2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 15  След.
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение09.04.2010, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6322
К сожалению, у меня сейчас слишком мало врмени, чтобы продолжать, но это все можно прочитать в любом учебнике логики, например, в том же Клини или Черче.

errnough в сообщении #307656 писал(а):
2 Xaositect:

Однако, если Вы неявно принимаете за предположительно истинное высказывание, на основании которого собираетесь строить дальнейшие логические рассуждения, следующую аксиому:
    «Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание»,

Да, я собирался его вводить при определении интерпретации. А что Вам в нем не нравится? Если с обратным следствием есть некоторые терки, то ж это-то вряд ли кто-то будет оспаривать.

Цитата:
тогда я отрицаю допустимость вот этого выражения: $\neg B\rightarrow$.
В натуральном языке это звучит так: «Из ложного высказывания ничего не следует.» (Запрет операции "следует" для ложного высказывания.)

Не понял?

Цитата:
Именно на это утверждение опираются те, кто считает, что в основе любой аксиоматической теории находятся предположительно истинные высказывания. (От себя добавлю уточнение: отсюда следует запрет на неопределенные, в истинностном значении, высказывания. Иными словами, ставится требование однозначности, непротиворечивости высказывания, если оно — посылка.)

------

У меня готов пример из математики. Чаще всего конструкцию проще пояснить на примере. Могу показать, что операция вычитания векторов неопределена (противоречива, незаконна). Сегодня редко встретишь человека, который следует логике и доверяет ей проверку высказываний. Надеюсь, кажущаяся невероятность утверждения из примера не заставит Вас отказаться от исследования логики вывода.

Определения не бывают противоречивыми, только некорректными.
Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Вы хотите показать его некорректность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение09.04.2010, 09:43 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
errnough в сообщении #307656 писал(а):
Однако, если Вы неявно принимаете за предположительно истинное высказывание, на основании которого собираетесь строить дальнейшие логические рассуждения, следующую аксиому:

«Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание»,

тогда я отрицаю допустимость вот этого выражения: $\neg B\to$
В натуральном языке это звучит так: «Из ложного высказывания ничего не следует.» (Запрет операции "следует" для ложного высказывания.)
В формальном (аксиоматическом) исчислении высказываний, построенном до сих пор, нет понятий истинности и ложности; есть только понятие выводимости. Истинность и ложность -- это понятия алгебры высказываний, которая является одной из интерпретаций исчисления высказываний.

Поэтому аксиому

$F$ истинно $\to \neg F$ ложно

пока сформулировать просто не удастся. Однако в исчислении высказываний выводимы формулы $F \to \neg \neg F$ и $\neg \neg F \to F$, которые могут быть проинтерпретированы как "отрицание лжи есть истина".

Ну и кроме этого, доказывается теорема о непротиворечивости аксиоматического исчисления высказываний, утверждающая, что формулы $F$ и $\neg F$ не могут одновременно быть выводимыми.

Если же Вы отказываетесь от формулы $\neg B \to ...$, то от формулы $B \to ...$ тоже придется отказаться: в импликации $\neg B \to ...$ формула $\neg B$ может быть быть выводима (т.е., интерпретироваться как истинная), а в импликации $B \to ...$ формула $B$, наоборот, может интерпретироваться как ложная.


Ну и еще один (уже менее формальный) аргумент в пользу того, что из лжи следует все что угодно (из алгебры предикатов).

Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

При подстановке любого значения аргумента истинный предикат превращается в истинное высказывание, поэтому
$(6 > 5) \to (6 > 3) ~~~~ (T \to T)$
$(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$
$(2 > 5) \to (2 > 3) ~~~~ (F \to F)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение09.04.2010, 16:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Xaositect,
можно не обсуждать посылку «Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание», принять ее за истинную, и посмотреть, что из этого следует.

