Вывод классической механики из Галилеевой инвариантности

[vek88]

Уважаемый Padawan!

Итак, поразбирался с Вашими материалами. Разобрался правда всего лишь на троечку, поскольку Вашу математику (ростки функций, к примеру) не то чтоб забыл, а никогда и не знал. А дальше ход моих мыслей шальных оказался для меня совсем неожиданным. А именно:

1. Вернувшись к Вашей начальной идее поиска инвариантного вида уравнения (1) у меня возникла крамольная мысль - а зачем так сложно. Ведь мы знаем физический смысл скорости, т.е. первой производной координат. А значит мы можем без проблем написать представление группы Галилея (даже не алгебры) в Вашем фазовом пространстве (без $t$). Для $n=1$ это очевидно: сдвиги $x'_\alpha=x_\alpha - a_\alpha,$ переход в движущуюся ИСО $\dot x'_\alpha=\dot x_\alpha - V_\alpha,$ сдвиг по времени $x'_\alpha=x_\alpha + \dot x_\alpha t$ (повороты - очевидно).

Все коммутаторы, кажется, выполнены (завтра проверю на свежую голову).

А значит в Вашем уравнении (1) функция $F_\alpha$ не может зависеть от $x_\alpha$ и $\dot x_\alpha$! Но тогда вектор $F_\alpha$ не из чего построить! Значит $F_\alpha=0.$

2. Но тут я возвращаюсь в свое фазовое пространство и вижу, что здесь тоже все можно просто. Для $n=1$ это очевидно: сдвиги $x'_\alpha=x_\alpha - a_\alpha,$ переход в движущуюся ИСО $p'_\alpha=p_\alpha - m V_\alpha,$ сдвиг по времени $x'_\alpha=x_\alpha + \frac{p_\alpha}{m}t$ (повороты - очевидно). Отсюда сразу следует вид моих генераторов, в частности, вид $H$.

3. С взаимодействиями тоже все элементарно. В моем случае при $n=2$ вот пример взаимодействия

$$\dot p_\alpha = F_\alpha(x_1_\alpha - x_2_\alpha),$$

где, например, сила - это градиент потенциала, зависящего от модуля расстояния между частицами. В Вашем пространстве состояний все аналогично.

Мдя. Е-мое, что это я сказал?

С уважением,
vek88

ЗЫ. Пора спать. А завтра проверить, что я тут ляпнул.

[myhand]

3. vek88, будем надеяться - Padawan получит правильный ответ. Т.е. не "пример", а общий случай для $n=2$.

Из физических соображений - наиболее общим выражением должна стать функция инвариантов: расстояния между частицами, квадрата относительной скорости и квадрата скалярного произведения относительной скорости на вектор расстояния.

Ничего не упустил?

[Padawan]

(Оффтоп)

vek88
Да, Вы правы, в случае $n=1$ можно это получить и без инфинитезимальных штучек, рассуждая на пальцах и вполне строго. Но я просто хотел на простом случае показать как эта техника работает, чтобы потом применить для $n=2$.

К сожалению, из одной только галилеевой инвариантности механика не следует
Вот пример системы уравнений, инвариантной относительно преобразований Галилея, но которая описывает невозможное движение

$$\mathbf{x_1}''=\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2} ,\;\; \mathbf{x_2}''=\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2}$$

(Оффтоп)

Пример такой простой, зачем надо было столько бумаги изводить...

Значит, надо кроме инвариантности относительно преобразований Галилея еще и предположение о лагранжевости (или гамильтоновости уравнений)

[Scholium]

vek88 в сообщении #298700 писал(а):

В этой теме предлагаю сознательно ограничиться рассмотрением конкретного вопроса - связи классической механики с предположением о ее инвариантности относительно преобразований Галилея (далее - Галилева инвариантность). Возьмем, например, простую формулу для кинетической энергии материальной точки

$$T=\frac{mv^2}{2}.$$

Так вот, все ли знают, что эта формула автоматически выводится из предположения о Галилеевой инвариантности? А все ли знают, что из Галилеевой инвариантности следуют законы сохранения энергии, импульса, момента количества движения и массы закнутой системы?

