Моделирование преобразования кривой...

[paha]

AKM в сообщении #302368 писал(а):

Не верю. Возьмите, например, параболу $y=a(1-x^2),\quad -1\le x\le 1$. При малом $a$ это, может, и так, а при большом верхушка параболы устремится вверх с огромной скоростью.

Не вверх, а вниз)))

[alexey007]

Получилось помойму решить упращенную задачу. Как тут на форуме можно картинку вствить? Хочу показать решение. Сейчас буду пытаться реализовывать, все таки систему двух уравнений.

[AKM]

Картинку --- так.
Предварительно её надо куда-нибудь запузырить.

[alexey007]

Решение такой задачи: $y'_{t}(x,t)=\frac{y''_{xx}(x,t)}{(1+y'_{x}(x,t)^2)^2},y(x,0)=sin({\pi}x),y(0,t)=y(1,t)=0,x\in[0,1], t\in[0,T]$

[ewert]

А где симметрия?...

[alexey007]

Вы имеете ввиду, про волну которая внизу. Я думаю, что это численные ошибки. Поэтому так "завихрилось".

[AKM]

Забавно, merci. Но это мы как бы нормаль определили как касательная +90 градусов. Т.е. в основном вверх. Кривизна отрицательна, всё смещается вниз.
А никаких оснований выбирать один из двух перпендикуляров вроде нет.
Надо бы и для $\tau-90$ попробовать... При той же кривизне всё вверх попрёт.
Или есть основания? Типа формальный выбор, зафиксированный в справочниках?

[alexey007]

AKM, я не понял, вы про какой выбор зафиксированный в справочниках говорите? Я в задаче рассматриваю движение направленное именно к центру кривизны. Если рассматривать движение в противополонжном направлении, то это уже получается обратная задача, ее я собираюсь решать но все таки я еще хочу попробывать решить прямую задачу сложную, ну т.е. для замкнутой кривой. Потом уже начну решать обратную задачу т.к. обратная задача будет уже некорректно поставленной и ее тяжело решать пока в прямой не разобрался.

[ewert]

alexey007 в сообщении #303178 писал(а):

Вы имеете ввиду, про волну которая внизу. Я думаю, что это численные ошибки. Поэтому так "завихрилось".

Больше похоже не на численные ошибки, а на какой-то глюк. Решение же явно стабилизируется, причём на гладком состоянии. Откуда там может взяться какой-то срыв?...

(Кстати, формула у Вас -- не для кривизны.)

[alexey007]

ewert, да вы правы наверное какой то глюк. Про какую формулу вы говорите, что она не для кривизны?

[Padawan]

alexey007
Знаменатель должен быть не в квадрате, а в степени $\dfrac 32$

[AKM]

Там вроде $\dfrac{y'}{(x'^2+y'^2)^{1/2}}\cdot\dfrac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$, так что всё правильно. Первый сомножитель --- нормировка вектора нормали на единицу.

[alexey007]

Да все так, как написал АКМ, только он в паратетрическом виде записал. Дауж у меня сразу проблема возникла поставить задачу для системы двух уравнений. Ну допустим уравнения я записал, начальное условие тоже записал, а вот граничные условия не могу поставить для системы. Подскажите что делать то?

[ewert]

AKM в сообщении #303220 писал(а):

Там вроде $\dfrac{y'}{(x'^2+y'^2)^{1/2}}\cdot\dfrac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$, так что всё правильно. Первый сомножитель --- нормировка вектора нормали на единицу.

А-а, типа если разделить смещение вдоль нормали на ещё один тангенс. Тогда, кажется, правильно. Типа мы сперва как бы забываем про нормаль, а потом вдруг нечаянно снова про неё вспоминаем.

[AKM]

alexey007 в сообщении #303222 писал(а):

Подскажите что делать то?

Здесь я не подскажу. Это мне надо учебники доставать-перечитывать... А был бы на пенсии --- охотно достал бы. Но пока боязно.
Единственным граничным условием мне видится изначальная форма кривой. А что может быть ещё?

alexey007 в сообщении #303194 писал(а):

AKM, я не понял, вы про какой выбор зафиксированный в справочниках говорите? Я в задаче рассматриваю движение направленное именно к центру кривизны.

Просто я привык по-другому относиться к нормали. Как к непрерывной вектор-функции. А при Вашем подходе она резко изменится при смене выпуклости на вогнутость, а в точке перегиба (которая может быть и протяжённой линией перегиба) как бы даже неопределена. Для меня кривая --- профиль плоской детали, граница материала-воздуха, и направление по умолчанию --- то, по какому я давлю пальчиком на деталь. Вал --- значит к центру, отверстие --- от центра. И по строгой формуле $\mathbf{n}=\arg(x'+iy')=\arctan(y',x')$, без всяких там фокусов.

Считали бы мы, скажем, эквидистанту кривой. Типа или срезаем материал $(d<0)$, или наращиваем $(d>0)$. По нормальной нормали. А по Вашей --- то срезаем, то наращиваем (ну, если не всюду выпукло).