А следует вот что. По Вашему примеру, «2. Схема аксиом $(A\to B)\to(\neg B\to \neg A)$.», предполагая, что
    1. Действия выполняются слева направо;
    2. Скобки указывают на порядок действий;
как только для $B$ построено отрицание, а $(\neg B)$ получает значение "ложь", и учитывая, что в Вашей системе разрешено без ограничений записать $(\neg B \to ...)$, то это равносильно, что из ложной посылки в Вашей системе допустимо выводить заключение (теорему). Мне кажется очевидным, что последнее противоречит логической структуре дедуктивных наук, где все умозаключения (теоремы) выводятся из предположительно истинных высказываний. В такой системе формализовать дедуктивно полученные знания не удастся. Если же пойти на ухищрения и формализовать существующее, то это будет аналог телефонного справочника по критерию эвристической ценности.

Как раз на примере от М.Маслова хорошо видна проблема попытки вывести заключение из ложной посылки:
Maslov в сообщении #307927 писал(а):
нет понятий истинности и ложности; есть только понятие выводимости.
...
Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Что означает "тождественно истинный", не совсем понятно, по-видимому, самому себе.

Если при подстановке я могу представить, откуда следует вот это:
$(6 > 5) \to (6 > 3) ~~~~ (T \to T)$,
и могу эту истинность $P(x)$ разными путями (известный прием проверки), достаточно убедительно показать, то следующая подстановка лично меня ставит в тупик:
$(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$.
Вы можете набросать ход своих рассуждений, и показать, что действительно из первой скобки следует вторая? Интересно увидеть определение для термина "следует", обозначенного символом "$\to$".

Для формализации этого примера я бы взял хорошо знакомые из математики термин и определение "функция", и не изобретал бы "логический" велосипед. По моему мнению, $P(x)$ это простая функция с областью своих значений $\left \{ T,F \right \}$, и областью значений аргумента $x$. Если мы для удобства вычисления (так делают в программировании) символы $\left \{ T,F \right \}$ заменим на символы $\left \{ 1,-1 \right \}$, то вообще переходим к хорошо исследованной области анализа. Осталось воспользоваться определением функции до конца, и указать область допустимых значений аргумента. Мой запрет операции "следует" из ложного высказывания жесткий, и похож на запрет операции деления на ноль. Поэтому для $x \leq 5$ функция не определена.
Отсюда:
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$, — определена на $x > 5$;
$P(x) = (x > 5)$, — определена на $x \in R$;
$P(x) = x$, — всюду на $x$ неопределена (функция не задана).

Xaositect в сообщении #307891 писал(а):
Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Вы хотите показать его некорректность?

Да, конечно. Вы предложили один из возможных путей для определения вычитания векторов. Суть примера не в его значении, оно побочный эффект, а в том, как мог бы работать алгоритм. С векторами и противоречием всё просто. Вычитание векторов ничему не соответствует в физической действительности. С этого момента мы и пойдем назад, от противоречия.

Однако сначала покажу именно для Вашего определения его противоречивость.

Примем за истинные посылки:
1. Можно задать декартову систему координат (СК).
2. В СК по пункту 1 можно задать отрезок.
3. В СК по пункту 2 можно задать два различных отрезка.
4. По определению из геометрии, если точки совпадают координатами, это одна и та же точка.
5. Двумя различными отрезками будут считаться такие, для которых можно указать хотя бы одну точку одного отрезка, координаты которой не совпадают с какой-либо точкой второго.
6. По определению вектора, обозначив концы отрезка разными символами (буквами, треугольничками, координатами, и т.п.), мы задаем порядок для точек отрезка.
7. Продемонстрируем пункт 1-6 графически, (рис. 1):
Изображение
8. Пункт 5 продемонстрируем следующим примером: (рис 2).
Векторы $A$ и $B$ различные векторы.
Изображение
9. Операция "сумма" над векторами определена для двух разных (пункт 5) векторов, $A$ и $B$, если у этих векторов совпадают пары координат: либо начало-начало, либо конец-начало. Для остальных пар операция сумма не определена. (рис. 3):
а) все векторы разные.
б) сложить можно пары (A,B), (A,A'), (A',B) и (D,E). Для остальных пар операция "сумма" не определена.
Изображение

