4х4 также с вещественными компонентами. Конечно, такое представление чрезвычайно громоздко, но полагаю, рано или поздно, имея дело с "кривыми" пространствами связанными с поличислами, именно такие представления понадобятся, так как метрический тензор таких пространств имеет не два индекса как в римановых и псевдоримановых ($g_{ij}$) пространствах, а четыре: ($g_{ijkl}$).

Понимаете, я ничего не воспринимаю на веру. Допускаю малую вероятность, что Вы правы, но такой подход мне не кажется «правильным».

Time писал(а):

Scholium писал(а):

А как Вы понимаете определение сопряженного вектора , в произвольном векторном пространстве? Выходит, что и модулей у Вас три

Вы все никак не привыкните, что я ЦЕЛЕНОПРАВЛЕННО не работаю с произвольными векторными пространствами. Мне интересны только такие, над которыми задана таблица умножения всех векторов, и даже она не произвольная, а коммутативно-ассоциативная. В ТАКИХ векторных пространствам очень многое по другому устроено, чем в произвольных векторных пространствах и даже в таких, в которых задано некоммутативное или неассоциативное произведение векторов, а то и вообще в "неполной" форме, а в виде "кусков", например как скалярное или векторное произведения, а также внутреннее или внешнее..
Если же умножение задано именно "полное" и коммутативно-ассоциативное - в ТАКОЙ алгебре всегда можно каждому вектору поставить в соответствие несколько сопряженных и получить при их перемножении n-ю степень модуля.

В случае рассматриваемой алгебры ${C}\oplus{C}$ каждому числу X представленному в базисе $1, I, J, K$:
$X=X_1+IX_2+JX_3+KX_4$

соответствуют еще три сопряженных:
$X'=X_1-IX_2+JX_3-KX_4$
$X''=X_1+IX_2-JX_3-KX_4$
$X'''=X_1-X_2-JX_3+KX_4$

Как я понимаю, для Вас слово «сопряженный» означает знак «минус» у пары некоторых компонент вектора. С чем хоть связан этот «произвол»? С тем, что две гиперболических единицы?

Вообще-то, если вводятся новые определения, то делается это очень последовательно и аргументировано. И какое вообще право назвать это сопряженными векторами, когда у этого слова другое значение. Чтобы запутать математиков? Если явной связи с известными определениями нет, то давайте назовем эти вектора, например, «разноцветными».

Time писал(а):

Их произведение:
$XX'X''X'''$ - всегда действительное число, которое и следует называть четвертой степенью модуля числа $X$ алгебры ${C}\oplus{C}$

С какой стати? Опять использование стандартного термина не по назначению. Может быть, это и есть причина, что мы никак не можем понять друг друга уже много времени в простейших вопросах? Может быть, не стоит злоупотреблять общепринятыми математическими терминами? Или уж, если сильно хочется, добавьте какой-нибудь модификатор, например, финслерово сопряжение, финслеровы сопряженные вектора, финслеровый модуль, финслеровая псевдонорма и т.д. и т.п. Ей Богу обидно, через месяц интенсивной переписки выяснить, что под общепринятым термином подразумеваются принципиально различные вещи.

Time писал(а):

Такой модуль всегда один. По аналогии с ним можно ввести и аргументы гиперкомплексного поличисла, а вместе с ними и экспоненциальную форму представления, обобщающую на произвольные поличисла формулу Эйлера.
Все это описывалось и не единожды в наших с Гарасько статьях и в его книге. Мне казалось, что Вы это читали..

Вы же не акцентируете внимание, что стандартному математическому термину присваиваете нестандартный смысл. До меня это только сейчас дошло. А Ваш стиль очень фрагментарный, потому и не создается целостной картины восприятия. Потому и пришлось прочитать Ваши статьи только «по диагонали». Выходит, что даже добросовестному читателю нужен месяц интенсивной переписки с автором теории, чтобы понять, а что же автор имеет в виду? И то я еще не все до конца понял. Это первое впечатление. А второе, это переписать все Ваши статьи с нуля заново. Не воспринимайте это как обиду! Мои учетные программы на предприятии работают успешно уже несколько лет, но меня постоянно гложет чувство, что их надо переписать заново с нуля и на другом языке программирования. И это несмотря на то, что на их написание и внедрение я потратил несколько лет. Ибо совершенству нет предела. Поэтому будьте морально готовы к тому, что если не я, так кто-нибудь другой придет и скажет: «Все, что Вы написали, нужно будет переписать заново, уже другими словами и с другой концепцией». Для примера, почитайте любой классический учебник по математике. Практически никогда не возникает желания спросить у его автора, а что же он имел в виду? Т.е. эти книги самодостаточны.

Насчет формулы Эйлера для поличисел. Тут вообще все просто. Подставьте матрицу поличисла в экспоненту и вычислите экспоненту от матрицы и получите готовую формулу. Так, например, я проверил тождество Эйлера для двойных чисел:

$e^{j t} = \text{ch}(t) + j~\text{sh}(t),~~~~t \in \mathbb{R}$,

где $j = \left ( \begin{matrix} 0, & 1 \\ 1, & 0 \end{matrix} \right )$.

[Time]

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Насколько я помню, «разные варианты базисов ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры» это когда они подобны, т.е. для разных матричных единиц и существует неособая матрица (с неравным нулю определителем), для которой выполняется соотношение:

, (*)

в частности, при этом преобразовании сохраняется инвариант – определитель матрицы. Однако определители Вашей прямой суммы и моей – различны. Так что для меня не очевидно, что это базисы «ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ алгебры». Базисы могут различаться только с точностью до подобия.

Вы говорите выше о переходах между векторами безиса (или между представляющими их матрицами) при помощи ортогональных преобразований, которое представляют собой повороты (то есть, особый вид движений линейного пространства с сохранением длин или интервалов). Однако это очень частный случай линейных преобразований линейных пространств. Переходы между базисами в одном и том же линейном пространстве не ограничены поворотами и даже более широкой группой движений. Существуют линейные пространства, причем обладающие метрическими функциями (это обобщение понятия метрики на псевдоевклидовы и финслеровы пространства) в которых далеко не всегда можно перевести вектор одного направления в другой при помощи изометрических поворотов. В частности таким, способом невозможно перевести ни один вектор связанный с делителями нуля в такой, у которого ненулевой модуль. Равно как невозможно при помощи изометрических поворотов перевести в неизотропный вектор в изотропный. Однако это не означает, что такие пары векторов не связаны линейными преобразованиями более общего вида, чем вращения или группа движений. Поэтому, не смотря на то, что при помощи преобразований вида:
$E_2=B^{-1}E_1B_1$
перевести вектора изотропного базиса (состоящего из делителей нуля) в неизотропные (в частности, такие как представлены единицами $1, I, J, K$ и которые я называл "ортонормированными", естественно в финслеровском смысле последнего термина) - не возможно в принципе, все равно это базисы одного и того же линейного пространства, просто связаны они не поворотами, а более общего вида линейными преобразованиями.
Вероятно, Вы слишком много дела имели последнее время с ортогональными преобразованиями, да к тому же обычных евклидовых простарнств (недаром у Вас такое большое преклонение перед классическими понятиями метрики и нормы), я же, наоборот, последнее десять лет с ними уже почти не имею дела. Вот и происходит постоянное непонимание друг друга.
Отчасти, теперь мне также стало понятно недоразумение на счет "поворота на 45 градусов" векторов изотропного базиса пространства $H_2$ для того, что бы те совпали с единичными ортонормированными векторами базиса этого же пространства $1$ и $j$. Так выглядит это преобразование исключительно в евклидовой метрике плоскости. В самом же псевдометрическом пространстве $H_2$ преобразование связывающие эту пару базисов поворотом (то есть изометрическим преобразованием) не является. Хотя бы потому, что у них разные длины (интервалы). У одной пары - нулевые, а у другой единичные.

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Насчет, «не видят» это свойство прямых сумм, которые придумал не я :) .

