Есть ли синтаксис в математике?

[venco]

errnough в сообщении #300885 писал(а):

Учитывая Ваше утверждение:

Xaositect в сообщении #299877 писал(а):

утверждение "$A$ ложно" является синонимом "$\neg A$":

$\text{''Caesar died'', False}$ синоним(?эквивалентно?) $\text{''Caesar died'', True}$

Противоречие.

Опять подменили одно высказывание другим. Было ((Ceasar died) is False), а заменили на (Ceasar died).
Рассмотрим оба варианта, чтобы была заметна разница.

1.
$p=(Ceasar\ died)$, $\neg p = (Ceasar\ is\ alive)$.

$$(p\ is\ False) \equiv ((Ceasar\ died)\ is\ False) \equiv ((Caesar\ is\ alive)\ is\ True) \equiv (Ceasar\ is\ alive) \equiv \neg p$$

2.
$p=((Ceasar\ died)\ is\ False)$, $\neg p = ((Ceasar\ is\ dead)\ is\ True)$.

$$(p\ is\ False) \equiv (((Ceasar\ died)\ is\ False)\ is\ False) \equiv ((Caesar\ is\ dead)\ is\ True) \equiv \neg p$$

[errnough]

2 venco, Xaositect:

Неверно. Таблица была составлена только для $p$.

Я предусмотрел это. Чертовщина какая-то... у меня, похоже, все ваши ходы записаны. Как вы думаете, зачем я протащил через рассуждения предложение $q$, а затем его бросил?

[Xaositect]

А зачем нам $q$, если мы хотим доказать, что "$p$ ложно" - это то же самое, что $\neg p$? Тут нет никакого $q$.

[venco]

Записаны, говорите?

errnough в сообщении #300885 писал(а):

errnough в сообщении #300866 писал(а):

утверждение p: «"Цезарь умер" это высказывание истинное».

~p: «"Цезарь умер" это высказывание ложное»

...
Учитывая Ваше утверждение:

Xaositect в сообщении #299877 писал(а):

утверждение "$A$ ложно" является синонимом "$\neg A$":

$\text{''Caesar died'', False}$ синоним(?эквивалентно?) $\text{''Caesar died'', True}$

Имеем $p=((Caesar\ died)\ is\ True)$.
Подставляем $p$ вместо $A$ в $(A\ is\ False) \equiv \neg A$:
$(((Caesar\ died)\ is\ True)\ is\ False) \equiv \neg ((Caesar\ died)\ is\ True) \equiv ((Caesar\ died)\ is\ False)$
Каким образом у Вас получилось справа $\text{''Caesar died'', True}$?

[errnough]

Xaositect в сообщении #300946 писал(а):

Тут нет никакого $q$.

"Цезарь жив" это из пропозиции $q$. Таблица истинности составлена только для $p$. Каким образом ''Caesar is alive'' попало в табличку истинности для $p$ в Вашем сообщении...

Xaositect в сообщении #300890 писал(а):

Составляем табличку ... $\text{''Caesar is alive''}$ ...

$$?$$

-----------------

venco в сообщении #300954 писал(а):

Каким образом у Вас получилось справа $\text{''Caesar died'', True}$?

Позвольте уточняющий вопрос, Вы согласны с этой таблицей истинности:

$$\begin{array}{ccc}A & \neg A \\ & \\ True & False \\False & True \end{array}$$

$$?$$

[Xaositect]

errnough в сообщении #300960 писал(а):

"Цезарь жив" это из пропозиции $q$. Таблица истинности составлена только для $p$. Каким образом ''Caesar is alive'' попало в табличку истинности для $p$ в Вашем сообщении?

В каком месте?
$p$="Цезарь умер", $\neg p$="Цезарь жив", "$p\ \text{is}\ \textbf{False}$"="утверждение "Цезарь умер" ложно".
С этим Вы согласны?

-- Пн мар 22, 2010 19:29:35 --

Xaositect в сообщении #300962 писал(а):

$p$="Цезарь умер", $\neg p$="Цезарь жив", "$p\ \text{is}\ \textbf{False}$"="утверждение "Цезарь умер" ложно".
С этим Вы согласны?

