Есть ли синтаксис в математике?

[Xaositect]

errnough в сообщении #312039 писал(а):

Xaositect в сообщении #311810 писал(а):

Существует единственный нулевой свободный вектор, представителями которого являются континуум

Почему же тогда в математике не разрешено сказать то же самое про «решения» вот этого уравнения:
$0\cdot x=0$
Пусть у нас единственным решением будет $x=0$, а все остальные числа являются представителями этого решения?

Потому что вначале определяются векторы как классы эквивалентности и их сложение, а уже потом оказывается, что один из них является нейтральным относительно сложения. Т.е. то, что все векторы $\vec{AA}$ являются представителями $\vec{0}$, доказывается без использования сложения.

[errnough]

Пусть «решения уравнения» это класс эквивалентности. Все решения уравнения $0\cdot x=0$ эквивалентны. Это все точки числовой прямой. Сложение на числах, если память мне не изменяет, определено. Одно из этих решений нейтрально относительно сложения. Сохраняя общность рассмотрения в математике, уравнение $0\cdot x=0$ имеет целый класс решений. Каждое решение является представителем класса. Значит, уравнение $0\cdot x=0$ разрешимо, и имеет, например, решение $x=3$. Что-то не так?

ewert в сообщении #312049 писал(а):

Он вполне однозначен. Как класс эквивалентности.

Класс и конкретный экзепляр из класса сильно разные вещи. Вы знаете, чем различается общее и конкретное?

ewert в сообщении #312049 писал(а):

Вы знаете, что такое изоморфность?

В течение получаса я буду знать всё, что Вы спросите :) Математика это не противовзломная защита с расставленными логическими ловушками. Намного, намного проще... :)

Например, изоморфны система $R$ всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения $x = x_1+ x_2$ и система $P$ положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения $y = y_1\cdot y_2$.

ewert в сообщении #312049 писал(а):

что такое нулевой элемент вообще?

Мы говорим о конкретном — о векторном пространстве. Одно из условий (разные источники называют их по-разному, некоторые называют условия аксиомами, по-видимому, математики не придают этому особое значения) которому удовлетворяет множество векторов, чтобы быть названным векторным пространством:

«[...]
3) В множестве векторов $V$ существует однозначно определенный вектор $0$ (называемый началом) такой, что $x+0=x$ для каждого вектора $x$,
4) Каждому вектору $x$ из $V$ отвечает однозначно определенный вектор $-x$ такой, что $x+(-x)=0$
[...]»
[П. Халмош, Конечномерные векторные пространства, М.: 1963. стр. 12]

Чтобы подчеркнуть, что именно автор подразумевает под «однозначно определенным вектором», мной специально приведено следующее условие, отделенное от предыдущего запятой. Предполагая, что в одной фразе автор не станет совмещать противоречащие друг другу высказывания, что по-Вашему, в условии 4), целый класс эквивалентности, т.е. некое множество $-x$, или единственный объект в заданном множестве $V$?

[Xaositect]

errnough в сообщении #312115 писал(а):

Пусть «решения уравнения» это класс эквивалентности. Все решения уравнения $0\cdot x=0$ эквивалентны. Это все точки числовой прямой. Сложение на числах, если память мне не изменяет, определено. Одно из этих решений нейтрально относительно сложения. Сохраняя общность рассмотрения в математике, уравнение $0\cdot x=0$ имеет целый класс решений. Каждое решение является представителем класса. Значит, уравнение $0\cdot x=0$ разрешимо, и имеет, например, решение $x=3$. Что-то не так?

Да, что-то не так. Классы эквивалентности строятся следующим образом: есть множество $M$, на нем задается некоторое отношение эквивалентности $\sim$. Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, все элементы которого эквивалентны, а множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством $M/\sim$.
Укажите в Вашем случае $M$ и $\sim$.

Цитата:

ewert в сообщении #312049 писал(а):

что такое нулевой элемент вообще?