Я знаю, что придумали это не Вы. Это очень распространенное мнение на счет устройства пространств, связанных с прямыми суммами двух полей. Отчасти, именно благодаря такому утверждению математики и не хотят видеть за подобными алгебрами нечто бОльшее, чем просто расщепленные на $n$ плюс $m$ отдельных вещественных и комплексных подпространств. Между тем, как всякое такое пространство размерности выше двух - совсем не тривиально. За ними всегда стоит уже не квадратичная, а финслерова метрическая функция, со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Именно благодаря этому утверждению, Вы не найдете ни в какой серьезной или хотя бы в учебной математической литературе разбора метрический свойств пространств, связанных с подобными алгебрами. Как только математики высяняют, что та или иная алгебра сводится к прямой сумме вещественных и комплексных чисел, они мысленно вспоминают эту фразу о "невидимости" и считают вопрос с метрической структурой ЗАКРЫТЫМ и неинтересным для дальнейших исследований. Именно поэтому факт красивой и нетривиальной связи алгебр прямых сумм полей $R$ и $C$ оставался, аж до примерно 2000 года неизвестным не только алгебраистам, но даже специалистам по финслеровым пространствам. Поэтому обсуждения этих и сопутствующих вопросов Вы не найдете не только у Розенфельда или в "Современной геометрии" Дубровина, Новикова, Фоменко, но и у таких известных финслеристов как Картан, Рашевский, Чен, Шен, Бао и сотен других.
Между тем, понять, что каждое финслерово пространство, связанное с коммутативно-ассоциативными алгебрами, по сути, устроено также нетривиально и гармонично, как алгебра комплекнсых чисел и даже существенно интереснее (при числе измерений три и выше и хотя бы одной эллиптически мнимой единице) совсем не сложно. Нужно только отказаться от навязанного неизвестно кем СТЕРЕОТИПА о тривиальности, связанного с тем, что в одном из базисов все такие пространства расщепляются на прямые суммы $n$ и $m$ полей. Такое имеет место в одном единственном базисе, что, конечно же, определенным образом характеризует все пространство, но совсем даже не дает представления о его устройстве целиком. Финслеровы метрические функции часто слишком сложны, что бы по связанным с ними закономерностям можно было бы судить с единого взгляда на них сквозь призму единственного тривиального изотропного базиса.
Я уже достаточно давно плотно общаюсь и с алгебраистами и с финслеристами. Этот простой факт доходит крайне медленно ДО ВСЕХ. Например, с группой ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ финслеристов из Румынии, имеющих огромный международный авторитет, мы общаемся уже более пяти лет. И лишь год назад только-только стали появляться первые признаки того, что они не только на словах, но и на деле стали понимать, о чем идет речь, когда обсуждаются метрические (правильнее было бы сказать - псевдометрические) свойства даже таких пространств как $R+R+R$ или $R+R+R+R$.
Конечно, виной тут, отчасти, невыработанность языка, но еще больше повинны привычки, которые за один год не исчезают..

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Вы можете упростить речь, если будете говорить о коммутативных алгебрах, а не «коммутативно-ассоциативных» (я об этом уже писал). Ибо ассоциативность входит в число аксиом произвольной алгебры, а коммутативность нет. Строго говоря, если не ассоциативная, то уже и не алгебра, но вроде термин «неассоциативная алгебра» узаконен. Так вот слово «неассоциативная» употреблять необходимо, а «ассоциативная» - явно избыточное определение для алгебры.

Снова у Вас неверное представление. Ассоциативность входит автоматически в понятие не произвольной алгебры, а группы. Например такая простенькая восьмикомпонентная алгебра как октавы или октанионы - неассоциативна. Она же, кстати, еще и некоммутативна. Однако существуют и коммутативные, но неассоциативные алгебры. Для них даже название специальное придумано - Йордановы алгебры. Хуже того, существуют и более искареженные алгебры, например, не обладающие альтернированностью. Например, алгебра 16-компонентных сединионов. И это все алгебры с ПОЛНЫМ умножением. А есть много таких, в которых умножение "урезанное" и осталось, в частности, лишь в виде скалярных и векторных произведений. Или чаще говорят о внутренних и внешних умножениях векторов, как имеет место в алгебрах Кэлли. Почему я и говорю, что если пытаться заниматься классификацией всех таких алгебр, даже ограничившись четырьмя измерениями, и жизни не хватит. Отчасти, именно поэтому мы не тратим время на классификацию, а на основании ряда "хороших" признаков выбрали для себя основным объектом изучения - коммутативно ассоциативные невырожденные гиперкомплексные числа (невырожденные поличисла), причем как правило с размерностью не выше четырех. Уже этих алгебр хватит не на одну жизнь. Если же говорить, чего же "хорошего" именно в таких, казалось бы, излишне тривиальных алгебрах - то это бесконечная размерность уже для группы конформных преобразований (а ведь из-за финслеровости метрики есть еще и более сложные и более богатые непрерывные преобразования), что автоматически тянет за собой существование не менее богатых множеств h-аналитических функций. Именно этого свойства нет НИ У ОДНОЙ некоммутативной и неассоциативной алгебры. Ну и конечно, немаловажную роль в "хорошести" играет то обстоятельства, что поля действительных и комплексных чисел являются не только подалгебрами и подпространствами, но и группы их конформных преобразований являются подгруппами групп этих многомерных пространств (чего нет в многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространствах и в частности в кватернионах и октавах).

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Насчет «не бывает» – Вы не правы. Пример, параболические (дуальные) числа . Они не сводятся к прямой сумме полей. Это, так называемая, неполупростая алгебра. А в теореме Вейерштрасса речь идет только об полупростых алгебрах. Структура неполупростых алгебр очень сложна для анализа и до конца не решена до сих пор. В канонических матрицах этих алгебр, всегда присутствует, так называемая, «склейка». Похоже, она есть и у Вас. Т.е. вопрос, о том, что Ваша четырехмерная алгебра полупростая – не доказан. Хотя я могу быть не точен в «доказательстве» того, что она неполупростая. И Вы явно не в тех терминах ведете речь об ее «прямоте».

С тем, что не в тех терминах - вполне могу согласиться. Я говорил о невырожденных коммутативно-ассоциативных алгебрах поличисел. Математики, похоже, таким терминами невырожденные и вырожденные не пользуются, заменяя их на полупростые и неполупростые. Однако на их совести есть грех считать все алгебры связанные с прямыми суммами - тривиальными. Так что, признавая, что мы с Гарасько занялись тут излишнем терминотворчеством, хочется отметить, что определенное право на такой шаг мы имели. Еще раз подчеркну, что всегда, когда не оговаривается обратное, у нас речь идет о невырожденных алгебрах поличисел (последний термин также на нашей совести, и придуман именно для того, что бы не выписывать каждый раз некоммутативно-неассоциативная алгебра гиперкомплексных чисел).
То, что Вы пишете о неполупростых алгебрах (в нашей терминологии о вырожденных алгебрах поличисел) - вполне допускаю соответствует реальному положению вещей. Их структура наверняка не такая уж и элементарная. Однако и полупростые алгебры (в нашей терминологии - невырожденные поличисла) - совсем даже не тривиальны, если видеть за ними не только алгебры двух полей наиболее отчетливо разделяющиеся в особых изотропных базисах, а стоящие за ними многомерные финслеровы пространства и связанные с их непрерывными симметриями h-аналитические и супераналитические (речь о наличии метрических финслеровских инвариантов более сложных, чем длины и углы - которые приводят к появлению линейных и нелинейных h-аналитических функций) функции. C ТАКИХ позиций эти самые полупростые коммутативно-ассоциативные алгебры до нас, похоже, вообще никто не исследовал. Отсюда и непонимание, и обиды, а чаще всего - верчение пальцем у виска и восклицания - бред!

Что касается Вашего примера, что алгебра $P_2$ являентся контрпримером о несводимости всех коммутативно-ассоциативных алгебр к прямым суммам вещественных и коплексных полей, то я говорил о невырожденных алгебрах поличисел. Извиняюсь, что не подчеркнул этого на этот раз, но об этом говорилось часто перед этим. Не стОит пока такими вырожденными (неполупростыми) алгебрами заниматься, пока не расставлены все точки над i в невырожденных (полупростых) алгебрах поличисел. Потом, не являясяь прямыми суммами, алгебры вырожденных поличисел, на сколько я понимаю, являются не простыми суммами, а обычными суммами вещественных и комплексных полей, а это приводит к более тривиальным финслеровым пространствам, чем те, что рассматриваем в первую очередь мы..

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Я не вижу никакой оплошности. И я не понимаю, причем тут независимые единичные матрицы и делители нуля. Применив неособое преобразование (*) к матрице делителя нуля мы получим, скорее всего, матрицу, которая делителем нуля уже не будет. Но она будет подобна исходной матрице. Поэтому Ваш «критерий» не вполне разумный, по-моему.

