Моделирование преобразования кривой...

[paha]

ewert в сообщении #303540 писал(а):

Только я не знаю, в чём в точности состоит этот пример.

вот тут явная формула

paha в сообщении #303507 писал(а):

paha в сообщении #302364 писал(а):

[alexey007]

Вот решение задачи с начальным условием $y(x,0)={(1-(x-1)^2)^\frac{1}{2}}+0.3|sin(2{\pi}x)|$, и неподвижными граничными точками. paha, я очень хочу понять о чем вы говорите, но не могу. Как нужно построить дуги? Одна большая дуга, а внутри маленькая? и посмотреть как они будут эволюционировать?

[vvvv]

Вот как будет выглядеть искомая кривая (синяя). Красная -заданная кривая. В примере -параметрическая кривая - уравнения см. на осях.
параметр меняется от нуля до pi. В левой картинке кривизна откладыватся наружу- в правой- вовнутрь.

Правда, модуль кривизны здесь уменьшен в 22 раза, что не существенно, его можно сделать любым.

[AKM]

AKM в сообщении #303230 писал(а):

Просто я привык по-другому относиться к нормали. Как к непрерывной вектор-функции. А при Вашем подходе она резко изменится при смене выпуклости на вогнутость, а в точке перегиба (которая может быть и протяжённой линией перегиба) как бы даже неопределена.

На самом деле у нас с Вами не особых противоречий с нормалью. В справочнике Бронштейна-Семендяева она определяется как касательная (с которой никаких неопределённостей нет), повёрнутая на 90 градусов против часовой стрелки. То бишь $(-y', x')$, или $\tau+90^\circ$. И при этом она вовсе необязательно смотрит в центр кривизны: то в него, то от него. Корн вроде разрешает нам договриться, брать $\tau+90^\circ$ или $\tau-90^\circ$; и при этом она тоже вовсе необязательно смотрит в центр кривизны.
А вот вектор нормали, умноженный на кривизну, $k\cdot\mathbf{n}(\tau+90^\circ)$ всегда будет смотреть в центр кривизны (а в точке перегиба просто исчезнет). А вектор нормали $\mathbf{n}(\tau-90^\circ)$, умноженный на кривизну, всегда будет направлен от центра кривизны.
Такое определение нормали (привлекающее вторые производные) обнаружилось в справочнике Цыпкина. (Согласно ему получается, что у прямой нормали как бы нет: 0/0. Считаю, что это плохо)

[vvvv]

Здесь кривизна откладывалась с коэф.= 1


-- Вс мар 28, 2010 16:11:27 --

Еще такая картинка - видно как по нормалям откладывается (наружу - вовнутрь пересекаются и смазывается картинка) кривизна.

[alexey007]

Уххххх!!!! Круто!!! vvvv просто суперрррррррррр! Я так понимаю на картинке слева прямая задача, а на картинке справа решена обратная задача?

[AKM]

Про граничные условия.

Для незамкнутой кривой у меня как-то не получалось придумать схему численного решения (ну, а думать сразу в терминах гр. условий ДУЧП сходу не умею). Мешала невозможность определить кривизны на концах. Заданный в виде дополнительных гр. условий закон движения граничный точек эту проблему снимает. И я в итоге согласился с г.у. У Вас простейший (и прекраснейший) закон их движения --- покой! Покой! Покой!

Что казается замкнутой кривой, то здесь я вижу два варианта. Также можно проигнорировать факт замкнутости и зафиксировать конечную=начальную точки. У вас где-то Выше прозвучало --- параметр кривой $p\in[0,2\pi]$ (наверное, с буковкой $s$). Да, вот здесь:

alexey007 в сообщении #303327 писал(а):

рассматриваю решение при $t\in[0,T],s\in[0,2\pi]$, а вот в качестве граничных условий $x(0,t)=? и y(0,t)=?, x(2\pi,t)=?, y(2\pi,t)=?$ не знаю что взять, иначе полагаю решать без граничных условий нельзя.

