2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 15  След.
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение19.03.2010, 11:50 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
errnough в сообщении #299105 писал(а):
мне не стоило отвечать ewert?
Может и стоило, но уж точно не так, как это было сделано. Я даже не знаю, как квалифицировать Ваш ответ — как профессиональный стеб, искреннюю наивность или воинствующее невежество. :-)

errnough в сообщении #299105 писал(а):
Сначала стоит вопрос — является ли математика языком.
Тут мне больше нечего добавить.

errnough в сообщении #299105 писал(а):
Вопрос этот не праздный потому, что все три примера не получили однозначной трактовки.
Своими откликами я, собственно, и хотел намекнуть на то, что это праздный вопрос. (А насчет «однозначной трактовки» я высказался, говоря о контексте.) Ваши вопросы и высказывания в этой теме мне кажутся наивными и забавными. По степени наивности эти вопросы сравнимы... ну не знаю... (вам, вроде, близка тема программирования?)... с такими: «Является ли программирование игрой? Если является, то есть ли у нее правила и какие они? Если они есть, то как найти выигрышную стратегию?» А высказывания по поводу того, что является теоремой, не менее забавны, чем, скажем, утверждение о том, что текст «if (2+2==5) return 1/0» не является программой, поскольку программа — это то, что исполняется компьютером, но ни компьютер, ни исполнение на нем этого текста не были предъявлены. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение19.03.2010, 13:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
AGu в сообщении #299316 писал(а):
профессиональный стеб


Нет, денег математикой я не зарабатываю, поэтому если и стеб, то не профессиональный. Интерес вообще-то у меня практический. Связан с разбором математических предложений для формализации. Мне показалось, что как-то остро чересчур этот вопрос воспринимается... Математика формализует высказывания физики, химии, экономики, лингвистики..., тогда высказывания математики и подавно формализуемы и вычисляемы, IMHO.

Меня заинтересовало, в чем невежество Вы усмотрели в моих рассуждениях? Если уж сказали А, наверное, стоит говорить и Б. Вы поддерживаете оба тезиса ewert-а, что и "функция задана", и "из ложной посылки следует любая, откуда следует, что заключение будет истинным"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение19.03.2010, 15:00 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
errnough в сообщении #299334 писал(а):
Интерес вообще-то у меня практический. Связан с разбором математических предложений для формализации.
Вот это и называется «маяться фигней». :-) На этот счет я уже высказался: стоит уточнить контекст (определения) — и все уже считай формализовано. Для профессионального математика это детские игрушки. А без определенного опыта такая задачка может и неподъемной оказаться. Вот только решается она иначе — приобретением опыта и повышением профессионализма, а не бессмысленными изобретениями «словаря математики» и уж точно не «введением документации на синтаксис и семантику математики как языка».

errnough в сообщении #299334 писал(а):
высказывания математики и подавно формализуемы
Не возражаю. :-)

errnough в сообщении #299334 писал(а):
Меня заинтересовало, в чем невежество Вы усмотрели в моих рассуждениях? Если уж сказали А, наверное, стоит говорить и Б. Вы поддерживаете оба тезиса ewert-а, что и "функция задана", и "из ложной посылки следует любая, откуда следует, что заключение будет истинным"?
Насчет того, задана там функция или нет, и где именно она задана — все решается контекстом, никаких проблем. Что же касается (опять-таки забавного) спора вокруг ложной посылки, то я, разумеется, на стороне ewert'а. Вот только ту туманную фразу, что Вы ему приписываете, он не произносил. Цитирую:
ewert в сообщении #298978 писал(а):
Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно
В классической логике это действительно теорема. Вот ее формальная запись: $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение19.03.2010, 17:16 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
AGu в сообщении #299356 писал(а):
Вот это и называется «маяться фигней».

Да... попахивает крепким снобизмом :)))

AGu в сообщении #299356 писал(а):
я, разумеется, на стороне ewert'а.
Цитата:
Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно


Выбираем 5-10 заведомо ложных аксиом, скажем, геометрии. Из них следуют исключительно истинные теоремы (даже в доказательстве не нуждаются, ссылаюсь на Вашу теорему). Новые основания геометрии готовы. Гильберт в гробу поворачивается...

Я разочарован. Искренне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение19.03.2010, 18:14 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
errnough в сообщении #299402 писал(а):
AGu в сообщении #299356 писал(а):
Вот это и называется «маяться фигней».
Да... попахивает крепким снобизмом :)))
Верно, попахивает. С другой стороны, (непроцитированный Вами!) смайл я там не просто для красоты поставил. :-)

errnough в сообщении #299402 писал(а):
AGu в сообщении #299356 писал(а):
я, разумеется, на стороне ewert'а.
Цитата:
Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно
Выбираем 5-10 заведомо ложных аксиом, скажем, геометрии. Из них следуют исключительно истинные теоремы (даже в доказательстве не нуждаются, ссылаюсь на Вашу теорему). Новые основания геометрии готовы. Гильберт в гробу поворачивается...