Теперь понятна Ваша логика. Попробую объясниться..
Все векторные пространства связанные с делителями нуля в качестве естественной геометрии обладают неевклидовой метрикой (попробуйте хотя бы допустить такую мысль). А для таких пространств используемое Вами ортогональное преобразование матриц не является преобразованием из группы их движений, то есть сохраняющих ИХ метрическую функции и связанные с ними интервалы (длины) векторов. Однако формально преобразования, по внешнему виду совпадающие с изиметрическими вращениями ЕВКЛИДОВЫХ пространств в таких неевклидовых финслеровых пространствах - имеются. Естетсвенно, что те будут сохранять евклидову метрику. Но к финслеровой (или к псевдоевклидовой) метрике это не имеет ровно никакого отношения. Попробуйте вычислить ЕВКЛИДОВУ длину любого вектора связанного с делителями нуля. Она, естественно, не будет нулевой. А по самой логике пространства с делителями нуля в их собственной метрике любой делитель нуля имеет нулевую длину. Поэтому преобразования матриц, которые Вы выписали с одной стороны не имеют никакого отношения к движениям (вращениям) неевклидова пространства и, следовательно, к сохранению неевклиддовых мер, но с другой стороны имеют отношение к евклидовым движениям и, следовательно, к сохранению евклидовых длин.
Вся эта чехарда проистекает из попытки заменить работу с самими обсуждаемыми алгебрами и связанными с ними пространствами - работой с квадратными матрицами, в которых этих самых алгебр как собак нерезанных. Вдобавок ко всему, исторически так сложилось, что евклидовы метрики, связанные с ними нормы и ортогональные преобразования почти всем кажутся самыми естественными и понятными. Реже можно найти тех, кто принимает во внимание псевдоевклидовы псевдометрики с их полунормами, несколько иными ортогональными преобразованиями и инвариантами. И совсем невозможно пока найти тех, кто как мы с Гарасько видим финслеровы метрики, финслеровы заменители норм, ортогональных преобразований и инвариантов. Преодолеть данное объективное препятствие ни за один месяц, ни за один год, к сожалению, не возможно. Если б хотя бы учебники были.. Конечно, книга Гарасько отчасти пыталась решить эту проблему, но нужно принимать во внимание, что он не математик, а физик-теоретик, и потому пишет, непонятным для математиков языком. Обо мне речь вообще не идет. Я даже не физик. :(

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Пример, 1 и не являются делителями нуля в . Но они являются независимыми (матричными) единицами. Применив к ним неособое преобразование (*), заключающееся в повороте этих матричных единиц на 45 градусов по часовой стрелке, мы перейдем к другим независимым подобным (матричным) единицам вида и , которые уже являются делителями нуля и наоборот. Так по-Вашему должно быть, что эти пары матричных единиц не подобны и не выражают изоморфизм?

Метрическое пространство, естественным образом связанное с алгеброй $H_2$ - не евклидово, а псевдоевклидово (пересмотрите еще раз по данному поводу Розенфельда, Яглома и др.). Поэтому преобразования вида (*) не являются для него изометрическими и, будучи примененными к его векторам, не сохраняют их длин. Как произвольное линейное преобразование они конечно же имеют место и в пространстве с псевдоевклидовой метрикой и потому можно говорить о переходе от изотропного базиса (связанного с делителями нуля алгебры $H_2$) к ортонормированному. Но в псевдоеквклидовой метрике это никакой не поворот на 45 градусов, а просто дискретное преобразование, не сохраняющее длин. Все встенет на свои места, когда (и если) Вы перестанете видеть за совершенно неевклидовыми пространствами привычные евклидовы метрики и нормы. Разнообразие предполагаемых диалектов, как показала практика нашего общения, не помогает общению, а наоборот, делает его практически невозможным. (Вам самому уже приходили мысли о мазохизме, но тут не он имеет место, а принципиально разные подходы к обсуждаемому объекту и связанные с этим различные языки). Конечно, Вы можете попробовать потребовать от меня перехода на Ваш язык. Но это точно невозможно. Во-первых, потому что я не математик, а во-вторых, потому что не собираюсь заниматься обычными пространствами, ради которых Ваш язык и был создан. Я еще могу согласиться потратить время на совершенствование "нашего" финслеровского языка, но не его отмене.

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Более удобно то, что более проще. Если будет доказана эквивалентность двух представлений в $R$ и $C$ , то можно будет (скорее всего) пользоваться обеими вариантами равноправно.

Самый удобный вариант для поличисел (по крайней мере на уровне исходных линейных пространств) - не матрицы nхn или 2nx2n, не важно, компонентами их будут поля вещественных или комплексных чисел, а сами гиперкомплексные числа, то есть ЛИНЕЙНЫЕ формы (или иными словами - матрица строка), которая, кстати, также может рассматриваться как с вещественными так и с комплексными компонентами. При этом я в принципе согласен, что можно переходить к матричному представлению различного вида. Возможно, в каких-то вариантах это будет и рационально. Во всяком случае я не возражаю против таких шагов и предлакгаю Вам поступать именно так как представляется удобным (лишь бы не запутывать ситуацию).

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Понимаете, я ничего не воспринимаю на веру. Допускаю малую вероятность, что Вы правы, но такой подход мне не кажется «правильным».

Давайте вернемся к вопросу "правильности" использования для алгебры ${C}\oplus{C}$ вместо матриц связанных с тензором $g_{ij}$ к матрицам связанным с тензором $g_{ijkl}$ - на потом, когда линейные пространства останутся только в касательных слоях к точкам в собственно кривых финслеровых пространствах. Если до этого вообще когда дойдет речь..

Закончу ответ чуть позже..

[Time]

Окончание ответа..

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Как я понимаю, для Вас слово «сопряженный» означает знак «минус» у пары некоторых компонент вектора. С чем хоть связан этот «произвол»? С тем, что две гиперболических единицы?

Нет. Все на много сложнее. Такой простой вид "сопряженные" (поставил в кавычки, что бы не резало Вам взгляд) имеют только в некоторых алгебрах поличисел. Например в $H_3$ Вы такого простого вида для трех "финслерово ортонормированных" векторов не найдете. Проще всего с количеством и видом "сопряженных" векторов в алгебрах поличисел разбираться в канонических изотропных базисах (в тех самых, в которых они распадаются на прямые суммы). В частности для $H_3$ в таком каноническом изотропном базисе вся тройка взаимносопряженных векторов имеет вид:
$X=e_1x_1+e_2x_2+e_3x_3$
$X'=e_1x_3+e_2x_1+e_3x_2$
$X''=e_1x_2+e_2x_3+e_3x_1$

Откуда и имеем:
$XX'X''=(x_1x_2x_3)(e_1+e_2+e_3)=x_1x_2x_3$

Тоже самое можно проделать, в частности, в $H_4$, только в последнем при переходе в "ортонормированный" базис все сводится к попарным сменам знаков перед мнимыми единицами, точно также как и в ${C}\oplus{C}$, но далеко не во всех алгебрах поличисел.

Это все связано с дискретными симметриями получаемого из алгебры финслерова пространства как в изотропном, так и в других, в частности, в финслерово "ортонормированных" базисах.

Естественно, все это возникает "не с потолка", а является отражением внутренней структуры рассматриваемого связанного с алгеброй поличисел финслерова линейного векторного пространства.

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Вообще-то, если вводятся новые определения, то делается это очень последовательно и аргументировано. И какое вообще право назвать это сопряженными векторами, когда у этого слова другое значение. Чтобы запутать математиков? Если явной связи с известными определениями нет, то давайте назовем эти вектора, например, «разноцветными».

Допускаю, что название "сопряженных" векторов в данных случаях не вполне опраданно. Хотя, думаю, вряд ли.. Просто для Вас такой прием пока выглядит непривычным. После пары недель использования он становится не менее естественным, чем обычное сопряжение на комплексных и двойных числах, или на кватернионах и антикватернионах.. А по поводу разноцветности, легко и справедливо могут возмутиться физики, для них, и цвета, и ароматы - уже занятые названия. :)

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

С какой стати? Опять использование стандартного термина не по назначению. Может быть, это и есть причина, что мы никак не можем понять друг друга уже много времени в простейших вопросах? Может быть, не стоит злоупотреблять общепринятыми математическими терминами? Или уж, если сильно хочется, добавьте какой-нибудь модификатор, например, финслерово сопряжение, финслеровы сопряженные вектора, финслеровый модуль, финслеровая псевдонорма и т.д. и т.п. Ей Богу обидно, через месяц интенсивной переписки выяснить, что под общепринятым термином подразумеваются принципиально различные вещи.

В 98 году, когда с Гарасько мы попробовали написать самую первую статью на обсуждаемую тему, мы именно так и пытались поступить. Стали использовать термины: квазиметрика, квазинорма, квазимодуль, квазидлина и т. д. Через две страницы от этих "квази-" так стало рябить в глазах, что плюнули и никогда больше не возвращались к этому. Хочу обратить Ваше внимание, что примерно тоже самое уже произошло у физиков в связи с началом использования псевдоевклидовой и псевдоримановой геометрии. Им также, строго говоря, нужно постоянно пользоваться подобными приставками, отличающими их понятия от обычных римановых. Однако, часто это опускают, полагая, что из контекста почти всегда ясно, о каких нестандартных понятиях, заменяющих обычные идет речь. Хотя, в принципе, я с Вами согласен, правильнее было бы все это оговорить с самого начала. Я не учел возможности, что Вы и статьи, и книгу пробежали лишь по диагонали.. Прошу прощения, что не уточнил заранее понимаемость основных терминов.. Если хотите, давайте сделаем перерыв в общении на более тщательное знакомство Вами хотя бы с книгой. Там многие из этих вопросов достаточно подробно и квалифицированно разобраны, тем более, что лучшего варианта все равно нет..