Далее возьмем для примера [Н. Бухгольц, Основной курс теоретической механики. ч.1. Кинематика, статика, динамика материальной точки., М.: Наука, 1965. стр. 26]:
Изображение
Изображение

Опустим неформализуемую на язык логики игру слов из этой цитаты, что якобы разность есть сложение. Просто проследим за тем, что происходит. Следуя тому, что Вы написали:
«Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$
Запишем аналогично для приведенной цитаты:
$d=a-b$, если $d+b=a$

Если по пунктам 1-9 возражений нет, то из них с необходимостью следует, что векторы $d$ и $b$ сложить нельзя. Отсюда заключаем, что Ваше определение противоречиво (некорректно).

-----------
Движение по алгоритму напоминает игру. Правила простые, им сто лет в обед. Их всего два.
1. Запрет противоречий, как окончательного результата.
2. Рассуждения ведутся по правилам логики (из предположительно истинных высказываний).
Ближняя цель — получить противоречие (с определением, аксиомой, теоремой, или с другим рассуждением на тех же посылках). Да, вот такая странная ближняя цель. Идем к противоречию (или неопределенности в операции), как к первой цели, потому что оно означает, что с этого шага алгоритм разворачивается на рекурсию. Идти постепенно к противоречию хорошо при каких-то частных задачах, но у нас есть свой интеллект, и поэтому в эту игру лучше вступать с уже обнаруженного противоречия.

Но на самом деле, линейный порядок чтения приведенных выше пунктов от 1 к 9, не отображает алгоритма работы, он как иголка швейной машины, рекурсивный. Это просто причесанная, окончательная картина.

Реконструкция.

Ограничимся для простоты примера, что определение у термина короткое, по возможности, в одно слово, исключая из счета связку "суть" и служебные слова из грамматики, например, предлоги, союзы и пр. Тогда термин "вектор" имеет определение: "суть стрелка". На десятом шаге-итерации определение должно вырасти линейно до $2^{10}=1024$ слов. Это если не будет найдено противоречий. Уверяю, что если работать над конкретным текстом из математики, то без противоречий не обойдется, а десятый шаг в определении может появиться очень нескоро... Образное представление: получается не база знаний предсуществующих знаний, вложенная в заранее продуманную структуру, а запись новых образований: связей терминов, и новых рассуждений. Структура вырастет сама, автоматически, так, как это получается у семени растения. Или у морозной снежинки на стекле. Есть предположение (мое), что начав с любого понятия в существующей математике, работающий алгоритм отрисует одну и ту же, новую, и незнакомую до этого структуру для всей математики. Но это гипотеза, конечно...

Читаем в таком порядке: 0, –1, ...

Процедура (A): Даем произвольное определение вектора.

-3. (Что такое "отрезок"?) множество точек; (Что такое "разные концы"?) точка-начало, точка-конец.
-2. (что такое "стрелка"?) суть отрезок с разными концами.
-1. вектор суть стрелка.
=0======= Противоречие ===========

Определение вектора закончено. Переход на процедуру (B) построения объекта, который получил определение в (A).

Пояснение. В отрицательную сторону мы строим высказывание, уточняющее начальное, назовем его "seed". Например, "$1/3$ суть число." или "Вектор суть стрелка." Высказывание простое, типа заголовка, просто точка входа в алгоритм. В положительную сторону строятся умозаключения из уточняющих высказываний. Умозаключения могут быть сложнее, чем в два слова.

Процедура (B): Построение Точки-начала.
=0. Можно построить точку-начало.
+1. Из 0. следует, что "точка-начало" отличается от остальных "просто-точек". В определении не задано отношение к другим точкам. Неопределенность. Возврат к задаче определения (A).

Процедура (A): уточнение.
-5. вектор суть множество точек линии, кратчайшей между двумя точками с заданными координатами в декартовой системе с указанными началом-концом.
-4. вектор суть множество точек прямой; точки: "начало", "конец" — их координаты.