Еще пример:
$p$="'Цезарь умер' - это ложное утверждение", $\neg p$="'Цезарь умер' - это истинное утверждение", "$p\ \text{is}\ \textbf{False}$"='''неверно, что "'Цезарь умер' - это истинное утверждение"'''.

[errnough]

Xaositect в сообщении #300962 писал(а):

$p$="Цезарь умер", $\neg p$="Цезарь жив"...
С этим Вы согласны?

Нет. смотрите вот это сообщение. Там Вы согласились, что:

p: «"Цезарь умер" это высказывание истинное».
~p: «"Цезарь умер" это высказывание ложное».


PS____
может, перерывчик возьмем? я еще одно противоречие покажу... Кажется, по второму кругу переспрашиваем друг и друга, хотя всё отлично прослеживается по уже "не вырубишь топором"...

[Xaositect]

Ну хорошо.
$p$ = «"Цезарь умер" это высказывание истинное»
$\neg p$ = «"Цезарь умер" это высказывание ложное»
$p\ \text{is}\ \textbf{False}$ = '«"Цезарь умер" это высказывание истинное» - ложное высказывание'
C этим согласны?

А перерыв будет, я в 20-00 ухожу

[venco]

errnough в сообщении #300960 писал(а):

venco в сообщении #300954 писал(а):

Каким образом у Вас получилось справа $\text{''Caesar died'', True}$?

Позвольте уточняющий вопрос, Вы согласны с этой таблицей истинности:

$$\begin{array}{ccc}A & \neg A \\ & \\ True & False \\False & True \end{array}$$

$$?$$

Да.

-- Пн мар 22, 2010 12:45:27 --

errnough в сообщении #300975 писал(а):

может, перерывчик возьмем? я еще одно противоречие покажу...

Не отвлекайтесь. Вы ещё первого противоречия не показали.

[errnough]

Xaositect в сообщении #300978 писал(а):

Ну хорошо.
$p$ = «"Цезарь умер" это высказывание истинное»
$\neg p$ = «"Цезарь умер" это высказывание ложное»
$p\ \text{is}\ \textbf{False}$ = '«"Цезарь умер" это высказывание истинное» - ложное высказывание'
C этим согласны?

Как раз подошли к моменту, где следующий вопрос (imho, противоречие) возникает. Я не отвлеку, это всё в том же русле, по уже написанному ранее.
таблица истинности только для p:

$$\begin{array}{ccc} p & \neg p \\ & \\ \text{''Caesar died'', True} & \text{''Caesar died'', False} \\ \text{''Caesar died'', False} & \text{''Caesar died'', True} \end{array}$$

Вы видите, что $p$, как пропозициональная функция, имеет два значения, и они вписаны в первый столбик? У нас их вообще четыре, вместе с $\neg p$, а Вы спрашиваете про одно. Просто опускаем глаза в эту таблицу и читаем ответ на Ваш вопрос: $p\ \text{is}\ \textbf{False}$ = «"Цезарь умер" это высказывание истинное», False. То есть, да, согласен.

[venco]

На мой вопрос ответите?

venco в сообщении #300954 писал(а):

Каким образом у Вас получилось справа $\text{''Caesar died'', True}$?

[Xaositect]

errnough в сообщении #300990 писал(а):

Xaositect в сообщении #300978 писал(а):

Ну хорошо.
$p$ = «"Цезарь умер" это высказывание истинное»
$\neg p$ = «"Цезарь умер" это высказывание ложное»
$p\ \text{is}\ \textbf{False}$ = '«"Цезарь умер" это высказывание истинное» - ложное высказывание'
C этим согласны?

Как раз подошли к моменту, где следующий вопрос (imho, противоречие) возникает. Я не отвлеку, это всё в том же русле, по уже написанному ранее.
таблица истинности только для p:

$$\begin{array}{ccc} p & \neg p \\ & \\ \text{''Caesar died'', True} & \text{''Caesar died'', False} \\ \text{''Caesar died'', False} & \text{''Caesar died'', True} \end{array}$$

Вы видите, что $p$, как пропозициональная функция, имеет два значения, и они вписаны в первый столбик? У нас их вообще четыре, вместе с $\neg p$, а Вы спрашиваете про одно. Просто опускаем глаза в эту таблицу и читаем ответ на Ваш вопрос: $p\ \text{is}\ \textbf{False}$ = «"Цезарь умер" это высказывание истинное», False. То есть, да, согласен.

