Есть ли синтаксис в математике?

[errnough]

AGu в сообщении #299722 писал(а):

фраза «утверждение $A$ ложно» является синонимом $\neg A$, ...

AGu в сообщении #299747 писал(а):

«$A$ ложно», «не $A$» и «$\neg A$» в рассматриваемом контексте — синонимы. Это чистый синтаксис.

Вы, уважаемый AGu, так и не сделали заключение, согласны Вы с этой таблицей истинности,

$$\begin{array}{ccc}A & \neg A \\ & \\ True & False \\False & True \end{array}$$

или нет.

Давайте я за Вас предположу, что, допустим, согласны. Вам понадобится только четыре раза перевести и остановить взгляд от текста в эту таблицу, как Вы получите следствие. Ваш текст: «утверждение $A$ ложно» является синонимом $\neg A$.»

По утверждению «$A$ ложно» Вы находите в столбце $A$ строку False. Затем находите пересечение столбца «$\neg A$» с этой строкой и читаете: True. И получаете по своему утверждению: False синоним True.

Абсурд.

[Xaositect]

утверждение "$A$ ложно" является синонимом "$\neg A$":
Если $A$ есть False - то "False ложно" есть "True"
Если $A$ есть True - то "True ложно" есть "False"

[errnough]

Xaositect,


(1) в Вашем источнике (поправьте у себя ссылку, это страница 103) я нашел нашу обсуждаемую запись:

Xaositect в сообщении #299711 писал(а):

формула $\neg A \to (A\to B)$ является теоремой пропозициональной логики

вот она:



но не нашел такой теоремы. В произведении Principia mathematica, by Alfred North Whitehead and Bertrand Russell [1], то, что Вы называете теоремой, названо proposition. Значение этого слова в логике:

* (logic) a statement that affirms or denies something and is either true or false
wordnetweb.princeton.edu

Надеюсь, Вы, заметили огромную разницу с понятием "теорема", которая суть высказывание, истинность которого доказана (выведена) из принятых за истинные аксиомы или из прежде уже доказанных теорем.

Я не поленился и поискал русские переводы Bertrand Russell. Перевода книги [1] я не нашел, но в популярном изложении этой книги, в переводах, как я и ожидал, стоит термин-калька "пропозиция" (или "утверждение", по-русски), но не теорема. (Отсюда калька "пропозициональная логика").

Однако самое интересное, что:

(2) «пропозиция *2-21» находится в разделе «1. PRIMITIVE IDEAS AND PROPOSITIONS.» Что это за раздел, объясняется на первой странице, Вам будет интересно почитать [перевод мой]:

(page 1) INTRODUCTION.
THE mathematical logic which occupies Part I of the present work has been constructed under the guidance of three different purposes. In the first place, it aims at effecting the greatest possible analysis of the ideas with which it deals and of the processes by which it conducts demonstrations, and at diminishing to the utmost the number of the undefined ideas and undemonstrated propositions (called respectively primitive ideas and primitive propositions) from which it starts. In the second place, it is framed with a view to the perfectly precise expression, in its symbols, of mathematical propositions: to secure such expression, and to secure it in the simplest and most convenient notation possible, is the chief motive in the choice of topics. In the third place, the system is specially framed to solve the paradoxes which, in recent years, have troubled students of symbolic logic and the theory of aggregates; it is believed that the theory of types, as set forth in what follows, leads both to the avoidance of contradictions, and to the detection of the precise fallacy which has given rise to them.


Математическая логика, которая представлена в части I настоящей работы была построена для достижения трех разных целей.
Во-первых, она направлена на осуществление с максимальной тщательностью анализа идей, которыми она занимается, а также процессов, с помощью которых в ней проводятся доказательства, и на уменьшение числа неопределяемых(undefined) идей и недоказанных утверждений(propositions) (называемых соответственно примитивные идеи и примитивные утверждения), с которых она начинается.
Во-вторых, она оформлена с целью совершенно точно передавать выражение, через ее символы, для математических предложений: гарантировать надежность (secure) такому выражению, и закрепить его в наиболее простой и удобный способ записи, и это является главным мотивом выбора темы. В-третьих, система специально оформлена для разрешения парадоксов, который в последние годы, смущают изучающих символическую логику и теории совокупностей(aggregates); считается, что теория типов, как указано это в дальнейшем, приводит как к избеганию противоречий, так и к обнаружению точного места ошибок, которые приводят к ним.