Что ксается потраченного месяца - не переживайте особенно сильно. Что бы начать хоть немного понимать друг друга мы с Гарасько и другими физиками иногда тратили по нескольку лет в не менее интенсивном общении. Кстати, даже сейчас, спустя более десяти лет, многие вещи понимаем по разному и лишь с большим трудом приходим к некоему консенсусу..
При этом я вполне допускаю, что выработавшийся за это время "букварь" терминов в скором будущем придется капитально пересматривать.

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Выходит, что даже добросовестному читателю нужен месяц интенсивной переписки с автором теории, чтобы понять, а что же автор имеет в виду? И то я еще не все до конца понял. Это первое впечатление.

К сожалению, я не автор теории. Более того, таковой еще долго не появится. То, что имеется на сегодня - это либо недоработанные идеи, либо отдельные фрагменты, наиболее законченый из которых представлен Гарасько в его книге. Будет замечательно, если хотя бы через год мы начнем более менее хорошо понимать друг друга.. И в этом не Ваша или моя вина. Таков предмет, которым Вы неосмотретельно решили заняться. :)

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

А второе, это переписать все Ваши статьи с нуля заново. Не воспринимайте это как обиду! Мои учетные программы на предприятии работают успешно уже несколько лет, но меня постоянно гложет чувство, что их надо переписать заново с нуля и на другом языке программирования. И это несмотря на то, что на их написание и внедрение я потратил несколько лет. Ибо совершенству нет предела. Поэтому будьте морально готовы к тому, что если не я, так кто-нибудь другой придет и скажет: «Все, что Вы написали, нужно будет переписать заново, уже другими словами и с другой концепцией».

Совершенно с Вами согласен и нисколько не обижаюсь. Более того, кто бы и как хорошо не переписал бы наново и с другой концепцией наши статьи и книгу, это также вряд ли будет более менее хороший вариант. Думаю, что-то приличное получится не ранее, чем лет через десять, да и то, лишь после того, как будет построена хотя бы теория функций двойной переменной, которой пока на горизонте так и не видать. И это не смотря на то, что уже многое встало на свои места..

Scholium в сообщении #317037 писал(а):

Насчет формулы Эйлера для поличисел. Тут вообще все просто. Подставьте матрицу поличисла в экспоненту и вычислите экспоненту от матрицы и получите готовую формулу. Так, например, я проверил тождество Эйлера для двойных чисел:

Думаю, Вы снова меня не до конца правильно поняли.

Попробуйте проверить аналогичным образом формулу для ${C}\oplus{C}$ вида:

$X=r e^{(Ia+Jb+Kc)}$

А ведь в этой формуле участвуют только два из четырех финслеровских инварианта:
длина (интервал) и углы.

Должны еще быть обобщения формулы Эйлера, в которой фигурируют по одной величине каждого из четырех финслеровских инвариантов: длина, угол, трингл и квадраугол. К тринглам мы только совсем недавно с ненулевым результатом подступились, а о квадрауглах пока лишь только мечтаем..

[Scholium]

Time писал(а):

В векторных пространствах без алгебры, или с алгеброй но не коммутативно-ассоциативной, ни такого "множественного" сопряжения, ни модуля с со свойством мультипликативности, ни аргументов (которые при перемножении складываются) - ввести практически никогда нельзя. Отчасти, именно поэтому мне нравятся алгебры поличисел и не нравятся другие гиперкомплексные числа. Хотя, конечно, теперь я лучше понимаю, что происхождение "хороших" качеств поличисел зарыто существенно глубже..

Опять таки, в частности, аргументу еще надо придать смысл. Например, аргумент гиперболических чисел меняется от $-\infty$ до $+\infty$ когда обычный угол меняется от -45 градусов до +45 градусов. Гораздо больше смысла имеет гиперболический тангенс гиперболического аргумента. Когда Вы говорите «никогда нельзя», то у меня всегда большие сомнения. Обычно такие утверждения равносильны нетривиальным теоремам.

Time писал(а):

По поличислам такой "букварь" пока только в стадии формирования и можно найти лишь в отывочном виде в книге Гарасько и в наших с ним статьях, опубликованных в журнале "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике", начиная с 2004 года. Кое что есть также в статьях Чернова и Кокарева в этом же журнале. К сожалению, учебника пока нет не то что по поличислам, а даже по такому их частному представителю, как двойные. Я понимаю, что это неправильно. Но что поделаешь, пока с h-анализом над двойными числами кто ни будь не наведен такой же лоск и порядок как в ТФКП, даже пробовать что-то "букварное" писать о поличислах, как мне кажется, преждевременно.

Интересно вот получается. Теория поличисел как бы есть, а ее «букваря» в полноценном виде нет. А это ведь всего пара фундаментальных статей, по сути. По крайней мере, есть к чему стремиться.

Time писал(а):

Согласен, что термин светового конуса пока полностью оправдан лишь в случае двойных чисел, которым соответствует двумерная псевдоевклидова плоскость, которая физиками в виде двумерного пространства-времени давно и успешно используется. Во всех остальных случаях - это мои интуитивные ожидания и я согласен, что перескакиваю через ступеньки, перенося термин светового конуса и туда.

Для меня сама СТО под большим сомнением. В принципе я не возражаю, если в качестве примера приложения гиперболических чисел показать двухмерную СТО, а для некоторого вида четырехмерных поличисел – четырехмерную СТО. Однако назовите мне хотя бы одну нерешенную проблему СТО, для решения которой обязательно нужно привлекать концепцию поличисел. Обычно в математике одну задачу можно решать несколькими разными способами, получая один и тот же результат.

Time писал(а):

Модуль любого поличисла имеет всегда не свойства классической нормы, а ее обобщения. Однако это обобщение совершенно естественное и свойства таких "других" норм ничем не хуже, чем обычной, а часто даже и лучше.
Однако обратите внимание, что моя логика существенно иная, чем Ваша. Я отталкиваюсь от коммутативно-ассоциативной алгебры. Именно она задает и модуль, и норму, и метрику, и топологию. А Вы хотите все это брать как кубики некоторого конструктора и смотреть, что получится, если в разных комбинациях соединять различные варианты этих объектов. Вы представляете, сколько при этом придется перебрать вариантов? И за ради чего?

Так сказать равносильно, что ничего не сказать. Когда говорят об обобщении математического объекта, то всегда дают понять, какое качество обобщается и за счет чего. Пока это похоже на произвол. Вы же совершенно не рекламируете ни свойства, ни определения своих вводимых объектов. Я например, по многу раз повторяю вполне классические вещи, только потому, что Вы их не воспринимаете. Я знаю многих физиков-альтернативщиков, но математиков-альтернативщиков я еще ни разу не встречал. Если Вы вводите новое понятие, то давайте ему новое название. Не говорите, норма или модуль, а говорите псевдонорма или псевдомодуль или обобщенная норма, обобщенный модуль. И чаще давайте определения своих понятий. Да и говорить нужно четче. Например, Для поличисел вида. . . мы вводим понятие обобщенной нормы и обобщенного модуля, а именно, . . . , которые позволяют нам. . .

В математике только одна логика – математическая. Там могут быть нюансы типа конструктивистской логики и т.п. Но это уже очень тонкие вопросы фундаментальных оснований математики, которые физикам и прагматикам практически не доступны. Поэтому альтернанивщина в математике это тупик, «однозначно» :) . Разница подходов в математике заключается исключительно в разнообразии различных, но корректно определенных, математических объектов. В силу исключительной сложности математического языка настоятельно рекомендуется придерживаться математических стандартов, в том числе, в обозначениях. Либо четко проговаривать все нюансы. Желательно ни одну переменную не оставлять без внимания. Хотя бы раз в общем тексте, но сказать, какого класса эта переменная и что обозначает. Особенно это касается новых определений и понятий.

Далее, математика это наука, в основном, об отношениях между математическими объектами. Для выяснения этих отношений, совершенно не обязательно «брать как кубики некоторого конструктора и смотреть, что получится, если в разных комбинациях соединять различные варианты этих объектов».

Если выявлена область регулярности этих отношений, то она рассматривается в общем и в целом, как правило без конкретной детализации. Но если встречаются особенности, иррегулярности, сингулярности, неоднозначности и т.д. и т.п., то, как правило, эти вещи изучаются очень дотошно и въедливо. Ибо для математики именно нерегулярность представляет особый интерес.