Я разочарован. Искренне.
И совершенно напрасно. Как говорится, почувствуйте разницу:
    (1) Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно.
    (2) Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $B$ истинно.
Сказано (1), а Вы упорно прочитываете сказанное как (2). :-)

Кстати, обосновать справедливость высказывания $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$
можно и по-программистски — с помощью битиков и булевских операций.
Вы наверняка знаете, что $X\Rightarrow Y$ логически эквивалентно $\neg X\lor Y$.
Давайте теперь раскроем символы $\Rightarrow$ в формуле $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$,
всякий раз переходя к логически эквивалентному высказыванию.
Взяв $X=\neg A$ и $Y=(A\Rightarrow B)$, получим $\neg(\neg A)\lor(A\Rightarrow B)$.
Теперь взяв там внутри $X=A$ и $Y=B$, получим $\neg(\neg A)\lor(\neg A\lor B)$.
Как известно, $\neg(\neg A)$ эквивалентно $A$. Получаем $A\lor(\neg A\lor B)$.
Перегруппировав скобочки, приходим к следующему: $(A\lor\neg A)\lor B$.
В справедливости $(A\lor\neg A)$, надеюсь, сомнений нет,
а добавление к истине $\lor B$, истинность не испортит.
Не знаю, как Вас, а меня это вполне убеждает. :-)

Если все же не убеждает, то можете провести эксперимент.
Создайте вот такой жава-скриптовый файл:
Код:
function implies(A,B){ return !A || B }

function F(A,B){
  if( implies(!A,implies(A,B)) )
    return 'Yes'
  else
    return 'No'
}

var A = 0;
var B = 0;

WScript.echo(F(A,B));
И начните задавать там разные комбинации 0 и 1 для A и B.
Возможно, Вы удивитесь, но у Вас всегда будет получаться 'Yes'. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 11:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
уважаемый AGu,

странную неточность Вы допускаете, когда утверждаете, что поддерживаете тезис от ewert, а высказывание приводите, которое сам ewert отказался поддерживать. На вопрос, истинное или любое, последовал ответ ewert: любое. Таким образом, Вы защищаете свой тезис, а не ewert-а.

1) У Вас нет оснований приступать к доказательству. Вы назвали высказывание теоремой. По определению, теорема, это математическое утверждение, выводимое из аксиом, или ранее доказанных на основании аксиом теорем. В теореме выделяют посылку и следствие из нее, заключение. Посылка от заключения отделяется знаком "$\Rightarrow$". Аксиома предполагается истинной. А Вы исходите из заведомо ложной посылки, и следовательно, не из аксиомы. Получили противоречие с определением, откуда следует, что Ваше утверждение:
Цитата:
ewert в сообщении #298978 писал(а):
Если высказывание $A$ ложно, то высказывание $(A\Rightarrow B)$ истинно
AGu в сообщении #299356 писал(а):
В классической логике это действительно теорема. Вот ее формальная запись: $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$.

есть теорема, ложно. Процедура для доказательства не теорем, в математике, IMHO, не определена.

2) (в качестве комментария) Доказательство, по определению — обосновывающее рассуждение; основанием Д. служат аксиомы, или доказанные ранее на основании аксиом теоремы. Таким образом, если допустить возможность приступить к доказательству, оснований для рассуждений(доказательств) опять-таки, нет.
-----

Можно, конечно, по распространенному обычаю, понятие расширить и обобщить. Включить в понятие теоремы, например, положение, что Т. может выводится из аксиом или заведомо ложных утверждений. Тогда всё тип-топ. Казалось бы, можно приступить к доказательству? Ан нет, и там придется расширять и углублять, доводя до абсурда, будто бы и в доказательстве в качестве оснований могут выступать заведомо ложные утверждения. Вот так снова приходим к моему примеру с "новейшей геометрией", основанной только на заведомо ложных утверждениях вместо аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6347
errnough в сообщении #299683 писал(а):
есть теорема, ложно. Процедура для доказательства не теорем, в математике, IMHO, не определена.

И эти люди хотят заниматься "формализацией математических предложений".
Пропозициональная логика (А формула $\neg A \to (A\to B)$ является теоремой пропозициональной логики) разрешима, т.е. существует алгоритм, позволяющий по формуле определить, является ли она теоремой пропозициональной логики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 13:54 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Xaositect в сообщении #299711 писал(а):
И эти люди хотят заниматься "формализацией математических предложений".

Давайте без снобизма обойдемся, для начала.

Xaositect в сообщении #299711 писал(а):
формула $\neg A \to (A\to B)$ является теоремой
.
Доказательство этой теоремы приведите, пожалуйста. Можно и ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 14:07 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):
странную неточность Вы допускаете, когда утверждаете, что поддерживаете тезис от ewert, а высказывание приводите, которое сам ewert отказался поддерживать. На вопрос, истинное или любое, последовал ответ ewert: любое. Таким образом, Вы защищаете свой тезис, а не ewert-а.
Наши с ewert'ом «тезисы» совпадают.
Сформулируем «тезис ewert'а» и начнем последовательно
заменять утверждения на эквивалентные им версии.