Таким образом, Вы, Xaositect,

1. указали источник, где нет такой теоремы.
2. в этом источнике данное высказывание явно обозначено как неопределяемое или недоказанное.
3. на мой взгляд, Вы не представили доказательства этой теоремы.

На основании этого я не боюсь показаться быть назойливым с первым предложением, (а):
а) дать теорему полностью (то есть с условием, и доказательством истинности заключения);
или
б) признать обсуждаемую запись не теоремой, т.е. недоказанным предложением;
или
в) признать ложность записи.

-- Вс мар 21, 2010 17:24:04 --

Поскольку математика это дедуктивная наука, в основе которой лежат аксиомы и теоремы со статусом "истинные", то произведение Principia mathematica, by Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, где в основе развиваемой теории лежат "пропозиции" со статусом "любые", не может быть отнесено к математике. Заключение это есть простое логическое заключение, ничего личного против авторов я не имею.

Мое личное мнение: с этого момента начался обратный отсчет для момента, когда это произведение окажется в архиве умерших теорий. Это мое очень политкорректное мнение.

[AGu]

errnough в сообщении #300398 писал(а):

то, что Вы называете теоремой, названо proposition. Значение этого слова [...]

Право же, какие скучные лингвистические игры Вы нам навязываете, errnough. Занимаясь поиском значения слова «proposition», Вы игнорировали следующее:

wordnetweb.princeton.edu писал(а):

proposition (an offer for a private bargain (especially a request for sexual favors))

Напрасно. Было бы веселее.

Вы в очередной раз подтверждаете, что находитесь вне контекста. Слово «теорема» было произнесено в контексте математическом, формально логическом. «Теорема» — это математический термин. У него есть четкое определение. В данном контексте «теорема» — это формула, выводимая из аксиом (рассматриваемой теории) с помощью правил вывода (рассматриваемого исчисления). Кстати, понятия формулы, теории, вывода и т.п. — тоже математические термины и у них тоже есть свои определения. Вынужден повториться: Ваши представления о том, что такое теория и теорема, весьма поверхностны.

Попросив ссылку на источник, содержащий вывод обсуждаемой формулы, и получив ее, Вы отказываетесь принять имеющийся там вывод на том основании, что в указанном источнике эта формула не названа словом «теорема». Что это — стеб, наивность или невежество? Я склоняюсь к последнему варианту. (И на сей раз уже без смайла.)

[Xaositect]

errnough
"Теорема" и "Утверждение" в математических текстах обычно отличаются только сложностью доказательства.

errnough в сообщении #300398 писал(а):

Математическая логика, которая представлена в части I настоящей работы была построена для достижения трех разных целей.
Во-первых, она направлена на осуществление с максимальной тщательностью анализа идей, которыми она занимается, а также процессов, с помощью которых в ней проводятся доказательства, и на уменьшение числа неопределяемых(undefined) идей и недоказанных утверждений(propositions) (называемых соответственно примитивные идеи и примитивные утверждения), с которых она начинается. [...]

Аксиома есть утверждение, принимаемое без доказательства, т.е. то самое undemonstrated, primitive proposition.
Неопределенное понятие - это, например, точка или прямая в евклидовой геометрии.

Если мы даем определения и доказываем теоремы, то, идя "вглубь", мы уткнемся в недоказуемые утверждения - аксиомы, которые мы полагаем истинными не потому, что они доказаны, а по другим причинам, и неопределяемые понятия, которые мы просто считаем примитивными.

У Рассела и Уайтхеда аксиомы перечислены в параграфе *1.1 (Primitive propositions), а утверждения из раздела *2 выводятся на основе этих аксиом.

[Xaositect]

Если же Вы действительно хотите увидеть слово "теорема", то можете найти его в книге "Введение в математическую логику" Черча, теорема †123, а точнее, примечание к ней.

[errnough]

Xaositect, извините, невозможно понять...
Уточняющий вопрос:

в терминах Principia mathematica Вы сказали
Аксиома есть утверждение (assertion)
или
Аксиома есть утверждение (proposition)
?

Xaositect в сообщении #300450 писал(а):

Аксиома есть утверждение, принимаемое без доказательства, т.е. то самое undemonstrated, primitive proposition.

