Правилом Лопиталя негоже увлекаться вдумчивому ученику

[ewert]

Sasha2 в сообщении #300143 писал(а):

Кстати насчет правила Лопиталя. Да практически все что ситается этим правилом, считается и вручную. Там надо слишком потрудиться, чтобы найти такой пример, который без правила Лопиталя ну никуда.

Пожалуйста: $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$. Без правила Лопиталя ещё можно сосчитать этот предел (прилично поизвращавшись при этом), но вот доказать его существование -- даже уж и не знаю как.

[Sasha2]

Нет ну это не то. И там Вам, уважаемый профессор Снейп, чтобы так лихо оперировать, придется еще много докзать теорем о всяком почленном дифференцировании, да и тем более так сразу и не усматривается (покажи это не очень подготовленному человеку, что Ваш ряд это экспонента да еще и с основанием e). Одним словом нарушается логическая связь. Такие вольности в математике недопустимы.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #300155 писал(а):

Такие вольности в математике недопустимы.

Какие вольности? Где я допустил ошибку, укажите!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #300153 писал(а):

Проще всего определить экспоненту через ряд, а затем уже доказывать свойства.

А определять хотя бы просто действительную степень действительного числа --- морока ещё та

Это правда, но тем не менее все именно так и поступают. Поскольку степень нужна уже здесь и сейчас, а когда ещё до степенных рядов доберёшься, да ещё и докажешь честно возможность их почленного дифференцирования (до чего многие так и не добираются -- просто формулируют соотв. теорему и оставляют её без доказательства)...

-- Вс мар 21, 2010 11:22:25 --

Sasha2 в сообщении #300155 писал(а):

Одним словом нарушается логическая связь.

Никакие логические связи не нарушаются. Просто так не выгодно. Но, в конце концов, и это один из вариантов. Можно в самом начале просто анонсировать дифференцируемость показательной функции (и далее действовать по моему варианту), пообещав вернуться к этому вопросу через полгода. А там, в рядах, в качестве бесплатного приложения получить уже корректность экспоненты. Ведь степенные ряды сами по себе нисколько на показательные функции не опираются.

[terminator-II]

по-моему самый короткий способ введения экспоненты и логарифма это такой:

$$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},$$

а вообще забавный диалог. Обычно после первого обмена репликами бывает понятно, можно человеку что-либо объяснить или нет, этот случай не исключение.

[ewert]

terminator-II в сообщении #300162 писал(а):

по-моему самый короткий способ введения экспоненты и логарифма это такой:

$$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},$$

И вновь -- поздно, слишком поздно...

terminator-II в сообщении #300162 писал(а):

а вообще забавный диалог. Обычно после первого обмена репликами бывает понятно, можно человеку что-либо объяснить или нет, этот случай не исключение.

Кому и что объяснять-то? Sasha2 правило Лопиталя в этом примере не нравится по чисто эстетическим причинам (хотя ему и кажется, что по логическим), а топикстартёр сразу же исчез да так больше и не появлялся.

[terminator-II]

ewert в сообщении #300168 писал(а):

И вновь -- поздно, слишком поздно...

????

ewert в сообщении #300168 писал(а):

Sasha2 правило Лопиталя в этом примере не нравится по чисто эстетическим причинам

не-а, по причине непонимания, того, что определения могут быть разные

[Sasha2]

Ну это вообще наверно действительно вопрос вкуса.
Не берусь судить о корректности.
Но вот по моему просто складу ума для мне вот такой подход не годится.
Я предпочитаю аккуратно (оперевшись на свойства рациональных чисел), аккуратно при помощи сечений построить всю элементарную математику. То есть с их помощью доказать существование и единственность всех степеней, как рациональных, так и вещественных и логарифмов, а заодно и доказать их свойства.
Фактически несколько более расширенное Введение в 1 том Фихтенгольца - это и есть вся элементарная математика фактически с уже доказанной непрерывностью всех элементарных функций.

[ewert]

terminator-II в сообщении #300169 писал(а):

????

А Вы интегралы первокурсникам когда вводите -- 1-го сентября?...

[terminator-II]

Про первый курс тут вроде ничего не говорилось. А потом, можно так: сначала про экспонту и логарифм без обоснований рассказать -- минимум нужный для решения задач. А потом, когда интеграл изучен, в качестве примера применения теории интеграла Римана, дать это определение и из него все получить быстро и акуратно.

[Sasha2]

Это Ваше "без обоснований" сводится всего лишь к механическому примению правил действия со степенями и логарифмами, но не более.

-- Вс мар 21, 2010 12:57:55 --

Одним словом не возникает ощущения органической связности между этими понятиями, а между прочим ОНА ЕСТЬ.

[Padawan]

Можно экспоненту определить как $\exp(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$, $e=\exp(1)$, и доказать, что $\exp(x)=e^x$.

[Sasha2]

Я все же останусь при своем мнении, считая, что никогда нельзя доказывать теорему на основе следствия из этой же теоремы.

[VoloCh]

(Оффтоп)

Ого! за 5-6 часов нафлудили по простому вопросу 2 страницы! Я таких вопросов еще могу набросать...

Конечно, исчерпывающе правильный ответ дал Sasha2. А вот профессор курит в стороне работает над новым определением числа $e$. Конечно, формально можно обойтись другим доказательством производной экспоненты, так, чтобы избежать использование вышеупомянутого предела. Но это крайне нерентабельно! Ставлю профессору ящик коньяка (или мешок любимой им картошки) против 1 бутылки (картофелины), что он такую теорию за разумное время без ошибок не построит (о чем тут уже писали).

Так! Не надо тут "топикстартером" обзывацца... это не я "стартовал", меня "отделили"

[gris]

Получается забавная вещь. В нахождении предела по Лопиталю

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-2010+2009}x=\text{(по Лопиталю)}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-0+0)'}{x'}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}1=e^0=1.$$

уже нет "грубой логической ошибки", ведь я уверен, что этот предел именно в таком виде никогда никем даже не рассматривался.