Итак, предлагаю совместными усилиями вывести классическую механику из Галилеевой инвариантности. Разумеется, не всю - у нас на это не хватит сил и времени. Но азы классической механики мы вывести сможем, в том числе, упомянутые выше законы сохранения.

Ваша дискуссия, конечно, очень поучительна, однако трудно отделаться от вопроса, а Вы читали книги Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том 1. Механика и Вейль Г. Теория групп и квантовая механика? Ведь там практически есть все то, о чем Вы пишите. Как я заметил, В. Войтик уже упоминал об этом.

Ландафшиц :) четко пишет о выводе всех уравнений механики и ее законов сохранения из:

1. Принципа наименьшего действия;
2. Принципа относительности Галилея;
3. Однородности и изотропности пространства и однородности времени.

Про Вейля я упомянул, потому, что Вы также обсуждали теорию групп в квантовой механике.

[Padawan]

Scholium
Это понятно - из инвариантности лагранжиана относительно группы Галилея по теореме Нётер следуют все законы сохранения механики.
Н, во-первых, vek88 взял за основу гамильтонов формалзим, а не лагранжев, а, во-вторых, я попробовал вообще без лагранжевости посмотреть получится ли механика из одного только принципа отноительности . Ответ: нет , не получается.

(Оффтоп)

Хотя, кому-то это, конечно, "итак понятно".

[Scholium]

Padawan в сообщении #303867 писал(а):

Н, во-первых, vek88 взял за основу гамильтонов формалзим, а не лагранжев, а, во-вторых, я попробовал вообще без лагранжевости посмотреть получится ли механика из одного только принципа отноительности . Ответ: нет , не получается.

(Оффтоп)

Хотя, кому-то это, конечно, "итак понятно".

У Ландафшица исследованы оба формализма и Лагранжа и Гамильтона-Якоби и я совершенно не вижу смысла упрощать или пересматривать Ландау и Лифшица. Механика, да и практически все остальное, у них изложено практически идеально. Стоит ли здесь копать еще? По крайней мере, золото они уже все вымыли :) . Другое дело, если Вы, скажем, в квантовой механике решили пойти не по пути представления материальной частицы как волны и элемента поля как корпускулы, а, например, решили представить траекторию микрочастицы как случайное блуждание точечной массы, что может быть вызвано «стохастичностью пространства» (идея Д.И. Блохинцева), по типу кипящего вакуума (см. также интегрирование по траекториям Р. Феймана) или предположением (гипотезой) одновременного исчезновения частицы в одной точке пространства и возникновением ее в другой точке пространства. Эти идеи Ландавшиц уже не рассматривает, поэтому тут можно смело экспериментировать. Если этого мало, можно представить себе локально обычное трехмерное пространство в заданной точке времени как многомерное расслоение статических трехмерных пространств, только одно из которых случайным образом «активизируется», причем последовательность таких «активизированных» статических пространств на расслоениях определяет внутреннее время. Это все альтернативы идеи частица – волна, которые можно исследовать, если классическое обоснование квантовой механики Вас не устраивает. Однако в обычной, классической механике, по-моему, альтернативщикам делать нечего.

[Padawan]

Scholium
У Ландау-Лифшица гамильтонов формализм вводится на основе уже развитого лагранжева, а законы сохранения получаются из инвариантности в самом начале книги в лагранжевом формализме.

[vek88]

vek88 в сообщении #303276 писал(а):

В. Войтик в сообщении #303267 писал(а):

vek88 в сообщении #303132 писал(а):

А учить это я не могу по простой причине - этого нет в учебниках. Или Вы покажете такой учебник?

ПМСМ Вы слишком категоричны. Разумеется материал который Вы изложили имеется в учебниках. Новым у Вас является то, что Вы попытались построить кл. механику не применяя лагранжев подход. Для кв. механики всё это известно...