Мы говорим о конкретном — о векторном пространстве. Одно из условий (разные источники называют их по-разному, некоторые называют условия аксиомами, по-видимому, математики не придают этому особое значения) которому удовлетворяет множество векторов, чтобы быть названным векторным пространством:

«[...]
3) В множестве векторов $V$ существует однозначно определенный вектор $0$ (называемый началом) такой, что $x+0=x$ для каждого вектора $x$,
4) Каждому вектору $x$ из $V$ отвечает однозначно определенный вектор $-x$ такой, что $x+(-x)=0$
[...]»
[П. Халмош, Конечномерные векторные пространства, М.: 1963. стр. 12]

Чтобы подчеркнуть, что именно автор подразумевает под «однозначно определенным вектором», мной специально приведено следующее условие, отделенное от предыдущего запятой. Предполагая, что в одной фразе автор не станет совмещать противоречащие друг другу высказывания, что по-Вашему, в условии 4), целый класс эквивалентности, т.е. некое множество $-x$, или единственный объект в заданном множестве $V$?

Есть множество связанных векторов $M$ и отношение эквивалентности на нем $\sim$ (два вектора эквивалентны, если они параллельны, сонаправлены и имеют в основе конгруэнтные отрезки). Значит, можно построить множество $V = M/\sim$ и назвать его элементы свободными векторами. И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$. Т.е. в данном конкретном примере линейного пространства $x$, $-x$, $0$ - это свободные векторы, то бишь классы эквивалентности.

[errnough]

Xaositect в сообщении #312190 писал(а):

есть множество $M$, на нем задается некоторое отношение эквивалентности $\sim$. Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, все элементы которого эквивалентны, а множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством $M/\sim$.
Укажите в Вашем случае $M$ и $\sim$.

Есть множество действительных чисел $R$, элемент которого обозначим символом $x$. На $R$ задается отношение эквивалентности: «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$». Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $M$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении.

Надеюсь, доказательство, что любое $x$ из $R$ обращает в верное числовое равенство уравнение, не нужно... Далее, по определению, решение уравнения есть значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Поскольку мы уже задали $M$, мы можем выбрать элемент из $M$. Берем, к примеру, значение переменной $x=3$, убеждаемся в верном числовом равенстве. Отсюда, по определению, $x=3$ есть одно из решений неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$, что есть противоречие.

Проблема здесь в том, что расширение понятия (переход к классу) открыло черный ход к процедуре нахождения решений для уравнения, которое из-за неопределенности в аналитическом виде такую процедуру вообще не допускает. Процедура послушно начала работать и выдавать значения переменной... Вот только она никогда не остановится, и мы висим в мертвом цикле. Вы же сами знаете, к чему иногда приводит расширение тезиса (понятия, термина) в логике...

Xaositect в сообщении #312190 писал(а):

Есть множество связанных векторов $M$ и отношение эквивалентности на нем $\sim$ (два вектора эквивалентны, если они параллельны, сонаправлены и имеют в основе конгруэнтные отрезки). Значит, можно построить множество $V = M/\sim$ и назвать его элементы свободными векторами. И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$. Т.е. в данном конкретном примере линейного пространства $x$, $-x$, $0$ - это свободные векторы, то бишь классы эквивалентности.

Вы пишите: «И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$.» Логически, это неверный построенный вывод, поскольку термин $\mathbb{R}$ появился один раз, только в заключении, но термина этого нет в посылках. Логический вывод можно сделать, например, про $M$ и $V$.

Сначала есть просто произвольное множество, назовем $K_1$. Его проверяют на соответствие условиям (аксиомам) поля, и тогда называют полем. Затем берут произвольное множество $K_2$. Его проверяют на соответствие очень похожим условиям (аксиомам). И называют его пространством.



Если Вы предлагаете над $K_1$, полем связанных векторов, построить $K_2$, пространство свободных векторов, то сначала нужно показать, что $K_1$ отвечает аксиомам поля. Я вижу, что $K_1$ это не поле. Ну, и более слабый аргумент: даже если бы $K_1$ оказалось полем, и $K_2$ соответствовало аксиомам для задания векторного пространства над $K_1$, то в $K_1$, в множестве связанных векторов, нет однозначно определенного нулевого элемента, и пространство $K_2$ просто унаследует эту проблему.