Скажем, возьмем конечномерные алгебры второго порядка над полем действительных и комплексных чисел. Над полем $\mathbb{R}$ мы имеем три (коммутативные) алгебры: $\mathbb{C}, \mathbb{P}_2, \mathbb{H}_2$, а над полем $\mathbb{C}$ - одну: $J_2(\mathbb{C})$ - некоммутативную жорданову алгебру размерности два. Поскольку $\mathbb{H}_2 \simeq \mathbb{R}_{\oplus}^2$, то эта алгебра сводится к классической прямой сумме классических пространств. Т.е., все, что можно получить в первой алгебре, можно получить и во второй и наоборот. Таким образом, если нас интересуют, неклассические коммутативные алгебры второго порядка, то наш выбор однозначен это $\mathbb{P}_2$. Для этого нам не пришлось подробно разбирать свойства всех остальных алгебр. Общая теорема о классификации алгебр второго порядка позволила нам сделать однозначный выбор. Из-за того, что Вы не доверяете классификационным теоремам, Вы полагаете, что $\mathbb{H}_2$ Вам может дать больше, чем $\mathbb{R}_{\oplus}^2$. А эти алгебры вполне взаимозаменяемы. И действительно практических приложений $\mathbb{P}_2$ я видел больше, чем $\mathbb{H}_2$. Достаточно упомянуть книгу Диментберга Ф.М. «Винтовое исчисление и его приложения». Такого уровня книги по $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}_{\oplus}^2$ я не встречал. Так что эта была попытка продемонстрировать общий подход в математике, а не заниматься глупым перебором вариантов.

Time писал(а):

Теоретически правомочность такого подхода я допускаю. Но его практическую ценность оцениваю как весьма низкую. Вот Вы видите для двойных чисел только два возможных диалекта, а их бесконечное количество, в частности, при таком подходе можно с равным успехом кроме указанных двух рассматривать суммы и разности кубов, четвертых степеней, и т.д., а также и более сложные функций от компонент. И чего, всеми такими диалектами предлагаете кому-то заниматься? Кому что больше нравится? Нет, уж лучше однозначность, чем такой выбор.. В противном случае - получим бардак, вместо гармоничной и упорядоченной конструкции. Это естественно не означает, что кто-то может иметь иную позицию и поступать сообразно с ней.

Попросите любого математика перечислить используемые нормы и метрические функции в произвольных нормированных и метрических пространствах. Вряд ли он с разбегу скажет Вам более чем о десяти таких функциях. Просто есть выделенный небольшой класс подобных функций, которые интересны математиками и физикам. Другие функции ведь никто не запрещает рассматривать, но их почему-то не спешат рассматривать. Почему? Да просто потому, что эти функции уже не интересны. Будут интересны, начнут изучать. Только и всего. Мне интересна эвклидова норма, я ее предполагаю изучать, Вам интересна неэвклидова – Вы ее собираетесь изучать. Итого всего два варианта. О каких десятках вариантах идет речь? Да, они существуют, но пока не интересны ни мне, ни Вам.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Я думаю, что если завтра окажется что пространство Минковского не вполне отражает суть физических явлений, то мир не рухнет.

Вы уже должны быть в курсе, что мы именно это физикам и предлагаем. :) Вместо пространства Минковского взять с метрикой Бервальда-Моора..

Нет, я был не в курсе. Хорошо, у Вас на это возникли причины, но я про них пока ничего не знаю. Можете концептуально объяснить «на пальцах»?

Time писал(а):

У физиков есть замечательный критерий правильности их построений и используемых для этого понятий - эксперимент. У математиков с этим несколько сложнее.
Кроме того физики не просто отказываются от нормы, а вводят ее адекватный заменитель. Точно также получается и с "нашими" пространствами на поличислах. Предлагается не просто отказаться от нормы или метрики, а заменить их более естественными для поличисловых пространств обобщениями. Все от этого только выигрывают.

Вы не правы! У математиков такой критерий тоже есть. Это логическая непротиворечивость. Доказали вот непротиворечивость неевклидовых геометрий и они сразу же стали полноценными математическими объектами. И никто не собирается проверять, а соответствуют ли эти геометрии реальному миру? Это уже проблема физиков из десятков непротиворечивых геометрий выбрать одну, которая лучше всего описывает этот мир или хотя бы его часть. Для этого у них есть такой инструмент, как эксперимент. Однако этот инструмент не абсолютный, а всего лишь относительный, потому и допускает сосуществование противоречащих друг другу физических теорий. Как следствие, масса альтернативных теорий. А у математики конкурентоспособных альтернативщиков нет.

Time писал(а):

Вы вольны поступать в соответсвии с этим озвученным планом. Просто я хочу высказать свое отношение к последствиям. Времени и сил Вы потратите немерянно, а результат будет все равно один - ничего более интересного, чем поличисла Вы не получите. А если покажется, что что-то более интересное нашли - пойдете по ложному пути. Запретить я не имею права, но предупредить то могу?

Вы бы были бы правы, если бы были правы :) . Наоборот, именно ради экономии усилий я предпочитаю подобный путь. Другой путь (Ваш) и более сложен и чреват грубыми ошибками. Так что я тоже: «Запретить я не имею права, но предупредить то могу?» :)

Time писал(а):

Так я же не возражаю против необходимости начинать разбираться с самым простым. Таковым для поличисел является алгебра и h-анализ над двойными числами. Причем без всяких экспериментов с нормами, не согласованными с модулем двойного числа. Проще задачу связанную с поличислами трудно придумать, однако и она достаточно тяжела, раз вызывает столько непонимания, причем не только со стороны физиков, но и математиков. Именно это и демонстрирует наш спор на счет того, как правильно ввести понятие сходимости для последовательности двойных чисел. Может попробуете с таким простым вопросом разобраться?

Я уже отвечал много раз, что $\mathbb{H}_2 \simeq \mathbb{R}_{\oplus}^2$ на уровне алгебры. Поэтому мы не получим принципиально ничего нового используя в качестве алгебры $\mathbb{H}_2$. Если мы хотим работать в этом направлении, то надо стразу брать векторное пространство $\mathbb{R}^n$, наделяя его такой алгеброй, которая в качестве подалгебры содержит алгебру прямой суммы. А традиционная метрика в $\mathbb{R}^n$ это $p$-метрика на базе $p$-нормы. Т.е. лучше всего начать изучать произвольные надалгебры над $\mathbb{R}_{\oplus p}^n$. Определения этих пространств и норм я уже давал. Мы даже можем выйти на Ваши поличисла $\mathbb{H}_n$, заменив классические $p$-метрику и $p$-норму на их неклассические варианты. Однако сразу начинать работать с двумя неклассическими сущностями: неклассические надалгебры над $\mathbb{R}_{\oplus p}^n$ и неклассические метрика и норма в $\mathbb{R}_{\oplus}^n$ это, по-моему, просто авантюра. Изучаем в общем и в целом различные естественные надалгебры над $\mathbb{R}_{\oplus p}^n$, для произвольной $p$-метрики и $p$-нормы и затем, если свойств этих метрик и норм нам окажется недостаточно, то вводим их обобщения. Потом из этих классов пространств выбираем себе наиболее интересное и уже его начинаем осваивать всерьез и надолго, ориентируясь на приложения. А сейчас я совершенно не могу сказать, какой вариант из этих пространств подойдет лучше всего. Для этого надо сначала получить ряд общих теорем. Так что я предпочитаю идти этим путем.

Time писал(а):

Не рискунули бы до конца разобраться с двойными числами? :)
Впрочем, я согласен с утверждением, что самые простые вещи часто на поверку оказываются самыми сложными..

Да я с ними и пытаюсь разобраться, как с частным случаем следуемого из предыдущего абзаца. Проблема тут не с числами и их алгеброй, а с метрикой и нормой. Но с этой Вашей метрикой и нормой или их псевдоаналогами можно с таким же успехом иметь дело и в векторном пространстве $\mathbb{R}^2$ или алгебре прямой суммы $\mathbb{R}_{\oplus}^2$. А тогда естественным образом следует то, что описано в предыдущем абзаце.

Time писал(а):

Тут полностью согласен. Однако, Вам не кажется, что системность в поличислах логично начать наводить с создания аналога ТФКП под названием теория функций двойной переменной и с одного из первых и главных ее понятий - определения сходимости последовательности чисел, причем не всеми возможными способами, а одним единственным, который однозначно диктуется алгеброй этих чисел, но до сих пор математически строго не идентифицирован?

Нет, не кажется. Я предпочел бы сначала получить ряд общих теорем относительно естественных надалгебр над $\mathbb{R}_{\oplus p}^n$. И именно в этих пространствах развивать теорию гиперболических аналитических функций с выходом на физические приложения. А для перехода от $p$-норм к Вашим псевдонормам для меня совершенно не достаточно тех аргументов, которые Вы обычно приводите.

[Scholium]

Time писал(а):

Отчасти, теперь мне также стало понятно недоразумение на счет "поворота на 45 градусов" векторов изотропного базиса пространства $H_2$ для того, что бы те совпали с единичными ортонормированными векторами базиса этого же пространства $1$ и $j$. Так выглядит это преобразование исключительно в евклидовой метрике плоскости. В самом же псевдометрическом пространстве $H_2$ преобразование связывающие эту пару базисов поворотом (то есть изометрическим преобразованием) не является. Хотя бы потому, что у них разные длины (интервалы). У одной пары - нулевые, а у другой единичные.