Но ведь замнутая кривая периодична, и её можно рассматривать при $p\in(-\infty,+\infty)$. Никаких граничных условий тогда не надо. И нет той проблемы с вычислением кривизны в начальной точке: при ней всегда есть предыдущая и последующая точки. Но можно, видимо, и проигнорировать замкнутось. Получится совсем другое решение. Замкнутая окружность у меня схлопывается/расширяется по закону

$$R(t)=\sqrt{R_0^2\pm 2t}.$$

[alexey007]

vvvv, запишите как вы поставили задачу, граничную точку (0,0) я так понимаю вы не двигали, т.е. у вас $y(0,t)=0$

-- Вс мар 28, 2010 15:32:37 --

АКМ, спасибо за рассуждения, про закон правильно вы получили, из теории следует, что площадь будет по линейному закону от времени меняться, и из вашей формулы это видно.

[vvvv]

alexey007, задачу поставили Вы.
Я взял произвольную кривую, заданную параметрически, (вернее ее половину, правую).
Записал формулу кривизны кривой, заданной параметрически.
Задался кличеством точек (200 шт.)
В каждой точке нашел касательный вектор, развернул его на 90 градусов.
В направлении нормальных вектров от точек кривой (в ту либо. другую сторону) отложил векторы, по модулю равные кривизне кривой в соответствующей точке. вот и все

[alexey007]

vvvv, а сколько вы сделали шагов по времени, чтобы найти искомую кривую? Нужно найти не искомую кривую, а решение уравнения т.е. посмотреть как кривая будет вести себя с течением времени.

[paha]

alexey007 в сообщении #303613 писал(а):

посмотреть как кривая будет вести себя с течением времени

Как уже упоминалось, кривая может стягиваться в точку, самопересекаться и т.д.
Понятно, что изначальная кривая $r(t,0)$ должна быть с непрерывной кривизной $k(t,0)$. Надо дополнительно исследовать вопрос: остается ли кривизна непрерывной, т. е. не случится ли так, что кривизна $k(t,s)$ не будет непрерывной функцией по совокупности переменных (и даже при некотором фиксированном $s$).

[AKM]

Последние объяснения vvvv я понял так, что сделана одна итерция. При этом дельта Т специально не подбиралось достаточно малым, и смещения иных точек выходят далеко за рамки, допустимые для решения ДУ. Стало быть, трудно рассчитывать, что полученная кривая похожа на искомую. Чисто схематически похожа.

-- Вс мар 28, 2010 17:46:24 --

paha в сообщении #303529 писал(а):

Вот можно ли так же смоделировать второй пример - кривая, составленная из трех дуг окружностей

paha в сообщении #303623 писал(а):

Понятно, что изначальная кривая $r(t,0)$ должна быть с непрерывной кривизной $k(t,0)$.

paha,
правильно ли я понимаю, что, согласившись с требованием непрерывной кривизны, Вы как бы отказались от этой затеи --- про кривую, составленную из трех дуг окружностей? Мне она показалась нереализуемой из-за разрывов кривизны.

[alexey007]

Вообщем пока не могу перейти к задаче для замкнутой кривой, очень уж не линейная система двух уравнений, пока боюсь. Сейчас попытюсь решить обратную задачу, для ''упрощенной'' задачи, где одно уравнение и где есть нулевые граничные условия. Как получиться хоть что то покажу картинки.

[AKM]

Какие-то спец-трудности от замкнутости? Это мне непонятно.
Также непонятно, что Вы называете "обратной" задачей.

[alexey007]

Нет, не в замкнутости тродность, думаю ее можно обойти, а вот то что систему придется решать, к тому же, намного нелинейней чем упрощенная задача, поэтому лучше решу обратную задачу упращенную. Обратной я называю задачу с обратным ходом времени, ну т.е. кривизну или нормаль поворачиваю в обратную сторону.