Честно признаюсь, вообще что-то не пойму этой логики. Введение пространства просто проецирует(переносит) элементы поля (одно множество) в пространство (другое множество), и элементы поля становятся элементами пространства? Но это же противоречит условию, где рассматривается только элементы пространства, а поле упоминается только в смысле, что оно есть. Должно быть явное утверждение про это. Сравнивая у Халмоша аксиомы для поля и для пространства видно оговорку: «эти аксиомы не претендуют на логическую независимость; они просто являются удобной характеризацией объектов». По человечески понятно, в запутанной ситуации сослаться на "а нам так удобно...". Странно только, почему этому не придать действительно строгий вид, без этого произвола. Либо аксиома, либо "нам так удобно", а одновременность употребления сих терминов есть противоречие.

[ewert]

errnough в сообщении #312380 писал(а):

Есть множество действительных чисел $R$, элемент которого обозначим символом $x$. На $R$ задается отношение эквивалентности: «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$».

Это -- не отношение эквивалентности. Это -- вообще не отношение. Отношение -- оно между двумя элементами.

errnough в сообщении #312380 писал(а):

Если Вы предлагаете над $K_1$, полем связанных векторов, построить $K_2$, пространство свободных векторов, то сначала нужно показать, что $K_1$ отвечает аксиомам поля.

Боже, что за путаница. Над связанными векторами никто не пытается ничего строить. На основе связанных векторов строят новые объекты с помощью процедуры факторизации. К линейным пространствам эта процедура вообще ни малейшего отношения не имеет. То, что в результате линейная структура всё-таки появляется -- это, в некотором смысле, чистая случайность.

[Xaositect]

errnough в сообщении #312380 писал(а):

Xaositect в сообщении #312190 писал(а):

есть множество $M$, на нем задается некоторое отношение эквивалентности $\sim$. Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, все элементы которого эквивалентны, а множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством $M/\sim$.
Укажите в Вашем случае $M$ и $\sim$.

Есть множество действительных чисел $R$, элемент которого обозначим символом $x$. На $R$ задается отношение эквивалентности: «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$». Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $M$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении.

То, что вы написали, бессмысленно. Отношение должно задаваться между двумя элементами.

Цитата:

Xaositect в сообщении #312190 писал(а):

Есть множество связанных векторов $M$ и отношение эквивалентности на нем $\sim$ (два вектора эквивалентны, если они параллельны, сонаправлены и имеют в основе конгруэнтные отрезки). Значит, можно построить множество $V = M/\sim$ и назвать его элементы свободными векторами. И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$. Т.е. в данном конкретном примере линейного пространства $x$, $-x$, $0$ - это свободные векторы, то бишь классы эквивалентности.

Вы пишите: «И уже оно, это множество $V$ является линейным пространством над $\mathbb{R}$.» Логически, это неверный построенный вывод, поскольку термин $\mathbb{R}$ появился один раз, только в заключении, но термина этого нет в посылках. Логический вывод можно сделать, например, про $M$ и $V$.

Я пока не делал никаких логических выводов, я пока просто вводил понятия.

Цитата:

Сначала есть просто произвольное множество, назовем $K_1$. Его проверяют на соответствие условиям (аксиомам) поля, и тогда называют полем. Затем берут произвольное множество $K_2$. Его проверяют на соответствие очень похожим условиям (аксиомам). И называют его пространством.



Если Вы предлагаете над $K_1$, полем связанных векторов, построить $K_2$, пространство свободных векторов, то сначала нужно показать, что $K_1$ отвечает аксиомам поля. Я вижу, что $K_1$ это не поле. Ну, и более слабый аргумент: даже если бы $K_1$ оказалось полем, и $K_2$ соответствовало аксиомам для задания векторного пространства над $K_1$, то в $K_1$, в множестве связанных векторов, нет однозначно определенного нулевого элемента, и пространство $K_2$ просто унаследует эту проблему.

Множество связанных векторов не является ни полем, ни векторным пространством.