Речь идет об изоморфизме. А изоморфизм это отображение векторных пространств сохраняющих алгебраические операции. Т.е. это внешняя операция, а не внутренняя и ни на какую метрику она не опирается. Вы говорите немного не про «то». Во многих источниках говорят об $H_2$ как о «расщепляющихся» в прямую сумму гиперкомплексных числах и о его изоморфизме прямой сумме алгебр вещественных прямых. Доказательство этого также предоставлено в том кусочке нашей статьи, что я Вам послал. Может быть вместо того, чтобы упорствовать насчет «недоразумения», просто найти ошибку в том однострочном доказательстве?

Time писал(а):

Я знаю, что придумали это не Вы. Это очень распространенное мнение на счет устройства пространств, связанных с прямыми суммами двух полей. Отчасти, именно благодаря такому утверждению математики и не хотят видеть за подобными алгебрами нечто бОльшее, чем просто расщепленные на $n$ плюс $m$ отдельных вещественных и комплексных подпространств. Между тем, как всякое такое пространство размерности выше двух - совсем не тривиально. За ними всегда стоит уже не квадратичная, а финслерова метрическая функция, со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Прямая сумма не означает тривиальность. Прямая сумма бывает двух видов: на уровне векторного пространства и на уровне алгебр этих пространств. Т.е. может быть прямая сумма векторных подпространств, но отсутствие прямой суммы на уровне алгебраических операций. На самом деле, ответ о типе прямой суммы должны давать структурные теоремы алгебры. Все, о чем я до сих пор читал, имело в виду (по крайней мере, так казалось) алгебраическую прямую сумму, типа как у $\mathbb{R}_{\oplus}^2$. Но сегодня я нашел новую формулировку теоремы Веддерберна (Н. Джекобсон. «Теория колец», ИЛ, 1947, стр. 220), которая может пролить бальзам на Вашу душу :) :

Теорема Веддерберна писал(а):

Всякая конечномерная алгебра разлагается, как линейное пространство (выделение Scholium), в прямую сумму своего радикала и некоторой полупростой подалгебры.

О структуре радикала получаем следующую информацию (Н.Г. Чеботарев. «Введение в теорию алгебр», Гостехиздат, 1949, п. 8) :

Теорема Чеботарева писал(а):

Радикал конечномерной алгебры состоит только из нильпотентных элементов. Более того, для каждой такой алгебры существует натуральное $n$ , что произведение любых $n$ элементов ее радикала равно нулю.

И даже более того, дается матричное представление радикальной алгебры (Г.Е. Шилов. «Математический анализ. Конечномерные линейные пространства», Москва, 1969, стр. 382)

Теорема Шилова писал(а):

Всякое представление радикальной алгебры записывается в некотором базисе матрицами с нулями на главной диагонали и ниже ее. (При этом, конечно, не утверждается, что матрицы операторов представления пробегают все совокупность матриц такого вида; см., например, А.Я. Хелемский, Об алгебрах нильпотентных операторов и связанных с ними категориях, Вестник МГУ, 1963, № 4, стр. 49-55)

Пожалуй, это то, что я и искал! Я получаю структуру неполупростой «склейки» (представление радикальной алгебры), а Вы официальное подтверждение того, что прямая сумма касается только векторного пространства, но не касается его алгебраических операций. Хотя это мне тоже нравится :) .

Нюансы, правда, еще остаются, но уже не принципиальные. Это касается того, что матрицы операторов представления пробегают НЕ ВСЮ совокупность матриц радикальной алгебры. Но для пространств размерности 3-4 и немного выше это можно «перебрать ручками» :) .

А насчет метрики повторюсь, что не «стоит», а «поставили». Но, если хотите меньше недоразумений по этому поводу, говорите просто, для алгебры поличисел естественныой метрикой является финслерова метрическая функция. Я по этому поводу буду ожидать обоснования, но такая формулировка вызывает меньше протеста :) .

Time писал(а):

Снова у Вас неверное представление. Ассоциативность входит автоматически в понятие не произвольной алгебры, а группы. Например такая простенькая восьмикомпонентная алгебра как октавы или октанионы - неассоциативна. Она же, кстати, еще и некоммутативна. Однако существуют и коммутативные, но неассоциативные алгебры. Для них даже название специальное придумано - Йордановы алгебры. Хуже того, существуют и более искареженные алгебры, например, не обладающие альтернированностью. Например, алгебра 16-компонентных сединионов. И это все алгебры с ПОЛНЫМ умножением. А есть много таких, в которых умножение "урезанное" и осталось, в частности, лишь в виде скалярных и векторных произведений. Или чаще говорят о внутренних и внешних умножениях векторов, как имеет место в алгебрах Кэлли.

Пожалуй, Вы слишком категоричны. Почитайте, определение алгебры в книге Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. «Конечномерные алгебры», там ассоциативность входит в число аксиом алгебры. Хотя должен признать, что так думают не все алгебраисты. Некоторые аксиому ассоциативности не включают в определение алгебры. Но, даже приняв вторую точку зрения, не стоит злоупотреблять повторами. Достаточно в начале изложения сказать, что далее по тексту под алгеброй мы понимаем ассоциативную алгебру с единицей (а требование единицы не входит в число алгебраических аксиом, но Вы про нее ни слова) и все сразу станет понятно.

Time писал(а):

Почему я и говорю, что если пытаться заниматься классификацией всех таких алгебр, даже ограничившись четырьмя измерениями, и жизни не хватит. Отчасти, именно поэтому мы не тратим время на классификацию, а на основании ряда "хороших" признаков выбрали для себя основным объектом изучения - коммутативно ассоциативные невырожденные гиперкомплексные числа (невырожденные поличисла), причем как правило с размерностью не выше четырех. Уже этих алгебр хватит не на одну жизнь. Если же говорить, чего же "хорошего" именно в таких, казалось бы, излишне тривиальных алгебрах - то это бесконечная размерность уже для группы конформных преобразований (а ведь из-за финслеровости метрики есть еще и более сложные и более богатые непрерывные преобразования), что автоматически тянет за собой существование не менее богатых множеств h-аналитических функций. Именно этого свойства нет НИ У ОДНОЙ некоммутативной и неассоциативной алгебры. Ну и конечно, немаловажную роль в "хорошести" играет то обстоятельства, что поля действительных и комплексных чисел являются не только подалгебрами и подпространствами, но и группы их конформных преобразований являются подгруппами групп этих многомерных пространств (чего нет в многомерных евклидовых и псевдоевклидовых пространствах и в частности в кватернионах и октавах).

То, что я искал, на 99% сформулировано в трех теоремах, процитированных чуть выше. Как видите, хватило не жизни, а несколько недель. Так что у нас несколько разные представления об структурных теоремах. Конечно, это не означает, что дальше нечего делать, но, по крайней мере, концептуально все ясно. Главное, чтобы не было двоемыслия в термине «алгебра разлагается, как линейное пространство». Про все остальное, что Вы говорите, я пока не «пощупаю руками», не соглашусь. Так что особо повторять не стоит, если только не будут предложены достаточно формальные выкладки для подтверждения сказанного.

Time писал(а):

Что касается Вашего примера, что алгебра являентся контрпримером о несводимости всех коммутативно-ассоциативных алгебр к прямым суммам вещественных и коплексных полей, то я говорил о невырожденных алгебрах поличисел. Извиняюсь, что не подчеркнул этого на этот раз, но об этом говорилось часто перед этим. Не стОит пока такими вырожденными (неполупростыми) алгебрами заниматься, пока не расставлены все точки над i в невырожденных (полупростых) алгебрах поличисел. Потом, не являясяь прямыми суммами, алгебры вырожденных поличисел, на сколько я понимаю, являются не простыми суммами, а обычными суммами вещественных и комплексных полей, а это приводит к более тривиальным финслеровым пространствам, чем те, что рассматриваем в первую очередь мы..

Я понимаю Ваш термин «вырожденности», как синоним «нильпотентности». Но это Ваше творчество не разделяю. Терминология должна быть обоснованной, а у Вас она необоснованна, хорошо, что хоть вообще понятно, о чем Вы говорите, но отношения Вашего к «вырожденным» алгебрам я не разделяю. Также как и «стоит» / «не стоит». Какая Вам разница, что это делают другие?

Time писал(а):

Теперь понятна Ваша логика. Попробую объясниться..
Все векторные пространства связанные с делителями нуля в качестве естественной геометрии обладают неевклидовой метрикой (попробуйте хотя бы допустить такую мысль).

Эта метрика может быть «естественной» для поличисел и то если Вы обоснуете это не «вообще», а конкретно. А в слово «обладают» мы вкладываем разный смысл. Для меня, если я захочу, они будут «обладать» и «противоестественной» метрикой. Но Вам хочется думать иначе – это Ваше право. Я уже предлагал, замените слово «обладает» на слово «присвоим». Результат тот же, а спору меньше. Впрочем, я не настаиваю, только спорить по этому поводу уже не хочу.