Я настаиваю на той форме, которую я написал. Согласны ли Вы с тем, что если $p$ = «"Цезарь умер" это высказывание истинное», то

$\neg p$ = «"Цезарь умер" это высказывание ложное»
$p\ \text{is}\ \textbf{False}$ = '«"Цезарь умер" это высказывание истинное» - ложное высказывание' = 'неверно, что «"Цезарь умер" это высказывание истинное»'

Если нет, то поясните, почему.

[errnough]

venco в сообщении #300954 писал(а):

Каким образом у Вас получилось справа $\text{''Caesar died'', True}$?

venco в сообщении #301055 писал(а):

На мой вопрос ответите?

Я понимаю, почему Вы задаете этот последний вопрос. Ведь если я не отвечу, то правилам неответ на вопрос участника со статусом "заслуженный", дает основание тему закрыть. Но вопрос можно задать такой, на который невозможно дать ответ "да" или "нет", и лучше всего отказаться отвечать. Например, "перестали вы по вечерам, в пятницу, когда приходите домой пьяным, избивать свою жену?".

Предпочел бы не отвечать, поскольку придется повторяться, но отвечать нужно, поскольку тема еще не рассмотрена. Выход: мне придется объединить два парадокса (противоречия) в терминах теории Russell et al., в один, и начав с рассмотрения первого, вынужденно остановиться, указав на противоречие номер 2.

Поскольку Вы согласны с таблицей истинности для высказывания $A$, такую же таблицу можно попробовать написать для высказывания $p$. В терминах теории Russell et al. под символами, например, $A, p$ подразумеваются пропозициональные функции. Сделаем это более подробно, и пошагово.
Пусть
$p=\text{''proposition ''Caesar died'' is true''}$ ("Цезарь умер" это высказывание истинное»),
тогда отрицание $p$:
$\neg p=\text{''proposition ''Caesar died'' is false''}$ ("Цезарь умер" это высказывание ложное»).

Для того, чтобы составить таблицу истинности для $p$, мы должны принять, в терминах теории Russell et al., что за $p$ подразумевается пропозициональная функция со значениями $\left \{ true,false \right \}$. Как только мы назначим какое-то из этих двух значение, высказывание становится asserted proposition.
Для первого столбца:
$\text{''proposition ''Caesar died'' is true'' } \text{\color{blue}is true}$
$\text{''proposition ''Caesar died'' is true'' } \text{\color{blue} is false}$

Аналогично и для второго столбца.

Запишем в таблицу истинности для $p$:

$$\begin{array}{ccc} & p & \neg p \\ & \\ \text{1st row, true values:} & \text{''proposition ''Caesar died'' is true'' } \text{\color{blue} is true} & \text{''proposition ''Caesar died'' is false'' } \text{\color{blue} is true} \\ \text{2nd row, false values:} & \text{''proposition ''Caesar died'' is true'' } \text{\color{blue} is false} & \text{''proposition ''Caesar died'' is false'' } \text{\color{blue} is false} \end{array}$$

Пробуем определиться с первым интересующим нас высказыванием. Ячейка: первый столбец, вторая строка. По-русски в этой ячейке: «"(цезарь мертв) это высказывание истинное»" это высказывание ложное».

Цезарь мертв или нет?
(только не отвечайте на вопрос: мертв или жив. Рассмотрение "цезарь жив", это из другой оперы, из $q$. Отвечать нужно: да или нет.)

-------= ход рассуждений =---------

(цезарь мертв) суть высказывание $m$ (unasserted).

$m$ может быть {true,false}. Пока неопределенность. Определим $m=true$ высказав $n$:

«(цезарь мертв) это высказывание истинное» суть высказывание $n$.