[Xaositect]

Аксиома - это proposition.
Более того, это asserted proposition, т.е. утверждается истинным (стр. 96 - assertion-sign, стр. 8 - assertion-sign)

[errnough]

Xaositect в сообщении #300596 писал(а):

Аксиома ... это asserted proposition, т.е. утверждается истинным

Хорошо, это я так... сомнения промелькнули, когда не увидел явного значения "истинно" для аксиомы, мало ли что...

Вот оригинальный текст, и мой перевод, синим выделено мной. Приводится это для рассмотрения того обстоятельства, что в терминах Principia mathematica, то, что утверждается в пропозициях этой логики — всеобще, и все основные утверждения утверждают пропозициональные функции, куда затем может производиться подстановка переменных. Сами пропозиции могут быть такими, что неопределено каково их значение, истина или ложь.

В тексте мне встретилось затруднение в единственном предложении, обозначенное (???). Верно ли, что утверждается в этом предложении об исключении ситуации, когда пропозициональная функция $\phi x$ определена на {True, False}, а неопределенность исключена?

В конце цитат еще один вопрос.

---(page 96) PRIMITIVE IDEAS AND PROPOSITIONS.---
(3) Assertion. Any proposition may be either asserted or merely considered. If I say "Caesar died," I assert the proposition "Caesar died". If I say " Caesar died" is a proposition, I make a different assertion, and "Caesar died" is no longer asserted, but merely considered. Similarly in a hypothetical proposition, e.g. "$\text{if } a = b, \text{then } b = a$", we have two unasserted propositions, namely "a = b" and "b = a", while what is asserted is that the first of these implies the second. In language, we indicate when a proposition is merely considered by "if so-and-so" or "that so-and-so" or merely by inverted commas. In symbols, if p is a proposition, p by itself will stand for the unasserted proposition, while the asserted proposition will be designated by "$\vdash .\, p$"

The sign "├" is called the assertion-sign*: it may be read "it is true that" (although philosophically this is not exactly what it means). The dots after the assertion-sign indicate its range; that is to say, everything following is asserted until we reach either an equal number of dots preceding a sign of implication or the end of the sentence. Thus "$\vdash \: :\, p\, .\supset .\, q$" means " it is true that p implies q" whereas "$\vdash .\, p\, .\supset\:\vdash .\, q$" means "p is true; therefore q is true †." The first of these does not necessarily involve the truth either of p or of q, while the second involves the truth of both.


• (3) Утверждение. Любое высказывание может быть как утверждающим, так и голословным. Если я скажу "Цезарь умер", я утверждаю высказывание "Цезарь умер". Если я скажу «"Цезарь умер" это высказывание», я делаю совершенно другое утверждение, и "Цезарь умер" это уже не утверждение, а только то, что рассматривается. Аналогичным образом в гипотетическом высказывании, например, "$\text{если } a = b, \text{то } b = a$", у нас есть два неутверждающих(unasserted) высказывания, а именно, "a=Ь" и "b=a", а что именно утверждается, так это то, что первое из них влечет(implies) второе. В обычном языке, когда мы хотим указать, что предложение является лишь предметом рассмотрения, то употребляем "если то-то и то-то" или "что то-то и то-то", или же просто заключаем в кавычки. В символьной записи, если р суть высказывание, то р само по себе неутверждающее(unasserted) высказывание, в то время как утверждающее предложение будет обозначено "$\vdash .\, p$"
  
  Знак "├" обозначает утверждение *: это может быть прочитано следующим образом: "истинно, что" (хотя философски это и не совсем точно). Точки после знака "├" указывают его диапазон, то есть, все последующее утверждается, пока мы не достигнем или равное количество точек, или конца предложения. Таким образом, "$\vdash \: :\, p\, .\supset .\, q$" означает "истинно, что из p следует q" а "$\vdash .\, p\, .\supset\:\vdash .\, q$" означает "p истинно, поэтому q истинно †". Первое из высказываний не обязательно заключает в себе истину относительно p или q, а вторая заключает в себе истинность обоих.

(4) Assertion of a propositional function. Besides the assertion of definite propositions, we need what we shall call "assertion of a propositional function." The general notion of asserting any propositional function is not used until *9, but we use at once the notion of asserting various special elementary propositional functions. Let $\phi x$ be a propositional function whose argument is $x$; then we may assert $\phi x$ without assigning a value to $x$.