Определение закончено. Переход к задаче построения объекта, (B).

...

На этом прервусь, слишком много для одного раза. Шаги алгоритма утрированы, строгость принесена в жертву читаемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение09.04.2010, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6322
errnough в сообщении #308039 писал(а):
Xaositect,
можно не обсуждать посылку «Если $F$ — истинное высказывание, то $(\neg F)$ — ложное высказывание», принять ее за истинную, и посмотреть, что из этого следует.

А следует вот что. По Вашему примеру, «2. Схема аксиом $(A\to B)\to(\neg B\to \neg A)$.», предполагая, что
    1. Действия выполняются слева направо;
    2. Скобки указывают на порядок действий;
как только для $B$ построено отрицание, а $(\neg B)$ получает значение "ложь", и учитывая, что в Вашей системе разрешено без ограничений записать $(\neg B \to ...)$, то это равносильно, что из ложной посылки в Вашей системе допустимо выводить заключение (теорему). Мне кажется очевидным, что последнее противоречит логической структуре дедуктивных наук, где все умозаключения (теоремы) выводятся из предположительно истинных высказываний. В такой системе формализовать дедуктивно полученные знания не удастся. Если же пойти на ухищрения и формализовать существующее, то это будет аналог телефонного справочника по критерию эвристической ценности.
Ну я же объяснял про $\to$ и $\vdash$. Не до конца, правда. Почитайте, пожалуйста, Клини или Черча по поводу вывода из гипотез и теоремы о дедукции, у меня нет времени это переписывать сюда своими словами.

Цитата:
Как раз на примере от М.Маслова хорошо видна проблема попытки вывести заключение из ложной посылки:
Maslov в сообщении #307927 писал(а):
нет понятий истинности и ложности; есть только понятие выводимости.
...
Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Что означает "тождественно истинный", не совсем понятно, по-видимому, самому себе.

Значит, что он истинен при любом $x$.

Цитата:
Для формализации этого примера я бы взял хорошо знакомые из математики термин и определение "функция", и не изобретал бы "логический" велосипед. По моему мнению, $P(x)$ это простая функция с областью своих значений $\left \{ T,F \right \}$, и областью значений аргумента $x$. Если мы для удобства вычисления (так делают в программировании) символы $\left \{ T,F \right \}$ заменим на символы $\left \{ 1,-1 \right \}$, то вообще переходим к хорошо исследованной области анализа. Осталось воспользоваться определением функции до конца, и указать область допустимых значений аргумента. Мой запрет операции "следует" из ложного высказывания жесткий, и похож на запрет операции деления на ноль. Поэтому для $x \leq 5$ функция не определена.
Отсюда:
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$, — определена на $x > 5$;
$P(x) = (x > 5)$, — определена на $x \in R$;
$P(x) = x$, — всюду на $x$ неопределена (функция не задана).

То есть Вы считаете, что $F\to T$ не определено?
Ну значит вы рассматриваете неклассическую логику.

Цитата:
Xaositect в сообщении #307891 писал(а):
Определение вычитания векторов: $z = x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Вы хотите показать его некорректность?

Да, конечно.
... (длинный текст про векторы)

Замечательно. Сначала Вы говорите про связанные векторы (направленные отрезки), а потом приводите цитату из учебника, который написан в терминах свободных векторов. Понятно, что так вылезут некорректности.

Еще раз повторю определения. (1) $z=x-y$ тогда и только тогда, когда $z+y = x$.
Рассмотрим связанные векторы. В этом случае (2) складывать $a$ и $b$ можно только если $a = \vec{AB}$, $b = \vec{BC}$, и результат будет $\vec{AC}$.
Исходя из этих двух определений, дадим конструкцию вычитания: вычесть $y$ из $x$ можно только если $x = \vec{AB}$, $y=\vec{AC}$, и результат $z = x-y = \vec{CB}$.
Можете легко проверить , что так определенное вычитание подходит под определение (1) и корректно определено.