    «Тезис ewert'а»:
    (1) из ложного утверждения следует любое.

    Более развернутая запись (1) звучит так:
    для любого утверждения $A$ и любого (sic!) утверждения $B$
    (2) если утверждение $A$ ложно, то из $A$ следует $B$.

    Поскольку фраза «утверждение $A$ ложно» является синонимом $\neg A$,
    утверждение (2) запишется следующим образом:
    (3) если $\neg A$, то из $A$ следует $B$.

    Поскольку фраза «из $A$ следует $B$» является синонимом $A\Rightarrow B$,
    утверждение (3) запишется следующим образом:
    (4) если $\neg A$, то $(A\Rightarrow B)$.

    Поскольку фраза «если $X$, то $Y$» является синонимом $X\Rightarrow Y$,
    утверждение (4) запишется следующим образом:
    (5) $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$.

Таким образом, тезис (1) эквивалентен тезису
о справедливости (5) для любых утверждений $A$ и $B$.
Что и требовалось доказать. :-)

Подозревая, что Вас может смутить переход от (1) к (2),
по сложившейся традиции я попробую пояснить его
аналогичным житейским «программистским» примером.
Каков более развернутый аналог тезиса
«работающий компьютер исполняет любую программу»?
Вне зависимости от того, каков смысл этого тезиса, и справедлив
ли этот тезис, надеюсь, Вы согласитесь, что он означает следующее:
«для любого компьютера $A$ и любой программы $B$
если $A$ работающий, то $A$ исполняет $B$».
Достаточно убедительная аналогия?

По поводу остальных Ваших замечаний я (пока?) ограничусь лишь «диагнозом» :-)
(не из снобизма, а всего лишь из недостатка времени).
Вы путаете импликацию (следствие) и выводимость,
истинность и доказуемость, посылку и аксиому.
Ваши представления о том, что такое теория и теорема, весьма поверхностны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 14:44 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
AGu, Xaositect:

Позвольте уточняющий вопрос. Вы с этой таблицей истинности согласны?
$$\begin{array}{ccc}
 A & \neg A \\
 & \\
 True & False \\
False & True 
\end{array}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 14:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32001
errnough в сообщении #299735 писал(а):
Вы с этой таблицей истинности согласны?

Но раз уж Вы знаете, что такое таблица истинности, то почему бы Вам не написать её для импликации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6347
errnough в сообщении #299719 писал(а):
Доказательство этой теоремы приведите, пожалуйста. Можно и ссылку.
Теорема *2.21 в Principia Mathematica, доступно онлайн на http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/te ... 1.0001.001
:twisted:

-- Сб мар 20, 2010 14:52:51 --

errnough в сообщении #299735 писал(а):
Позвольте уточняющий вопрос. Вы с этой таблицей истинности согласны?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 15:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Xaositect, спасибо за быстрый ответ.

Подожду ответа от AGu, чтобы спросить у него, на каком основании, учитывая эту таблицу, он утверждает:
AGu в сообщении #299722 писал(а):
фраза «утверждение $A$ ложно» является синонимом $\neg A$,


Насчет доказательства... Вы отослали меня к книге, собранной в десятки PDF файлов. Вместо того, чтобы указать, как это принято, страницу. Ценю юмор. Поищу, конечно, когда время найду, но в общем, это невежливо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 15:21 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
errnough в сообщении #299735 писал(а):
Вы с этой таблицей истинности согласны?
Вы пытаетесь выпрыгнуть в иной контекст, семантический. Мы же находимся в синтаксическом (логическом) контексте. В контексте рассматриваемого «тезиса» фраза «утверждение $A$ ложно» является утверждением, а формальными версиями утверждений служат формулы. Поэтому «$A$ ложно», «не $A$» и «$\neg A$» в рассматриваемом контексте — синонимы. Это чистый синтаксис. Что же до семантики утверждений (формул), определяемой таблицами истинности, то она (как уже отметил ewert) тоже может помочь обосновать «тождественную истинность» формулы $\neg A\Rightarrow(A\Rightarrow B)$, из которой (в силу полноты пропозиционального исчисления) будет вытекать тот факт, что эта формула является теоремой (пропозиционального исчисления).

 Профиль  
                  
 
 Re: Есть ли синтаксис в математике?
Сообщение20.03.2010, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6347
errnough в сообщении #299745 писал(а):
Насчет доказательства... Вы отослали меня к книге, собранной в десятки PDF файлов. Вместо того, чтобы указать, как это принято, страницу. Ценю юмор. Поищу, конечно, когда время найду, но в общем, это невежливо.

Я, честно говоря, не знал, в каком виде она доступна, просто скопировал ссылку.
Страница 108, но там доказательство - это просто подстановка, так что предыдущие страницы тоже потребуются.

-- Сб мар 20, 2010 15:53:24 --

Кстати, здесь есть pdf-ки: http://free-books.dontexist.com/search? ... etype=orig

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 213 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group