Является ли внутренней точкой?

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #297649 писал(а):

Достаточно вроде бы непустоты хотя бы одной внутренности.

Так я вроде бы именно это и предлагаю добавить

[ewert]

Codegrammer123 в сообщении #297644 писал(а):

Пример шикарный

Да не такой уж и шикарный. Просто напоминание о том, что тщательнЕе надо быть. А так -- тот способ, наверное, вполне можно реанимировать. Если учесть все оговорки насчёт внутренностей исходных множеств.

[Padawan]

В книжке Х. Шефер Топологические векторные пространства сформулированы такие теоремы (с. 85-86)

Первая теорема отделимости.
Пусть $A$ -- выпуклое подмножество ТВП $E$, такое, что $\mathrm{Int} A\neq\varnothing$, и пусть $B$ -- непустое выпуклое подмножество $E$, не пересекающее внутренности $\mathrm{Int} A$ множества $A$. Тогда существует замкнутая вещественная гиперплоскость $H$, разделяющая $A$ и $B$; Если $A$ и $B$ открыты, то они строго отделимы.

Вторая теорема отделимости.
Пусть $A$, $B$ -- непустые (непересекающиеся) выпуклые подмножества ЛВП (локально выпуклого пространства), такие, что $A$ замкнуто, а $B$ компактно. Тогда существует замкнутая вещественная гиперплоскость в $E$, строго разделяющая $A$ и $B$.

Слова "непересекающиеся" почему-то нет, но оно подразумевается.

[ewert]

ну, ув. диджей (я, кстати, правильно произношу это слово?...) -- в данной-то ситуации всё гораздо проще, всё сводится в конечномерном случае просто по индукции к одномерному (ну максимум двумерному) случаю.

[Padawan]

ewert в сообщении #297669 писал(а):

в данной-то ситуации всё гораздо проще, всё сводится в конечномерном случае просто по индукции к одномерному (ну максимум двумерному) случаю.

Конечно, все просто элементарно

(Оффтоп)

ewert в сообщении #297669 писал(а):

ну, ув. диджей (я, кстати, правильно произношу это слово?...)

неправильно

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #297678 писал(а):

ewert в сообщении #297669 писал(а):

ну, ув. диджей (я, кстати, правильно произношу это слово?...)

неправильно

А как правильно?

[ewert]

(Оффтоп)

(а мне больше нравится почему-то мой вариант произношения)

Да, кстати, насчёт элементарности (что касается исходной задачи) -- не знаю. Мне приходит в голову только вот что. Достаточно рассмотреть случай, когда оба множества пересекаются ровно в одной точке (будем считать, что это лемма), и тогда можно считать, что это -- точка $\vec0$. Если ноль является внутренней точкой для множества $M=S-Q$, то, в частности, для всех достаточно малых $\vec s_1\in S$ найдётся пара $\vec s_2\in S$ и $\vec q\in Q$ такая, что $\vec s_1-\vec 0=-(\vec s_2-\vec q)$, откуда $\dfrac{\vec s_1+\vec s_2}{2}=\dfrac{\vec q+\vec0}{2}$. В силу выпуклости левая часть принадлежит $S$, правая -- $Q$. А в силу единственности точки пересечения обе части равны нулю. Т.е. для любого достаточно малого $\vec s_1\in S$ вектор $(-\vec s_1)$ тоже принадлежит $S$. По симметрии это же утверждение верно и для множества $Q$. Для выпуклых множеств это означает: или ноль является его внутренней точкой, или само множество сосредоточено в подпространстве меньшей размерности (и, следовательно, не имеет внутренних точек). Ч.т.д.

[Padawan]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #297832 писал(а):

Padawan в сообщении #297678 писал(а):

ewert в сообщении #297669 писал(а):

ну, ув. диджей (я, кстати, правильно произношу это слово?...)

неправильно

А как правильно?

джедай — Викисловарь

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

А... джедай, диджей, я просто не понял, о чём речь. Кстати, вроде ники нельзя обсуждать.