В примере Ковалевской уравнение теплопроводности, поэтому там ожидать аналитичности по обеим переменным и не стоит. Для линейных равномерно-параболических уравнений (по-моему, с аналитическими коэффициентами) Петровский доказал, что решения будут для каждого
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
аналитическими по
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и бесконечно дифференцируемыми по
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
. Однако, аналитическими по
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
они быть не обязаны, взять хотя бы фундаментальное решение.
Это уравнение
![$$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$ $$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/c/3ac9775263807cfb422c33b13a71e91c82.png)
в окрестности нуля обратно параболическое, однако, если изменить знак времени, оно будет просто параболическим. Нелинейность не должна влиять на аналитичность. Так что все упирается в локальное существование решение в действительном случае: рассматриваем задачу
![$u_t=(1-x)uu_x-(1-x)^2u_{xx}$ $u_t=(1-x)uu_x-(1-x)^2u_{xx}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/6/f96ea3c084e24c6a9d752bfd425a999882.png)
,
![$u[x,0]=1/(1-x)$ $u[x,0]=1/(1-x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/0/430c1e4dfe6b793e94ac826013678bbe82.png)
на
![$[-r,r]$ $[-r,r]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/0/5f0f1f6477c9db22268eb03359b589e582.png)
. Если есть решение, то оно аналитическое по
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и можно заменить
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
на
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
.
По поводу точных решений есть справочники. Вот такое уравение
![$u_t=u_{xx}+u_x u$ $u_t=u_{xx}+u_x u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/5/ee5b68a89bbde327c6e8c7131e6d847482.png)
называется уравнением Бюргерса. Известны замены, сводящие его к уравнению теплопроводности. Может и это как-то упрощается.
Как бы это Вам ээээ объяснить. Спасибо, конечно, что Вы мне напомнили прото, что есть справочники и про то, что читают в урчп на втором курсе. Но вообще-то это немного не по делу.
Теоремы существования, и в частности, резултаты Петровского, формулируются в определенных классах функций, в частности при наличии гран. условий. То, что мы здесь обсуждаем к тем стандартным постановкам отношения не имеет.
Вот например, задача
![$$u_t=(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$ $$u_t=(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/c/b8c382a3aeea864f976aae1a3058a10982.png)
не имеет решений в
![$C([0,T],H_r)$ $C([0,T],H_r)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/e/03e37a717d838b94fe02d23a041f572582.png)
, хотя она и равномерно параболическая при
![$-1/2\le z\le 1/2$ $-1/2\le z\le 1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/b/1ab50fa85cbdf223244d5b3a9ac5f56982.png)
. И результаты Петровского тут ни при чем.
А задача (как Вы говорите обратно параболическая)
![$$u_t=-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$ $$u_t=-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/0/18094600bbe93525630f5c62fd8d5f8082.png)
имеет решения в
![$C([0,T],H_r)$ $C([0,T],H_r)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/e/03e37a717d838b94fe02d23a041f572582.png)
. И эти решения даже и по
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
будут аналитичны в некотором уголке
![$0<|Im\, t|<cRe\, t$ $0<|Im\, t|<cRe\, t$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/4/63436425e86e8fdbd3e35903a39f550082.png)
. Думаю, что доказательство этого утверждения будет полезным для Вас упражнением.
ps
Нелинейность не должна влиять на аналитичность.
В таком случае Вы можете получить миллион долларов. Ибо именно нелинйность мешает решить задачу тысячелетия. (Navier-Stokes eq.)