Уважаемый В. Войтик!

ИМХО Вы не точны. Хотя бы в том, что нового в изложенном мной вообще ничего нет с точки зрения известно/не известно в науке. И я предупреждал об этом в самом начале. А вот с точки зрения методики преподавания - я такого в учебной литературе не видел. Об этом я тоже сказал в самом начале темы. А в цитируемом Вами сообщении просил предъявить учебник.

С учетом сказанного, будьте добры дать ссылку на учебник, хотя бы по квантам, где гамильтониан выводится из Галилей- или Пуанкаре-инвариантности.

С уважением,
vek88

Уважаемый Scholium!

В который раз повторяю, что я в самом начале предупреждал, что все излагаемое мной хорошо известно в науке. А вот в учебно-методическом плане все обстоит плохо. И называть курс Ландау и Лившица учебником - это смело. И даже если кто-то читает ЛЛ, это не значит, что он усвоил идею о возможности вывода механики из инвариантности.

Да, в конце концов, посмотрите, как народ воспринимал излагаемый здесь материал - и сразу станет ясно, что все это плохо известно народу, который читал ЛЛ.

С уважением,
vek88

[Scholium]

Padawan в сообщении #303924 писал(а):

Scholium
У Ландау-Лифшица гамильтонов формализм вводится на основе уже развитого лагранжева, а законы сохранения получаются из инвариантности в самом начале книги в лагранжевом формализме.

У них лагранжевость базируется в основном на принципе наименьшего действия (ПНД). А на чем тогда базироваться гамильтонианству, если он, по сути, формальный эквивалент лагранжианства? Допустим, Вы замените ПНД на собственный, эквивалентный принцип. Ну и что из того? Механика станет более «кучерявой» или более простой? В чем собственно стимул поиска? В квантовой механике понятно, не всем нравится отождествлять черное с белым, даже если это и практично. Скажем, в последнее время, все больше ходит в умах идея о программируемой реальности, матрице реальности, голографичности или виртуальности реальности и т.д. и т.п. Причем не только среди обывателей (фильм «Матрица»), но и среди профессиональных физиков и математиков (Мичио Каку, Роджер Пенроуз и др.). Так вот с этой идеей вполне стыкуется высказанная уже мысль об одновременном исчезновении материальной частицы в одной точке пространства и возникновения ее в другой точке. А что это есть с точки зрения матрицы реальности? Правильно, наш физический мир это типа вселенского экрана монитора, движение на котором создается внешним образом, активизацией («возникновением») одних точек пространства и деактивизацией («исчезновением») других. А эта парадигма эквивалентна другой, идеологически более нейтральной – случайному блужданию потока частиц в стохастическом пространстве (но по законам, программируемым вне этого пространства). Во-первых, это куда более интересней пересмотра классической механики, а во-вторых, на уровне квантовой механики речь идет всего лишь о замене одной эквивалентной концепции другой. Так, может быть, лучше заняться чем-то более интересным :) ? Осталось только открыть явление стохастической дифракции и стохастической интерференции для потока случайно блуждающих частиц и большая часть проблем такого подхода будет решена.

[vek88]

Padawan в сообщении #303840 писал(а):

К сожалению, из одной только галилеевой инвариантности механика не следует
Вот пример системы уравнений, инвариантной относительно преобразований Галилея, но которая описывает невозможное движение

$$\mathbf{x_1}''=\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2} ,\;\; \mathbf{x_2}''=\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2}$$

Уважаемый Padawan!

Что-то в этом примере интуитивно не так - подумаю.

С уважением,
vek88

-- Пн мар 29, 2010 13:21:09 --

Дошло. Я пытался усидеть на двух стульях. Подразумевал, что

$$\dot p_i_\alpha = \frac{\partial H}{\partial x_i_\alpha}.$$

А с другой стороны, как бы и забыл про это. Так что похоже, что действительно без гамильтонова или эквивалентного формализма ничего не получится. Разумеется, в гамильтоновом формализме Ваш пример не проходит.