• Утверждение о пропозициональных функциях. Кроме утверждений(assertion) определенных положений, нам нужно то, что мы будем называть "утверждение про некоторые пропозициональные функции". Общее понятие об утверждении какой-нибудь пропозициональной функции не используется до *9, но мы сразу используем понятие об утверждении различных специальных элементарных пропозициональных функций. Пусть $\phi x$ пропозициональные функции, чей аргумент есть $x$; то мы можем утверждать(assert) $\phi x$, без присвоения значения переменной $x$.

---(page 97) PRIMITIVE IDEAS AND PROPOSITIONS.---
This is done, for example, when the law of identity is asserted in the form "$\text {A is A}$". Here A is left undetermined, because, however A may be determined, the result will be true. Thus when we assert $\phi x$, leaving $x$ undetermined, we are asserting an ambiguous value of our function. This is only legitimate if, however the ambiguity may be determined, the result will be true. Thus take, as an illustration, the primitive proposition *1·2 below, namely

$$\vdash \: :\, p \vee p\, .\supset .\, p$$

i.e. "«$p$ or $p$» implies $p$". Here $p$ may be any elementary proposition: by leaving $p$ undetermined, we obtain an assertion which can be applied to any particular elementary proposition. Such assertions are like the particular enunciations in Euclid: when it is said " let ABC be an isosceles triangle; then the angles at the base will be equal," what is said applies to any isosceles triangle; it is stated concerning one triangle, but not concerning a definite one. All the assertions in the present work, with a very few exceptions, assert propositional functions, not definite propositions.


• Это происходит, например, когда правило идентичности утверждается в форме "A суть A". Здесь A слева остается неопределенной, потому что, хотя A и может быть определено, результат будет истинным. Таким образом, когда мы утверждаем о $ \phi x$, оставив $x$ неопределенным, мы утверждаем при неоднозначном значении нашей функции. Только если неопределенность может быть определена, тогда это законно, и результат будет истинным. (???) Возьмем, в качестве иллюстрации, примитивное предложение ниже, * 1·2 , а именно:
  
  $$\vdash \: :\, p \vee p\, .\supset .\, p$$
  
  то есть "«$p$ или $p$» влечет $p$". Здесь $p$ может быть любое элементарное предложение: оставляя неопределенным $p$, мы получим утверждение, которое может быть применено к любой конкретной элементарной пропозиции. Такие утверждения, подобны отдельным декларациям у Евклида: когда он сказал "пусть будет ABC равнобедренный треугольник, а затем углы при основании будут равны," то, суть того, что он говорит, относится к любому равнобедренному треугольнику; он заявил в отношении одного треугольника, но не рассматривал как относящееся к конкретному одному. Все утверждения в данной работе, с очень немногими исключениями, утверждают(assert) пропозициональные функции, а не определенные пропозиции.

As a matter of fact, no constant elementary proposition will occur in the present work, or can occur in any work which employs only logical ideas. The ideas and propositions of logic are all general: an assertion (for example) which is true of Socrates but not of Plato, will not belong to logic*, and if an assertion which is true of both is to occur in logic, it must not be made concerning either, but concerning a variable $x$. In order to obtain, in logic, a definite proposition instead of a propositional function, it is necessary to take some propositional function and assert that it is true always or sometimes, i.e. with all possible values of the variable or with some possible value. Thus, giving the name "individual" to whatever there is that is neither a proposition nor a function, the proposition " every individual is identical with itself" or the proposition "there are individuals" will be a proposition belonging to logic. But these propositions are not elementary.


• В самом деле, ни одного конкретного элементарного предложения не появится в настоящей работе, и не может появится в любой работе, в которой используются только логические идеи. Все идеи и пропозиции в логике всеобщие: утверждение (например), которое относится к Сократу, но не к Платону, уже не относится к логике*, и, если некоторое утверждение, которое суть истинно для обоих, относится к логике, оно не должно считаться касающимся их обоих, а только относящимся к некоторой переменной $x$. Для того чтобы получить в логике некоторое определяющее предложение вместо пропозициональных функций, необходимо вначале принять некоторые пропозициональные функции и утверждать, что это истинно всегда или иногда, т.е. со всеми возможными значениями переменной или возможными значениями функции. Таким образом, давая имя "индивидуального" во что там что ни предложение, ни функции, положение "каждый человек имеет идентичные с самим собой", или предложение "Есть лица" будет предложение, принадлежащих к логике. Но эти предложения не являются основополагающими.