В случае свободных векторов их можно складывать всегда, и вычитать тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение09.04.2010, 18:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Xaositect,
об остальном чуть позже, а пока просто реплика.

Фактически, Вы подвергаете сомнению (или отрицаете) истинность пункта 9. Тогда да, с Вашей точки зрения, мое заключение автоматически получает статус неопределенного.

Однако в обоснование этого Вы привели свое, частное определение суммы векторов, специальное для "вычитания". А где же общность рассмотрения? Вы считаете, что можно выкинуть из рассмотрения пару векторов (D,E) как такую, для которой операция "сумма" определена? На каком основании? Для этой пары, следовательно, не существует и разности векторов. Очень близко к противоречию...

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение09.04.2010, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6322
А, извиняюсь, просмотрел. У Вас какое-то нестандартное определение сложения векторов, откуда Вы его взяли?
Оно у вас неассоциативно:
$\xymatrix{ & &C\\A\ar[r]&B\ar[ur]\ar[dr]&\\ & &D}$
$\vec{AB}+(\vec{BC}+\vec{BD})$ определено, а $(\vec{AB}+\vec{BC})+\vec{BD}$ нет.
Не дела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение09.04.2010, 22:40 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
errnough в сообщении #308039 писал(а):
Интересно увидеть определение для термина "следует", обозначенного символом "$\to$".
Определение связки $\to$ в аксиоматической теории дается самими аксиомами через спецификацию правил выводимости с использованием этой связки. Если Вам нужно определение в алгебре высказываний (т.е., в интерпретации аксиоматического исчисления высказываний), то ее можно определить значениями истинности (1, 1, 0, 1).

Но на самом деле, $F \to F$ -- это просто на уровне житейского здравого смысла. Фразу типа "Если ты хороший художник, то я -- китайский император" слышали когда-нибудь? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 10:52 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
2 Xaositect
Вы предлагаете взять уже тройку векторов для операции сумма, вместо пары, и мы сразу перескакиваем в другой контекст через целый кусок рассуждений. Поэтому стало и непонятно. Пропускать куски опасно.

Ваша схема для суммирования, назову ее цепочечная, имеет тот "недостаток", что члены оказались без свойства коммутативности и ассоциативности. Эта схема уже не работает при трех векторах.
$\xymatrix@=10pt{& & B\ar[drrr]^2 & & & &\\& & & & & C\ar[dddd]^3 &\\& & & & & & &\\A\ar[uuurr]^1\ar@{-->}[uurrrrr]_{1+2}\ar@{-->}[ddrrrrr]_{1+2+3} & & & & & &\\& & & & & & &\\& & & & & D &\\& & & & & & &\\}$
Нельзя сложить 1+3+2, откуда и ассоциативность не работает. Ваш способ определения суммы называется правило векторного многоугольника, или суммирование по замкнутому контуру. И правило это настолько сильное, что фактически, это аксиома, причем неявно используемая.

В девятом пункте была совершена операция, которая осталась без внимания, поскольку для пары векторов значения не имела. Эта операция разделяет множество векторов по признаку "сумма: определена/не определена" на два подмножества (класса). Но сделано это было на глазок, по нарисованному, не через процедуру. Можно указать правило суммирования вместе с процедурой построения подмножества, где оно определено, и где коммутативность и ассоциативность выполняется.

10. Пропуская некоторые рассуждения при рассмотрении суммирования... можно прийти к выводу, что если каждая точка задает начало для континиума радиус-векторов, то эти радиус-вектора аддитивны, с свойством коммутативности и ассоциативности.
Изображение
Все радиус-вектора из точки $O$ могут быть просуммированы в любом порядке. При этом продукт суммы снова радиус-вектор. Первое же вычитание (если бы оно могло без противоречий быть введенным) дает продукт, уже не находящийся в множестве этих радиус-векторов. В свою очередь, если каждый из этих радиус-векторов своим концом задает снова радиус-векторы, то для пары векторов с общей точкой также можно ввести правило суммирования, и на построенном таким образом множестве и определена операция суммирование векторов.