Цитата:

Честно признаюсь, вообще что-то не пойму этой логики. Введение пространства просто проецирует(переносит) элементы поля (одно множество) в пространство (другое множество), и элементы поля становятся элементами пространства? Но это же противоречит условию, где рассматривается только элементы пространства, а поле упоминается только в смысле, что оно есть. Должно быть явное утверждение про это. Сравнивая у Халмоша аксиомы для поля и для пространства видно оговорку: «эти аксиомы не претендуют на логическую независимость; они просто являются удобной характеризацией объектов». По человечески понятно, в запутанной ситуации сослаться на "а нам так удобно...". Странно только, почему этому не придать действительно строгий вид, без этого произвола. Либо аксиома, либо "нам так удобно", а одновременность употребления сих терминов есть противоречие.

Логическая независимость - это когда ни одна из аксиом не выводится из остальных. Иногда для удобства вводят избыточные аксиомы, которые из остальных выводятся.

[errnough]

Примеры отношения эквивалентности найдены здесь:

Примеры:

• отношение подобия на множестве треугольников;
• отношение равенства чисел по модулю n;
• отношения типа "быть коллегой или быть сокурсником"

Чем мое отношение между числами $x$ «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$» хуже этих примеров? В МАДИ на кафедре АСУ бестолковые преподаватели?

[Xaositect]

errnough в сообщении #312401 писал(а):

Примеры отношения эквивалентности найдены здесь:

Примеры:

• отношение подобия на множестве треугольников;
• отношение равенства чисел по модулю n;
• отношения типа "быть коллегой или быть сокурсником"

Чем мое отношение между числами $x$ «при подстановке любого $x$ обращать в верное числовое равенство уравнение $0\cdot x=0$» хуже этих примеров? В МАДИ на кафедре АСУ бестолковые преподаватели?

Тем, что в нем нет двух связываемых отношением объектов.

[errnough]

Хорошо, если простая логика: любое число обращает равенство в верное, и на этом основании любые два числа между собой эквивалентны в этом отношении, не принимается, тогда нужно работать на конкретных примерах.

Разобьем всё множество $\mathbb{R}$ на подмножество отрицательных чисел и подмножество неотрицательных чисел. Между ними есть отношение эквивалентности "при подстановке в переменную $x$ обращать равенство $0\cdot x=0$ в верное". Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $\mathbb{R}$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении. Берем, к примеру, два элемента из разных подмножеств $x=3$ и $x=-3$, и убеждаемся в их эквивалентности обращать $0\cdot x=0$ в верное числовое равенство. По определению, решение уравнения есть значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Отсюда, по тому же определению, $x=3$ и $x=-3$ есть два решения неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$, что есть противоречие.

-- Пт апр 23, 2010 12:42:43 --

Xaositect в сообщении #312400 писал(а):

Множество связанных векторов не является ни полем, ни векторным пространством.

В качестве чего «множество связанных векторов» выступает в задании векторного пространства свободных векторов? Может, как и $\mathbb{R}$, оно в рассуждении лишнее? Тогда на основании чего задается векторное пространство свободных векторов? Оно может задаваться сразу, без базового поля?

[Xaositect]

errnough в сообщении #312414 писал(а):

Хорошо, если простая логика: любое число обращает равенство в верное, и на этом основании любые два числа между собой эквивалентны в этом отношении, не принимается, тогда нужно работать на конкретных примерах.

Разобьем всё множество $\mathbb{R}$ на подмножество отрицательных чисел и подмножество неотрицательных чисел. Между ними есть отношение эквивалентности "при подстановке в переменную $x$ обращать равенство $0\cdot x=0$ в верное". Тогда классом эквивалентности называется подмножество $M$, (у нас — совпадающее с $\mathbb{R}$), все элементы которого эквивалентны в этом отношении. Берем, к примеру, два элемента из разных подмножеств $x=3$ и $x=-3$, и убеждаемся в их эквивалентности обращать $0\cdot x=0$ в верное числовое равенство. По определению, решение уравнения есть значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Отсюда, по тому же определению, $x=3$ и $x=-3$ есть два решения неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$, что есть противоречие.