Time писал(а):

И совсем невозможно пока найти тех, кто как мы с Гарасько видим финслеровы метрики, финслеровы заменители норм, ортогональных преобразований и инвариантов. Преодолеть данное объективное препятствие ни за один месяц, ни за один год, к сожалению, не возможно. Если б хотя бы учебники были.. Конечно, книга Гарасько отчасти пыталась решить эту проблему, но нужно принимать во внимание, что он не математик, а физик-теоретик, и потому пишет, непонятным для математиков языком. Обо мне речь вообще не идет. Я даже не физик. :(

Он пишет понятно, только фрагментарно. А математики привыкли к последовательному, логически связанному изложению. Теряется логика, теряется интерес к работе, ибо она уже не кажется непротиворечивой. Вон Ландау, то же физик-теоретик, но многим математикам у него поучится изложению. И это при том, что физику принципиально невозможно излагать с полностью аксиоматических позиций. Как физик-теоретик Ландау настоящий гений, каких немного в этом мире.

Time писал(а):

Конечно, Вы можете попробовать потребовать от меня перехода на Ваш язык. Но это точно невозможно. Во-первых, потому что я не математик, а во-вторых, потому что не собираюсь заниматься обычными пространствами, ради которых Ваш язык и был создан. Я еще могу согласиться потратить время на совершенствование "нашего" финслеровского языка, но не его отмене.

Меня больше волнует то, что Вы наделяете стандартные термины нестандартными значениями и вводите не всегда обоснованные новые термины. Отгораживаясь «своим» языком от «нашего» Вы же себе создаете больше проблем, чем нам. Вас как не понимали, так и не будут понимать. Вот когда я пробовал немного заниматься прикладной наукой в начале 90-х (но быстро прекратил, из-за финансовой деградации ex-СССР), то мыслил категориями топ-менеджера. Мне бы в подчинение десяток ребят из МГУ, которых я знал лично. Я бы им ставил математические формулировки прикладных задач, а они бы решали их, ибо в прикладных вопросах, как таковых, они «дуб – дерево хвойное», зато могут решить быстро такие задачи, на которые у меня уйдут годы. А в нашей конторе было несколько докторов наук и несколько десятков кандидатов наук, но те вопросы, которыми они все занимались вызывали у специалиста улыбку :) . Так что я лично вижу задачу топ-менеджера в умении формулировать задачи (в общем случае, давать квалифицированные технические задания) для конкретных специалистов, чтобы они оставались в своей стихии, математики в математике, физики в физике, технари и инженеры в технике и т.д.

[Scholium]

Time писал(а):

Нет. Все на много сложнее. Такой простой вид "сопряженные" (поставил в кавычки, что бы не резало Вам взгляд) имеют только в некоторых алгебрах поличисел. Например в $H_3$ Вы такого простого вида для трех "финслерово ортонормированных" векторов не найдете. Проще всего с количеством и видом "сопряженных" векторов в алгебрах поличисел разбираться в канонических изотропных базисах (в тех самых, в которых они распадаются на прямые суммы). В частности для $H_3$ в таком каноническом изотропном базисе вся тройка взаимносопряженных векторов имеет вид:
$X=e_1x_1+e_2x_2+e_3x_3$
$X'=e_1x_3+e_2x_1+e_3x_2$
$X''=e_1x_2+e_2x_3+e_3x_1$

Откуда и имеем:
$XX'X''=(x_1x_2x_3)(e_1+e_2+e_3)=x_1x_2x_3$

Тоже самое можно проделать, в частности, в $H_4$, только в последнем при переходе в "ортонормированный" базис все сводится к попарным сменам знаков перед мнимыми единицами, точно также как и в ${C}\oplus{C}$, но далеко не во всех алгебрах поличисел.

Это все связано с дискретными симметриями получаемого из алгебры финслерова пространства как в изотропном, так и в других, в частности, в финслерово "ортонормированных" базисах.

Я так полагаю, что сопряжение и модуль можно вводить независимо от используемой метрики. Например, в $\mathbb{C}$ оператор сопряжения $\bar{z}$ это единственный нетривиальный непрерывный автоморфизм. А то, что модуль $\sqrt{z \bar{z}}$ оказался равен евклидовой квадратичной норме, так это уже его второе особое свойство $\bar{z}$.

Абстрактный модуль произвольного вектора должен удовлетворять своим аксиомам, по аналогии с аксиомами нормы или метрики. Если это не так, то желательно демонстрировать, какие свойства (аксиомы) выполняются, а какие нет. Причем хорошо бы еще и имя присвоить другое, например, $F$- модуль и $F_1$-, $F_2$- и $F_3$-сопряжения для вектора $X$, $F$- норма и т.д.

Time писал(а):

Естественно, все это возникает "не с потолка", а является отражением внутренней структуры рассматриваемого связанного с алгеброй поличисел финслерова линейного векторного пространства.

Вот это как раз и интересно узнать.

Time писал(а):

Допускаю, что название "сопряженных" векторов в данных случаях не вполне опраданно. Хотя, думаю, вряд ли.. Просто для Вас такой прием пока выглядит непривычным. После пары недель использования он становится не менее естественным, чем обычное сопряжение на комплексных и двойных числах, или на кватернионах и антикватернионах.. А по поводу разноцветности, легко и справедливо могут возмутиться физики, для них, и цвета, и ароматы - уже занятые названия. :)

Приучить можно к чему угодно, новейшая история тому дает массу примеров. Но будет ли это хорошо?
А «разноцветные» у нас только кварки, вектора еще «черно-белые» :) .

Time писал(а):

В 98 году, когда с Гарасько мы попробовали написать самую первую статью на обсуждаемую тему, мы именно так и пытались поступить. Стали использовать термины: квазиметрика, квазинорма, квазимодуль, квазидлина и т. д. Через две страницы от этих "квази-" так стало рябить в глазах, что плюнули и никогда больше не возвращались к этому. Хочу обратить Ваше внимание, что примерно тоже самое уже произошло у физиков в связи с началом использования псевдоевклидовой и псевдоримановой геометрии. Им также, строго говоря, нужно постоянно пользоваться подобными приставками, отличающими их понятия от обычных римановых. Однако, часто это опускают, полагая, что из контекста почти всегда ясно, о каких нестандартных понятиях, заменяющих обычные идет речь. Хотя, в принципе, я с Вами согласен, правильнее было бы все это оговорить с самого начала. Я не учел возможности, что Вы и статьи, и книгу пробежали лишь по диагонали.. Прошу прощения, что не уточнил заранее понимаемость основных терминов.. Если хотите, давайте сделаем перерыв в общении на более тщательное знакомство Вами хотя бы с книгой. Там многие из этих вопросов достаточно подробно и квалифицированно разобраны, тем более, что лучшего варианта все равно нет..

Бороться с «рябью» можно легко, например, сократив слово «квази» до $k$, т.е. $k$-метрика, $k$-норма, $k$-модуль и т.д. А можно поступить еще проще. В начале текста сказать, что под «длиной» мы понимаем «квази-длину», но для сокращения записи будем употреблять традиционное название. Это общепринятый прием и он не вызывает непонимания. Так что Вы правы, говоря о контексте, повторы делать совершенно не обязательно.

Проблема не в том, что книгу я прочел бегло, а не проштудировал с карандашом в руках. Это мой универсальный стиль общения с литературой. Обычно я стараюсь схватить общие идеи и концепции, а затем, по мере необходимости, возвращаться за деталями. Это значительно лучше, чем детально конспектировать книгу за книгой, кругозор получается гораздо шире, а справочная литература для того и существует, чтобы наводить по ней справки. Смысл дискуссий я вижу в том, чтобы тот, кто глубоко знает предмет, мог давать концептуальный обзор темы или ответы с позиций «гуру». А черновую работу можно уже проделывать самостоятельно. Просто, приступая к новой теме, я всегда ищу вопросы на ответы: что, зачем, почему, для чего, какой смысл и т.д. и т.п. Не найдя некоторых ответов в Ваших публикациях по алгебраической структуре и классификации поличисел, мне пришлось временно отложить эти публикации и искать ответы в классической математике. Сейчас, когда ситуация более-менее прояснилась, можно практически поработать с алгеброй и анализом поличисел, а уже затем, если я действительно увижу смысл привлечения финслеровой метрики и топологии, пойти по этому пути. Тогда и можно будет снова вернуться к Вашим публикациям и более подробно проштудировать их. Ну а если мы будем писать общие статьи, то нам волей-неволей придется согласовывать между собой терминологию.

Time писал(а):

Что ксается потраченного месяца - не переживайте особенно сильно. Что бы начать хоть немного понимать друг друга мы с Гарасько и другими физиками иногда тратили по нескольку лет в не менее интенсивном общении. Кстати, даже сейчас, спустя более десяти лет, многие вещи понимаем по разному и лишь с большим трудом приходим к некоему консенсусу..

Это было сказано для «красного словца», так что не воспринимайте всерьез :) . Чтобы быстрее понимать друг-друга нужно просто говорить на универсальном языке математики ибо формализовать неформальные высказывания очень и очень тяжело, от того и много времени уходит на согласования позиций.