Здесь два замечательных момента. Грассман втаскивал вектора в математику из физики. Некоммутативность это вовсе не недостаток. Это математический критерий, прошедший проверку в физической действительности. Если мы рассмотрим сумму перемещения частицы (цепочечная схема), то частица движется последовательно, $1\to 2\to 3$. Потребовать здесь коммутативность, это значит разрешить частице мгновенно прыгать в пространстве. Суммирование радиус-векторов тоже подсмотрено в физической действительности. Лебедь, рак и щука, тянущие воз, прикладывают сумму сил, которая очень точно соответствует перемещению воза, если ввести правило суммирования радиус-векторов. И свойство коммутативности и ассоциативности также соответствует физической действительности. Если же рассмотреть распад при столкновении частиц, то получим как раз модель с полным правилом суммирования.

Maslov в сообщении #308143 писал(а):
на самом деле, $F \to F$ -- это просто на уровне житейского здравого смысла.

Вот даже на уровне здравого смысла не придумывается логичное рассуждение, как из ложной посылки выводится следствие: $(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$. Если это не получается, почему не сделать правилом запрет на такое действие?

Цитата:
Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$
Цитата:
Что означает "тождественно истинный"
Xaositect в сообщении #308048 писал(а):
Значит, что он истинен при любом $x$.

Но это же не работает. Подставим $x=4$, получим теорему, доказать которую невозможно, по меньшей мере. Причина же в другом, без области определения для $P(x)$ мы получаем противоречие для $x=4$, то есть, мы пытаемся доказать противоречие. Еще Аристотель ввел правило, правильность :) которого до сих пор никем не опровергнута: запрет противоречий (как посылки).

Если же мы применим хорошо знакомое понятие из другой области математики, то существенно упростим коммуникацию. Всякий, встретив в логике термин "функция", с полным правом будет считать, что каждому значению аргумента соответствует определенное значение функции. И ситуация, когда из $x=4$ следует любое из $\left \{ T,F \right \}$, автоматически исключается.

Можно, конечно, такую логику назвать неклассической. Но на мой взгляд, мы говорим о логике алгоритма. Сама же логика остается в неприкосновенности, и всегда классическая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 12:29 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
errnough в сообщении #308198 писал(а):
Вот даже на уровне здравого смысла не придумывается логичное рассуждение, как из ложной посылки выводится следствие: $(4 > 5) \to (4 > 3) ~~~~ (F \to T)$. Если это не получается, почему не сделать правилом запрет на такое действие?
На уровне здравого смысла связка $\to$ означает, что правая часть "не менее истинна", чем левая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6322
errnough в сообщении #308198 писал(а):
Вы предлагаете взять уже тройку векторов для операции сумма, вместо пары, и мы сразу перескакиваем в другой контекст через целый кусок рассуждений. Поэтому стало и непонятно. Пропускать куски опасно.

Приведите определение сложения векторов. Вот Вы там ссылку на учебник давали, вот из него и возьмите. Там, правда, не то, что у Вас, там свободные векторы.

-- Сб апр 10, 2010 14:11:35 --

errnough в сообщении #308198 писал(а):
Здесь два замечательных момента. Грассман втаскивал вектора в математику из физики. Некоммутативность это вовсе не недостаток. Это математический критерий, прошедший проверку в физической действительности. Если мы рассмотрим сумму перемещения частицы (цепочечная схема), то частица движется последовательно, . Потребовать здесь коммутативность, это значит разрешить частице мгновенно прыгать в пространстве. Суммирование радиус-векторов тоже подсмотрено в физической действительности. Лебедь, рак и щука, тянущие воз, прикладывают сумму сил, которая очень точно соответствует перемещению воза, если ввести правило суммирования радиус-векторов. И свойство коммутативности и ассоциативности также соответствует физической действительности. Если же рассмотреть распад при столкновении частиц, то получим как раз модель с полным правилом суммирования.