Уравнение не неразрешимо, его корнями являются все действительные числа.

Цитата:

Xaositect в сообщении #312400 писал(а):

Множество связанных векторов не является ни полем, ни векторным пространством.

В качестве чего «множество связанных векторов» выступает в задании векторного пространства свободных векторов? Может, как и $\mathbb{R}$, оно в рассуждении лишнее? Тогда на основании чего задается векторное пространство свободных векторов? Оно может задаваться сразу, без базового поля?

Потому что от того, что мы ввели на $V$ структуру вещественного векторного поля, оно не перестало быть равным $M/\sim$.
Мы строим $V$ как $M/\sim$, а уже потом вводим на нем алгебраическую структуру.

[Jnrty]

Jnrty:

errnough в сообщении #312414 писал(а):

... неразрешимого уравнения $0\cdot x=0$

Меня в школе учили, что уравнение $0\cdot x=0$ имеет бесконечное множество решений. Вы, похоже, в школе не учились, хотя, возможно, регулярно посещали её.

Я уже давно смотрю на Вашу тему (и на многие Ваши сообщения в других темах) и думаю: не закрыть ли её? Не забанить ли errnough за злокачественное невежество? Или за троллинг? У нас тут слишком много уже развелось то ли троллей, прикидывающихся придурками, то ли невежд. Из-за их активности грамотным участникам форума некогда помогать тем, кому действительно можно помочь. Вам же помочь всё равно нельзя. Подумайте над этим.

[errnough]

Цитата:

$0\cdot x=0$

Xaositect в сообщении #312456 писал(а):

Уравнение не неразрешимо, его корнями являются все действительные числа.

И следовательно, в аналитическом виде, корень этого уравнения есть $x=0/0$. Откуда очень легко видно, что корни это числа $3$, $-3$, и так дальше, пока не получим все действительные числа...? Неопределенность $0/0$, получается, это никакая не неопределенность, а всё множество $\mathbb{R}$? А может, аналитическая запись корня говорит о том, что уравнение неразрешимо (корни неопределены относительно чисел $\mathbb{R}$), и корней не существует?

Jnrty, Вы согласны с аналитической записью корня этого уравнения? Я не нарушил школьных правил алгебры?

Проблема с этим уравнением только из-за нуля в знаменателе при аналитической записи корня. Например, уравнение $0\cdot t =6$ тоже неразрешимо, и очевидно, по той же причине, из-за нуля в знаменателе в аналитической записи корня $t = 6/0$.

---------
Я акцентирую на том, что про уравнение $0\cdot t =6$ следует говорить «неразрешимо» вместо «не имеет решений(корней)». Точно также про уравнение $0\cdot x=0$ следует говорить «неразрешимо» вместо «имеет корнями все действительные числа».

[Xaositect]

errnough в сообщении #312503 писал(а):

Jnrty, Вы согласны с аналитической записью корня этого уравнения? Я не нарушил школьных правил алгебры?

Нарушили. На 0 делить нельзя. :)

[Jnrty]

errnough в сообщении #312503 писал(а):

И следовательно, в аналитическом виде, корень этого уравнения есть $x=0/0$.
...
Jnrty, Вы согласны с аналитической записью корня этого уравнения? Я не нарушил школьных правил алгебры?

Не согласен, и правила школьной алгебры Вы нарушили.

Jnrty:

Будете продолжать в том же духе - заблокирую немедленно.

[ewert]

Jnrty в сообщении #312493 писал(а):

Не забанить ли errnough за злокачественное невежество? Или за троллинг?

За троллинг, конечно. Какое уж тут невежество -- тут нарочитый и демонстративный троллинг.

Но банить, как мне кажется, его не следует. Он забавен. И играется -- только в своей песочнице. А окружающие -- кому любопытно, тоже играются; а кому нет -- просто не обращают внимания.

И ещё. Это пример того, как не следует троллить. И этим поучителен. (Хотя, конечно, курсы повышения квалификации троллей -- для форума не особенно полезны...)