Time писал(а):

При этом я вполне допускаю, что выработавшийся за это время "букварь" терминов в скором будущем придется капитально пересматривать.

Достаточно написать парочку фундаментальных статей и по всем спорным вопросам отсылать к ним (при условии, что там будут соответствующие ответы).

Time писал(а):

К сожалению, я не автор теории. Более того, таковой еще долго не появится. То, что имеется на сегодня - это либо недоработанные идеи, либо отдельные фрагменты, наиболее законченый из которых представлен Гарасько в его книге. Будет замечательно, если хотя бы через год мы начнем более менее хорошо понимать друг друга.. И в этом не Ваша или моя вина. Таков предмет, которым Вы неосмотретельно решили заняться. :)

Думаю, что можно будет искать консенсус и так. Допустим, я посылаю Вам черновик статьи с моим пониманием формулировок и определений. Вы либо соглашаетесь с ними и используете в дальнейшем, либо жестко критикуете, что Вам не нравиться и почему.

А я, так или иначе, все равно собирался заняться чем-нибудь физико-математическим. Любое направление исследований требует мощной активизации различных математических и физических дисциплин. Особенно если ищешь ответы в смежных теориях, не связанных явно с текущей. Моя сверхцель, это выход на алгоритмическую сущность нашего мироздания. И не так важно, с какой точки подножья начать восхождение к вершине: «Все дороги ведут в Рим», как говорили раньше в Москве :) . А там, где присутствуют алгоритмы, там место хакерам, в данном случае, «хакерам реальности» :) .

Time писал(а):

Совершенно с Вами согласен и нисколько не обижаюсь. Более того, кто бы и как хорошо не переписал бы наново и с другой концепцией наши статьи и книгу, это также вряд ли будет более менее хороший вариант. Думаю, что-то приличное получится не ранее, чем лет через десять, да и то, лишь после того, как будет построена хотя бы теория функций двойной переменной, которой пока на горизонте так и не видать. И это не смотря на то, что уже многое встало на свои места..

Ну да, это тоже интересный вопрос для обсуждения, но мы к нему вернемся позже, когда я лучше освою тему.

Time писал(а):

Попробуйте проверить аналогичным образом формулу для ${C}\oplus{C}$ вида:

$X=r e^{(Ia+Jb+Kc)}$

А ведь в этой формуле участвуют только два из четырех финслеровских инварианта:
длина (интервал) и углы.

Должны еще быть обобщения формулы Эйлера, в которой фигурируют по одной величине каждого из четырех финслеровских инвариантов: длина, угол, трингл и квадраугол. К тринглам мы только совсем недавно с ненулевым результатом подступились, а о квадрауглах пока лишь только мечтаем..

Если слагаемые в Вашей экспоненте коммутируют между собой, то можно перейти к произведению экспонент от этих слагаемых, вида: матрица, умноженная на вещественный параметр. А чтобы вычислить экспоненту от матрицы (умноженной на скаляр), нужно иметь естественно представление этой матрицы. Само вычисление заключается в нахождении характеристических чисел матрицы или ее спектра и минимального аннулирующего многочлена этой матрицы. Затем, громоздким, но стандартным приемом, строится некоторый конечный полином для каждого элемента итоговой матрицы, вычисляемого на ее спектре. Подобным образом можно вычислять любую функцию от поличисел, зная их независимые матричные единицы.

[Scholium]

Интегральная формула Коши для комплексных гиперболических или двойных чисел

Оказывается, интегральная формула Коши для матриц, о которой на этом форуме уже шла речь, может быть с легкостью использована для вычисления аналитических в пространстве $\mathbb{H}_2$ функций.

Действительно, согласно «Теории матриц» Ф.Р. Гантмахера или П. Ланкастера, существует интегральная формула Коши для аналитических функций матриц:

$f(H)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z E - H}~d z$, (*)

где $f(z)$ – произвольная аналитическая функция комплексной переменной, регулярная в области $G \cup \Gamma \subset \mathbb{C}$, ограниченной замкнутым контуром $\Gamma$ и содержащая внутри себя характеристические числа (не обязательно все) матрицы $H$; $E$ – единичная матрица.

Известно, что любому поли- или гиперчислу можно поставить в соответствие некоторую матрицу. В частности, для $h = a + j b \simeq H = a E + b J \in \mathbb{H}_2$, где $a,~b \in \mathbb{R}$ и $j \simeq J = \left ( \begin{matrix} 0, & 1 \\ 1, & 0 \end{matrix} \right )$ - соответственно, гиперболическая и матричная гиперболическая единица.

Вычисляя знаменатель подинтегрального выражения (*), находим, что

$z E - H = \left ( \begin{matrix} z-a, & -b \\ -b, & z-a \end{matrix} \right )$,

и обратная величина этой матрицы будет

$(z E - H)^{-1} = \frac{1}{(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)} \left ( \begin{matrix} z-a, & b \\ b, & z-a \end{matrix} \right )$, (**)

где $\lambda_1 = a+b;~~ \lambda_2 = a-b$ - характеристические числа матрицы $H$.

Заметим, что

$\frac{z-a}{(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)} = \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} + \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)}$ (***)

и

$\frac{b}{(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)} = \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} - \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)}$. (****)

Таким образом, обратная матрица (**) из величин вида (***) и (****). Поскольку интеграл от матрицы (*) сводится (по определнию) к почленному интегрированию от элементов данной матрицы, то нам предстоит вычислить всего два типа интегралов, подставив в (*) вместо выражения (**) его элементы (***) и (****). Однако, легко видеть, что интегралы для элементов матрицы (**) сводятся к обычным интегралам Коши для аналитической функции $f(z) \in \mathbb{C}$, в точках спектра $\lambda_1 = a+b;~~ \lambda_2 = a-b$ матрицы $H$. А именно,

$f_{11}(H)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} f(z) \left (\frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} + \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)} \right)~d z = \frac{f(\lambda_1) + f(\lambda_2)}{2}$
и

$f_{12}(H)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} f(z) \left (\frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_1)} - \frac{1}{2} \frac{1}{(z-\lambda_2)} \right)~d z = \frac{f(\lambda_1) - f(\lambda_2)}{2}$.

Оставшиеся компоненты матрицы (*) очевидно равны

$f_{22}(H) = f_{11}(H)$ и $f_{21}(H) = f_{12}(H)$.

Откуда, пользуясь изоморфизмом между обычными единицами 1 и $j$ и их матричными эквивалентами $E$ и $J$, окончательно получаем

$f(a + j b) = \frac{f(\lambda_1) + f(\lambda_2)}{2} + j \frac{f(\lambda_1) - f(\lambda_2)}{2}$

или, после подстановки значений для спектра, имеем

$\boxed{f(a + j b) = \frac{f(a+b) + f(a-b)}{2} + j \frac{f(a+b) - f(a-b)}{2}}$. (*****)

Таким образом, мы получили искомую интегральную формулу Коши вида (*), но правая часть которой вполне вычисляется в конечное выражение. В итоге, вместо вычисления интеграла по контуру мы нашли простое выражение для значений аналитической функции $f(z),~z \in \mathbb{C}$ на спектре матрицы числа $h = a + j b \in \mathbb{H}_2$, где $a,~b \in \mathbb{R}$.

Последнюю формулу можно применять для любой функции $f(h),~h \in \mathbb{H}_2$, такой, что определенна аналитическая функция $f(z),~z \in \mathbb{C}$. Например,

$e^{a + j b} = \frac{e^{a+b}+e^{a-b}}{2} + j \frac{e^{a+b}-e^{a-b}}{2} = e^a \left ( \frac{e^b+e^{-b}}{2} + j \frac{e^b-e^{-b}}{2} \right ) = e^a \left ( \text{ch}(b) + j~\text{sh}(b) \right )$.

Естественно, аналогичные примеры для произвольных аналитических функций, можно множить бесконечно.

В каком-то смысле формула (*****) предсказуема, так как еще Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. «Проблемы гидродинамики и их модели» показали, что любая аналитическая в $\mathbb{H}_2$ функция распадается на сумму и разность двух дифференцируемых действительных функций от одной вещественной переменной. У нас представление одной аналитической в $\mathbb{H}_2$ функции сводиться к одной аналитической функции в $\mathbb{C}$. Но если рассматривать отдельно вещественную и гиперболически мнимую части (*****), то получим частный случай $h$-аналитичности (в смысле условий Коши-Римана для двойных чисел). Другими словами, аналитичность функций в $\mathbb{H}_2$, в смысле интеграла Коши (*), является частным случаем $h$-аналитичности функций в $\mathbb{H}_2$, в смысле условий Коши-Римана.

Заметим, что подобная техника легко может быть обобщена на любые поли- и гиперчисла, в частности, кватернионы, для которой вычисленная формула (*) может оказать проще уже известных для этих чисел.