Вот и славненько. Значит не зря возились здесь со скобками Пуассона и гамильтоновым формализмом.

[Scholium]

vek88 писал(а):

Уважаемый Scholium!

В который раз повторяю, что я в самом начале предупреждал, что все излагаемое мной хорошо известно в науке. А вот в учебно-методическом плане все обстоит плохо. И называть курс Ландау и Лившица учебником - это смело. И даже если кто-то читает ЛЛ, это не значит, что он усвоил идею о возможности вывода механики из инвариантности.

Так в чем проблема? Проявлять чудеса педагогического мастерства? Ну, это скучно на дискуссионной ветке физиков. Как по мне, то проще посоветовать народу читать полный курс (десятитомник!) Ландафшица, коли он хочет заниматься всерьез теоретической физикой. Так этого еще мало. У Ландафшица я ничего не нашел например про пространства Фока, модели Ван-Хофа и Бардина-Куппера-Шриффера, конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала и т.п. из квантовой электродинамики и квантовой теории поля. Тоже пространство Фока, мы его еще не успели изучить, а оно уже морально устарело, так как в нем обнаружены весьма тонкие расходимости. Т.е. надо идти дальше и изучать «Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля» (Ж. Эмх). Это уводит весьма далеко от Ландау и Лифшица. Но что делать, если хочешь заниматься наукой всерьез. Про себя скажу, что я не физик, просто любитель :) , но свое мнение «о возможности вывода механики из инвариантности» я уже сказал.

vek88 писал(а):

Да, в конце концов, посмотрите, как народ воспринимал излагаемый здесь материал - и сразу станет ясно, что все это плохо известно народу, который читал ЛЛ.

Наверное, здесь слово читал надо заменить на не читал, иначе я ничего не пойму :) .

[vek88]

vek88 в сообщении #303958 писал(а):

Padawan в сообщении #303840 писал(а):

К сожалению, из одной только галилеевой инвариантности механика не следует
Вот пример системы уравнений, инвариантной относительно преобразований Галилея, но которая описывает невозможное движение

$$\mathbf{x_1}''=\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2} ,\;\; \mathbf{x_2}''=\mathbf{x_1}-\mathbf{x_2}$$

Уважаемый Padawan!

Что-то в этом примере интуитивно не так - подумаю.

С уважением,
vek88

Дошло, что не так. Это не симметрично по 1 и 2!? И это мне очень не нравится.

-- Пн мар 29, 2010 15:22:42 --

Scholium в сообщении #303968 писал(а):

Так в чем проблема? Проявлять чудеса педагогического мастерства? Ну, это скучно на дискуссионной ветке физиков. Как по мне, то проще посоветовать народу читать полный курс (десятитомник!) Ландафшица, коли он хочет заниматься всерьез теоретической физикой. Так этого еще мало. У Ландафшица я ничего не нашел например про пространства Фока, модели Ван-Хофа и Бардина-Куппера-Шриффера, конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала и т.п. из квантовой электродинамики и квантовой теории поля. Тоже пространство Фока, мы его еще не успели изучить, а оно уже морально устарело, так как в нем обнаружены весьма тонкие расходимости. Т.е. надо идти дальше и изучать «Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля» (Ж. Эмх). Это уводит весьма далеко от Ландау и Лифшица. Но что делать, если хочешь заниматься наукой всерьез. Про себя скажу, что я не физик, просто любитель :) , но свое мнение «о возможности вывода механики из инвариантности» я уже сказал.

А это все Вы вообще не по делу - скучно Вам, так не ходите в эту тему. А кому не скучно, те смотрят и даже что-то пишут.

И, кстати, этот форум все-таки не только, и не столько, для профессионального обсуждения. Это, по большей части, место для научно-популярного обсуждения. И тот же ЛЛ здесь более уместен в интерпретации "на пальцах" и/или на простейших примерах.

А если Вы просто хотите свою образованность показать, так мы верим Вам - не суетитесь попусту.

