Правилом Лопиталя негоже увлекаться вдумчивому ученику

[arqady]

ewert в сообщении #300529 писал(а):

arqady в сообщении #300524 писал(а):

В таком случае, по определению terminator-II получаем, что $ln x$ определен при отрицательных $x$.

Увы, не получаем: terminator-II не разрешает.

Согласно равенству Xaositect (это я ему отвечал, а не Вам) terminator-II овский интеграл преспокойно существует при всех действительных $x<0$, а $\ln x$ нет!

[Xaositect]

arqady в сообщении #300524 писал(а):

Xaositect в сообщении #300515 писал(а):

arqady в сообщении #300511 писал(а):

B таком случае и $\ln x$ неопределён при $0<x<1.$

Почему же? $\int\limits_a^b df = - \int\limits_b^a df$

В таком случае, по определению terminator-II получаем, что $ln x$ определен при отрицательных $x$.

Да вроде нет, в нуле же разрыв 2-ого рода, причем даже несобственный интеграл расходится.

[ewert]

Ну он всё-таки сходится в смысле главного значения. И даёт, естественно, логарифм модуля.

-- Вс мар 21, 2010 20:27:56 --

(Оффтоп)

arqady в сообщении #300537 писал(а):

(это я ему отвечал, а не Вам)

это хорошо, но и мне бы ответить тоже было не грех

[arqady]

Xaositect в сообщении #300540 писал(а):

Да вроде нет, в нуле же разрыв 2-ого рода, причем даже несобственный интеграл расходится.

О чём Вы? Что там расходится, например, в $\int_1^2\left(-\frac{1}{x}\left)dx.$

[Xaositect]

ewert в сообщении #300544 писал(а):

Ну он всё-таки сходится в смысле главного значения. И даёт, естественно, логарифм модуля.

Ну, с главным значением я загнул. Исправил.

-- Вс мар 21, 2010 20:30:05 --

arqady в сообщении #300545 писал(а):

Xaositect в сообщении #300540 писал(а):

Да вроде нет, в нуле же разрыв 2-ого рода, причем даже несобственный интеграл расходится.

О чём Вы? Что там расходится, например, в $\int_1^2\left(-\frac{1}{x}\left)dx.$

А как Вы такое получили?
$ln (-2) = \int\limits_1^{-2}\frac{ds}{s} = -\int\limits_{-2}^1\frac{ds}{s}$ - расходится.

[arqady]

Xaositect в сообщении #300546 писал(а):

$ln (-2) = \int\limits_1^{-2}\frac{ds}{s} = -\int\limits_{-2}^1\frac{ds}{s}$ - расходится.

Это не я получил. Это ewert с terminator-II получили.

[Xaositect]

arqady в сообщении #300552 писал(а):

Xaositect в сообщении #300540 писал(а):

Да вроде нет, в нуле же разрыв 2-ого рода, причем даже несобственный интеграл расходится.

Что вдруг? $\int\left(-\frac{1}{x}\right)dx$ расходится?

$\int\limits_0^1 \frac{ds}{s}$ расходится

-- Вс мар 21, 2010 20:38:21 --

arqady в сообщении #300552 писал(а):

Кстати, что значит расходитимость неопределённого интнграла?

А в каком сообщении были неопределенные интегралы?

[arqady]

Xaositect в сообщении #300554 писал(а):

$\int\limits_0^1 \frac{ds}{s}$ расходится

Ну и что? Это здесь совсем ни при чём.

[Xaositect]

arqady в сообщении #300556 писал(а):

Ну и что? Это здесь совсем ни при чём.

Ну это значит, что логарифма нуля по определению terminator-II не существует.
И для отрицательных тоже не будет.

[arqady]

Xaositect в сообщении #300558 писал(а):

arqady в сообщении #300556 писал(а):

Ну и что? Это здесь совсем ни при чём.

Ну это значит, что логарифма нуля по определению terminator-II не существует.
И для отрицательных тоже не будет.

Про ноль я не говорил. Речь всё время шла об $x<0$, где получается, что логарифм существует, поскольку существует интеграл согласно Вашему равенству.

[Xaositect]

arqady в сообщении #300566 писал(а):

Про ноль я не говорил. Речь всё время шла об , где получается, что логарифм существует, поскольку существует интеграл.

Да почему интеграл-то существует?
Это будет интеграл $\int\limits_1^{x}\frac{ds}{s} = \int\limits_{x}^1 (-\frac{1}{s})ds$, при $x<0$ он несобственный и расходится. В смысле главного значения, как заметил ewert, сходится к $\ln|x|$

[arqady]

Xaositect в сообщении #300569 писал(а):

arqady в сообщении #300566 писал(а):

Про ноль я не говорил. Речь всё время шла об , где получается, что логарифм существует, поскольку существует интеграл.

Да почему интеграл-то существует?
Это будет интеграл $\int\limits_1^{x}\frac{ds}{s} = \int\limits_{x}^1 (-\frac{1}{s})ds$, при $x<0$ он несобственный и расходится. В смысле гласного значения, как заметил ewert, сходится к $\ln|x|$

Хорошо. Всё в порядке. Увидел, наконец! Спасибо!
Всё равно, имхо, плохое с методической точки зрения определение. По-моему, Колмогоров что-то такое предлагал когда-то ввести в школе.

[ewert]

arqady в сообщении #300576 писал(а):

Всё равно, имхо, плохое с методической точки зрения определение.

Ну, не такое уж и плохое. Всё зависит от концепции. Если допустить откладывание доказательства дифференцируемости на позднейшее -- то это, возможно, действительно оптимальный вариант (поскольку определённый интеграл возникает раньше всего аналогичного, тут упоминавшегося). Доказать же, что это именно некий логарифм и все прочие прибамбасы -- тьфу, семечки.

А если не откладывать, то (гордо бия себя в грудь) -- мой вариант самый главный шампиньон! (а может и не мой, кто знает -- варианты ведь как кошки, гуляют сами по себе)

[Xaositect]

arqady в сообщении #300576 писал(а):

Всё равно, имхо, плохое с методической точки зрения определение. По-моему, Колмогоров что-то такое предлагал когда-то ввести в школе.

Нам так и вводили в СУНЦ'е. Видимо, наследие Колмогорова

[ewert]

А в школе такое, кстати -- категорически невозможно. В школе просто понятия не имеют, кто такой интеграл. Хотя и делают вид.

Впрочем, там и о вещественных числах тоже не имеют понятия. Но -- пользуются. Вот так же и птички и с показательной функцией там надобно.