$n$ может быть {true,false}. Пока неопределенность. Определим $n=false$ высказав $k$:

«(цезарь мертв) это высказывание истинное» это высказывание ложное» суть высказывание $k$.

$k$ может быть {true,false}. Пока неопределенность. Определим $k$, высказав $k_1$...

-- Вт мар 23, 2010 15:16:47 --

Xaositect в сообщении #301071 писал(а):

Я настаиваю на той форме, которую я написал.
$p\ \text{is}\ \textbf{False}$ = '«"Цезарь умер" это высказывание истинное» - ложное высказывание' = 'неверно, что «"Цезарь умер" это высказывание истинное»'

Если нет, то поясните, почему.

Я согласен полностью, если Вы будете последовательным и вместо знаков "равно" продолжите употреблять слова типа "синоним", а вместо "ложно" везде по тексту замените на слово "неверно". Но я не настаиваю. Согласен.

[Xaositect]

А знаете, Ваши рассуждения мне более-менее нравятся, хотя они и неверные.

Давайте определимся, что мы хотим доказать.
Итак, мы хотим доказать, что $(P(x)\ \text{is}\ \mathbf{False})\equiv \neg P(x)$, где $P(x)$ - это некоторый предикат (пропозициональная функция).
Как мы выяснили раньше, для этого нужно показать, что при любом значении $x$ эта формула принимает значение $\mathbf{True}$, так?

Теперь зафиксируем произвольное $x$. $P(x)$ может быть либо $\mathbf{True}$, либо $\mathbf{False}$.
Если $P(x)$ есть $\mathbf{True}$, то $\neg P(x)$ есть $\mathbf{False}$ по определению $\neg$, а $P(x)\ \text{is}\ \mathbf{False}$ есть $\mathbf{False}$, потому что неверно, что $\mathbf{True}\ \text{is}\ \mathbf{False}$.
Если же $P(x)$ есть $\mathbf{False}$, то все то же самое, только наоборот.
Получаем, что в обоих случаях $(P(x)\ \text{is}\ \mathbf{False})\equiv \neg P(x)$. Значит, эта формула верна при любом произвольном $x$, чтд.

-- Вт мар 23, 2010 15:36:14 --

errnough в сообщении #301297 писал(а):

-------= ход рассуждений =---------

(цезарь мертв) суть высказывание $m$ (unasserted).

$m$ может быть {true,false}. Пока неопределенность. Определим $m=true$ высказав $n$:

«(цезарь мертв) это высказывание истинное» суть высказывание $n$.

$n$ может быть {true,false}. Пока неопределенность. Определим $n=false$ высказав $k$:

«(цезарь мертв) это высказывание истинное» это высказывание ложное» суть высказывание $k$.

$k$ может быть {true,false}. Пока неопределенность. Определим $k$, высказав $k_1$...

$n$ и $k$ у нас вполне конкретные пропозициональные функции, зависящие от значения пропозиции "Цезарь мертв".
Мы не можем присваивать им значения произвольно! Мы должны при этом основываться на значении этого самого "Цезарь мертв", на то они и функции.
То есть, если мы взяли "Цезарь мертв" = True, то «"Цезарь мертв" - это истинное утверждение» - обязательно будет True. Его значение функционально зависит от значения "Цезарь мертв", причем известным образом.

-- Вт мар 23, 2010 15:46:05 --

Я, наверное, зря Вас все-таки к Расселу-Уайтхеду отослал. Там терминология устаревшая, и перевода на русский нет.
Если хотите, почитайте "Введение в математическую логику" Черча, "Введение в метаматематику" Клини.

[errnough]

Xaositect, уточняющий вопрос по ходу Ваших рассуждений.

Если показано из посылок теории R выводом в терминах теории R противоречие такое-то, то показ другого вывода из тех же посылок теории R, где противоречия уже нет, ничего не доказывает. Для снятия противоречия необходимо спорить не из-за тезиса (посылок, сформулированных в терминах теории R), а из-за доказательства, то есть, нужно опровергнуть мои рассуждения, показывающие противоречие. Свой путь вывода другого, уже истинного непротиворечивого заключения из тех же посылок теории R, предоставлять нелогично.

Вы согласны?