Является ли внутренней точкой?

[Codegrammer123]

Есть 2 замкнутых, выпуклых множества S и Q, которые не содержат в пересечении внутренних точек.
М =(s-q, s из S, q из Q}. Доказать, что 0 не является внутренней точкой М. Множества из R^n.

[ewert]

Codegrammer123 в сообщении #297478 писал(а):

Есть 2 замкнутых, выпуклых множества S и Q, которые не содержат в пересечении внутренних точек.М =(s-q, s из S, q из Q}. Доказать, что 0 не является внутренней точкой М. Множества из R^n.

Утверждение в таком виде -- неверно. Прижмите друг к другу два одинаковых резиновых мячика.

[Codegrammer123]

ewert в сообщении #297481 писал(а):

Прижмите друг к другу два одинаковых резиновых мячика.

Прижал. 0 не является внутренней точкой М. Или я чего-то не понимаю. По рисунку у меня не является. Да и здравый смысл подсказывает.

[Профессор Снэйп]

В силу выпуклости $S$ и $Q$ существует гиперплоскость, разделяющая $\mathrm{int}(S)$ (внутренность $S$) и $\mathrm{int}(Q)$. Если сдвинуть её параллельным переносом так, чтобы она проходила через $0$, то все точки $M$ будут находится по одну сторону от полученной гиперплоскости.

[Codegrammer123]

Профессор Снэйп в сообщении #297527 писал(а):

В силу выпуклости и существует гиперплоскость, разделяющая (внутренность ) и . Если сдвинуть её параллельным переносом так, чтобы она проходила через , то все точки будут находится по одну сторону от полученной гиперплоскости.

Мне нужно это доказать, не используя данного утверждения, т.к. ваше утверждение доказывается на основе моей задачи.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #297527 писал(а):

В силу выпуклости $S$ и $Q$ существует гиперплоскость, разделяющая $\mathrm{int}(S)$ (внутренность $S$) и $\mathrm{int}(Q)$.

Да это-то правда (не везёт мне чего-то с задачками Codegrammer123 -- вечно что-то не то ляпну). Только сам факт разделимости я бы тривиальным не назвал (хотя геометрически он и очевиден). А более элементарного способа доказательства в голову чего-то не приходит...

[Профессор Снэйп]

Codegrammer123 в сообщении #297546 писал(а):

т.к. ваше утверждение доказывается на основе моей задачи.

Это утверждение является следствием теоремы о непустоте субдифференциала

Я помню, у нас на третьем курсе семинарист по функану сказал по поводу этой задачи: "Ну да, из пушки по воробьям, но что поделаешь, если нет ничего более простого?"

[Codegrammer123]

Профессор Снэйп в сообщении #297555 писал(а):

Это утверждение является следствием теоремы о непустоте субдифференциала

Дело в том, что наша теория строится немножко по-другому. Хотелось бы чего-нибудь более простого в доказательстве. Ведь утверждение впринципе очевидное. И очевидное оказывается самым сложным ...

[Профессор Снэйп]

Codegrammer123 в сообщении #297572 писал(а):

И очевидное оказывается самым сложным ...

Так тоже часто бывает

Слышал, что доказательство утверждения о том, что замкнутая кривая без самопересечений делит плоскость на две линейно связные области, занимало у Жордана 40 страниц.

[ewert]

Вот! Я же чуял, что тут что-то не так! (пусть и в неправильную сторону чуял). Надо бы в консерватории всё ж-таки что-то подправить.

Контрпример. Берём плоскость. И в качестве одного множества -- отрезок от минус единицы до единицы по вертикальной оси. А в качестве другого -- аналогичный отрезок по горизонтальной.

Оба, естественно, выпуклы. Их пересечение -- точка, т.е. не имеет внутренних точек. А что есть разность этих множеств (или, что эквивалентно, их сумма)?...

--------------------------------------------------------
(Кстати, контрпример возник естественным образом при попытке решить исходную задачу кустарными средствами. После подправки консерватории -- он снимается.)

--------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------
Я не уверен, что это дискредитирует вовсе подобную стратегию доказательства теоремы о разделимости (которая для открытых выпуклых множеств, разумеется, верна). Но смутныя сомнения -- всё же терзають...

[Профессор Снэйп]

Да, вероятно, надо добавить, что $\mathrm{int}(S \cup Q) \neq \varnothing$.

[ewert]

Ну да. Точнее, хотя бы одного из этих множеств. Тогда получится.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #297627 писал(а):

Точнее, хотя бы одного из.

Для выпуклых $S$ и $Q$ вроде

$$ (\mathrm{int}(S) \neq \varnothing \vee \mathrm{int}(Q) \neq \varnothing) \Leftrightarrow \mathrm{int}(S \cup Q) \neq \varnothing $$

[Codegrammer123]

ewert в сообщении #297613 писал(а):

Оба, естественно, выпуклы. Их пересечение -- точка, т.е. не имеет внутренних точек. А что есть разность этих множеств (или, что эквивалентно, их сумма)?...

Огромное спасибо. Я даже и подумать не мог, что утверждение не верно. Пример шикарный

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #297629 писал(а):

Для выпуклых $S$ и $Q$ вроде

$$ (\mathrm{int}(S) \neq \varnothing \vee \mathrm{int}(Q) \neq \varnothing) \Leftrightarrow \mathrm{int}(S \cup Q) \neq \varnothing $$

Нет, конечно (они ж имеют право и вовсе не пересекаться). Но дело не в этом. Достаточно вроде бы непустоты хотя бы одной внутренности. (Хотя я тут в этой ветке уж столько накосячил, что, может -- и тут...)