***
1. согласны ли с тем, что в Principia mathematica утверждается:
а) за пропозициями p,q,r,s..., которые используются в логике, не стоит конкретное высказывание, а только пропозициональная функция $ \phi x$,
б) пропозициональная функция $ \phi x$ может принимать набор высказываний(пропозиций) из списка {True, False}, но исключается неопределенность.

Если да,

2. Пусть $ \phi x$ имеет переменную x, принимающую одну из двух пропозиций: {"Цезарь умер","Цезарь жив"}, обращающая $ \phi x$ либо в True, либо в False.
утверждение p: «"Цезарь умер" это высказывание».
утверждение q: «"Цезарь жив" это высказывание».

3. Составьте, пожалуйста, отрицание p и q.

[Xaositect]

errnough в сообщении #300837 писал(а):

а) за пропозициями p,q,r,s..., которые используются в логике, не стоит конкретное высказывание, а только пропозициональная функция ,

Вообще говоря, да (например, "$x$-человек"), но если эта функция есть константа, то это конкретное высказывание.
Пропозициональная функция принимает одно из значений True или False в зависимости от значений своих параметров. Например, если $\phi x$ - это "$x$-человек", то $\phi(\text{Цезарь})$ есть True, $\phi(\text{Юпитер})$ есть False. В более современной литературе это называется предикатами.

errnough в сообщении #300837 писал(а):

2. Пусть имеет переменную x, принимающую одну из двух пропозиций: {"Цезарь умер","Цезарь жив"}, обращающая либо в True, либо в False.
утверждение p: «"Цезарь умер" это высказывание».
утверждение q: «"Цезарь жив" это высказывание».

3. Составьте, пожалуйста, отрицание p и q.

отрицание p: «"Цезарь умер" - это не высказывание»
отрицание q: «"Цезарь жив" - это не высказывание»

-- Пн мар 22, 2010 15:29:55 --

errnough в сообщении #300837 писал(а):

This is done, for example, when the law of identity is asserted in the form "$A is A$". Here A is left undetermined, because, however A may be determined, the result will be true. Thus when we assert $\phi x$, leaving $x$ undetermined, we are asserting an ambiguous value of our function. This is only legitimate if, however the ambiguity may be determined, the result will be true.[...]

Это происходит, например, когда правило идентичности утверждается в форме "A суть A". Здесь A слева остается неопределенной, потому что, хотя A и может быть определено, результат будет истинным. Таким образом, когда мы утверждаем о $\phi x$, оставив $x$ неопределенным, мы утверждаем при неоднозначном значении нашей функции. Только если неопределенность может быть определена, тогда это законно, и результат будет истинным. (???) [...]

Это происходит, например, когда правило идентичности утверждается в форме "A суть A". Здесь A остается неопределенным, потому что, как бы A ни было определено, результат будет истинным. Таким образом, когда мы утверждаем $\phi x$ , оставив $x$ неопределенным, мы утверждаем неясное значение нашей функции. Это разрешено только в случае, если [как бы мы ни определили неопределенность], результат будет истинным.

Последнее предложение никак не могу нормально по-русски написать. То, что в квадратных скобках - почти дословный перевод, но криво звучит.

however - (нареч.) какой бы ни, как бы ни.

[Maslov]

(Оффтоп)

errnough в сообщении #300837 писал(а):

This is done, for example, when the law of identity is asserted in the form "$\text {A is A}$".
...
* Это происходит, например, когда правило идентичности утверждается в форме "A суть A".

"Суть" -- это множественное число настоящего времени от "быть", поэтому корректнее "А есть А".

[errnough]

Xaositect в сообщении #300848 писал(а):

Пропозициональная функция принимает одно из значений True или False в зависимости от значений своих параметров.

Сформулировано однозначно. Неопределенность в пропозициональной функции недопустима. Я согласен, фиксируем.

--------------------------------

«This is only legitimate if, however the ambiguity may be determined, the result will be true.»


• Только если неопределенность может быть определена, тогда это законно, и результат будет истинным. (???)
  
• Это разрешено только в случае, если [как бы мы ни определили неопределенность], результат будет истинным.

Ничего не понятно. Судя по контексту, и по тому, что зафиксировали, должен быть следующий смысл:

• Это законно только тогда, когда неопределенность разрешима (неопределенность недопустима), тогда и результат будет "истина".