Если воз большой, то у лебедя, рака и щуки силы, вообще говоря, силы к разным точкам приложены. Силы это скользящие векторы, их складывать можно, если линии действия сил пересекаются. И можно доказать теорему, что любая система сил эквивалентна равнодействующей + паре сил, которая дает вращение, если оно есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 15:07 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Вот книга целиком.

Вот определение суммы векторов.
Изображение

------------------
Я кстати, согласился, что рассматриваю конкретный математический объект: закрепленный (связанный, неподвижный) вектор и множество из этих элементов. Мне очень интересно увидеть, по возможности строгое, определение объекта "свободный вектор".

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 17:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Maslov в сообщении #307927 писал(а):
Рассмотрим, например, тождественно истинный предикат
$P(x) = (x > 5) \to (x > 3)$

Отмечу следующее обстоятельство. Мы неявно делаем проверку на истинность (IF) в голове. Но никак не отображаем эту операцию в записи функции $P(x)$.

Однако реальность заставит нас всё прописать побуквенно. Давайте попробуем сделать что-то реальное, используя те же проверки, $(x > 5)$ и $(x > 3)$. Пусть $P(x)$ это функция управления чем-нибудь. Пусть это гидравлический затвор на атомной станции. Мы опрашиваем с временным интервалом датчик. Величина датчика это $x$. Мы делим ситуацию на два режима, аварийный и рабочий. Естественно, сначала проверяется самое опасное условие — аварийное $(x > 5)$, а иначе просто регулируем в рабочем режиме $(x > 3)$, или ничего не делаем.

код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис FreeBasic
01. start
    IF
      x>5 Then
      GoTo 20
    Else IF
      x>3 Then
      GoTo 10
    End IF
      GoTo 01
10. Процедура: регулируем в рабочем режиме.
...
      GoTo 01
20. Процедура: регулируем в аварийном режиме.
...
 



Что здесь происходит? Если $x\leq 5$, то никакой определенности, что делать автомату, нет, и нужна еще одна проверка (развилка). Если $x\leq 3$, то ни одна процедура не будет выполнена. Вот эта неопределенность (алгоритмически, развилка) и видна теперь невооруженным глазом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6322
Ну в том определении, которое вы приводите, написано как у меня: вектор $b$ отложен от конца вектора $a$.

Сторогое определение свободного вектора на плоскости:
Свободным вектором называется класс эквивалентности множества связанных векторов по отношению равенства.
Скажем, на той картинке, что в последнем посте, все связанные векторы, помеченные буквой $a$, равны. Они представляют один и тот же свободный вектор $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 18:23 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Свободные вектора, получается, есть на самом деле бесчисленное множество векторов, заданное по определенной процедуре. Тогда объект "свободный вектор", в единственном числе, есть элемент этого множества. Придется уточнять процедуру выбора координат, проекций и всего прочего, связанного с системой координат, для элемента, и процедуру выбора элемента из множества.

Элементы из множества "свободные вектора" равны в смысле равенства длин и коллинеарности, но как же ввели длину без системы координат, проекций и прочего?

Хорошая подсказка видится в том, что ни в одном источнике при таком способе введения суммы векторов никто в здравом уме не нарисует все рассматриваемые вектора в системе координат. Все учебники предлагают рисунки на белом куске поверхности, без осей координат. Иначе придется объяснять, почему вектор AB позволено таскать в пространстве, совмещая с вектором DC, хотя ни одной точкой они не совпадают, и их координаты для такого переноса нуждаются в хорошо известной процедуре пересчета-трансляции, и опять-таки, всё в той же системе координат...

А на рис.10, который приведен выше, даже трудно смотреть, читая определение: всё время двоится в глазах, о какой паре векторов $a, b$ там идет речь? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение10.04.2010, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6322
errnough в сообщении #308318 писал(а):
Элементы из множества "свободные вектора" равны в смысле равенства длин и коллинеарности, но как же ввели длину без системы координат, проекций и прочего?

Обычно длина вводится где-то в районе аксиом плоской геометрии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 213 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group