[Padawan]

vek88
Хм, но преобразования Галилея допускает, я проверял.
Я сначала подумал, что оно не допускает отражение относительно одной из координатных плоскостей - допускает. Вообще допускает любые аффинные преобразования пространства. А что относительно перемены 1,2 несимметрично, так тела могут разными свойствами обладать (например одно имеет отрицательную, а другое положительную массу - это я образно говорю). Т.е. в любом случае, кроме галилей-инвариантности надо дополнительные предположения о виде уравнений делать.

[vek88]

Padawan
У нас идет интенсивный процесс поска "равновесного мироощущения". Разумеется, при этом нас носит туда сюда в окрестности равновесной точки. Надеюсь, однако, что процесс сходится к равновесию. С учетом всего этого у меня два предложения.

1. Давайте пока максимально упростим задачу - пусть у нас одинаковые частицы. Тогда ИМХО мы вправе требовать, чтобы уравнения движения выглядели одинаково, в т.ч. независимо от нумерации частиц. Я понимаю, что это не кванты, но тем не менее было бы странно для двух одинаковых классических частиц видеть вектор силы несимметричным по отношению к ним.

2. Давайте "сдемпфируем" наш "автоколебательный" процесс поиска и постараемся точно понять - нужно или не нужно что-то еще. Я вот, например, шарахнулся в крайность и сказал, что мы можем сразу в фазовом пространстве (координаты, импульсы) построить представление группы Галилея. Нет, не можем так просто для взаимодействующих частиц (для свободных нет проблем, но это тривиально и нам не интересно).

Так что ИМХО Ваше предложение, сформулированное в виде: дано фазовое пространство - найти наиболее общий вид дифференциальных операторов в этом пространстве, представляющих алгебру Галилея, попрежнему актуально. Так что мы ИМХО зря напугали друг друга.

Предлагаю Вашу идею все-таки довести до конца. Кстати, а что такое собки Пуассона? Это ведь тоже дифференциальные операторы специального вида, когда коэффициенты перед производными являются функциями специального вида (и поэтому автоматически приводят к гамильтонову формализму). Но мне не понятно - эти операторы обязательно такие?

С учетом сказанного я попробую снова аккуратно и без паники рассмотреть случай $n=2$ для одинаковых частиц в фазовом пространстве $(x_1_\alpha,x_2_\alpha, p_1_\alpha,p_2_\alpha).$ Но уже не постулируя операторы в виде скобок Пуассона, а попытаюсь найти наиболее общий вид дифференциальных операторов.

[myhand]

Padawan, а чем для Вас гамильтониан $H=p_1^2 / 2 - p_2^2 / 2 + (x_1 - x_2) ^2 /2$ - не гамильтониан?

Как раз Ваш случай. Вполне себе гамильтонова механика. Или лагранжева (тут можно перейти от одной к другой, т.к. функция лагранжа не вырожденная).

Только масса отрицательна... Так что Вы зря остановились на вычислениях - контрпримера для $n=2$ пока Вы не привели.

vek88 - "но тем не менее было бы странно для двух одинаковых классических частиц видеть вектор силы несимметричным по отношению к ним." Там все-таки дело не в асимметрии. Формально - система гамильтонова.

Тем более, что требование симметрии сил (фактически, третий закон Ньютона) - дополнительный постулат.

PS: Если я ничего не упустил - вывод гамильтониана невзаимодействующих частиц у vek88 - не приводил к каким-либо ограничениям на знак масссы.

PPS: Вот "наивный" ответ для $n=2$:

$$\ddot x_{1,2} = F_{1,2}(|x_1 - x_2|,|(x_1 - x_2)\cdot (\dot x_1 - \dot x_2)|,|\dot x_1 - \dot x_2|)$$

.

Векторные обозначения я убрал ($x_{1,2}$, $\dot x_{1,2}$, $F_{1,2}$ etc - вектора, ясно из контекста), $x \cdot y$ обозначено скалярное произведение векторов, $|x|$ - абсолютная величина вектора.