Синим — это ключевой момент. Неясность эта продолжается и далее по тексту. Если этот смысл отвергается, то противоречие с тем, что зафиксировано.

Второй момент. Совсем непонятно, почему при разрешении неопределенности результат суть истина, хотя мы зафиксировали, что пропозициональная функция суть либо истина, либо ложь. Снова конфликт с зафиксированным.

Этот вопрос надо решить. Решение принимаете Вы.

Xaositect в сообщении #300848 писал(а):

отрицание p: «"Цезарь умер" - это не высказывание»
отрицание q: «"Цезарь жив" - это не высказывание»

При отрицании значения функции Вы не меняли аргумент функции, что вполне логично. Тогда,
утверждение p: «"Цезарь умер" это высказывание истинное».
утверждение q: «"Цезарь жив" это высказывание ложное».
отрицается аналогично,
~p: «"Цезарь умер" это высказывание ложное»
~q: «"Цезарь жив" это высказывание истинное».

Вы согласны?

[Xaositect]

errnough в сообщении #300866 писал(а):

Синим — это ключевой момент. Неясность эта продолжается и далее по тексту. Если этот смысл отвергается, то противоречие с тем, что зафиксировано.

Второй момент. Совсем непонятно, почему при разрешении неопределенности результат суть истина, хотя мы зафиксировали, что пропозициональная функция суть либо истина, либо ложь. Снова конфликт с зафиксированным.

Этот вопрос надо решить. Решение принимаете Вы.

Смысл там в том, что мы можем утверждать(assert) пропозициональную функцию только если при любых значениях параметров ее значение истинно. Для примера приводится "$A\ \textrm{is}\ A$" - эта пропозициональная функция принимает значение True при любом значении $A$, значит, если мы ее утверждаем, мы не делаем ошибки.

-- Пн мар 22, 2010 16:17:15 --

errnough в сообщении #300866 писал(а):

При отрицании значения функции Вы не меняли аргумент функции, что вполне логично. Тогда,
утверждение p: «"Цезарь умер" это высказывание истинное».
утверждение q: «"Цезарь жив" это высказывание ложное».
отрицается аналогично,
~p: «"Цезарь умер" это высказывание ложное»
~q: «"Цезарь жив" это высказывание истинное».

Вы согласны?

Да.

[errnough]

errnough в сообщении #300866 писал(а):

утверждение p: «"Цезарь умер" это высказывание истинное».
утверждение q: «"Цезарь жив" это высказывание ложное».

~p: «"Цезарь умер" это высказывание ложное»
~q: «"Цезарь жив" это высказывание истинное».

Вы согласны?

Xaositect в сообщении #300869 писал(а):

Да.

Составим таблицу истинности только для p:

$$\begin{array}{ccc} p & \neg p \\ & \\ \text{''Caesar died'', True} & \text{''Caesar died'', False} \\ \text{''Caesar died'', False} & \text{''Caesar died'', True} \end{array}$$

Учитывая Ваше утверждение:

Xaositect в сообщении #299877 писал(а):

утверждение "$A$ ложно" является синонимом "$\neg A$":

$\text{''Caesar died'', False}$ синоним(?эквивалентно?) $\text{''Caesar died'', True}$

Противоречие.

[Xaositect]

Стоп.
Составляем табличку.
$\begin{array}{ccc} p & p\ \text{is}\ \textbf{False} & \neg p\\ \text{Caesar died} & \text{,,Caesar died'' is}\ \textbf{False} & \text{Caesar is alive}\\ \text{Caesar is alive} & \text{,,Caesar is alive'' is}\ \textbf{False} & \text{Caesar died} \end{array}$
Второй и третий столбцы имеют одинаковое истинностное значение.Теперь без Цезаря:
$\begin{array}{ccc} p & p\ \text{is}\ \textbf{False} & \neg p\\ \mathbf{False} & (\textbf{False}\ \text{is}\ \textbf{False})\equiv \textbf{True} & \textbf{True}\\ \mathbf{True} & (\textbf{True}\ \text{is}\ \textbf{False})\equiv \textbf{False} & \textbf{False} \end{array}$

-- Пн мар 22, 2010 16:53:11 --

Т.е. $(p\ \text{is}\ \textbf{False})\equiv \neg p$