гипотеза о PDE

[terminator-II]

Давайте не будем дифференцировать. Давайте расматривать решение интегрального уравнения. Это результат не изменит.

[Padawan]

То же самое, почему почленно интегрировать можно?

[terminator-II]

потому, что ряд сходится равномерно

[Padawan]

При фиксированном $z$? Равномерно по $t\in [0,T]$? Это предполагает ограничение на рост коэффициентов $u_k(t)$ вида $\|u_k(t)\|_{[0,T]}\leqslant C_k$.

[terminator-II]

равномерно по обоеим переменным. Вы действительно хотите чтоб я это доказывал здесь?

[Padawan]

Буду признателен. Можно не строго.

-- Пт фев 26, 2010 19:37:54 --

Либо дайте ссылку, где этот пример обсуждается.

[terminator-II]

$\|u(t,\cdot)\|_s=\max_{|z|\le s}|u(t,z)|,\quad s<r$
по определению пространства $C([0,T],H_r)$ будет $\|u(t,\cdot)\|_s\le M_s$ при всех $t\in [0,T]$ .
Следовательно, по известной формуле

$$|u_k(t)|\le \frac{M_s}{s'^k},\quad s'<s$$

при всех $t\in [0,T]$
Таким образом при всех при всех $t\in [0,T]$ и $|z|\le s''<s'$ члены ряда мажорируются геометрической прогрессией.

Padawan в сообщении #292684 писал(а):

Либо дайте ссылку, где этот пример обсуждается.

скорее всего этот пример придумал я

[mihiv]

Вот похожая задача:

$$u_t=(1-z)u^2-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}\frac1{1-z}$$

Решение: $u(t,z)=\dfrac 2{(1+\exp (2t))(1-z)}$

[Padawan]

По-моему есть такая теорема: для любой последовательности чисел $c_n$ существует бесконечно дифференцируемая на всей прямой функция, для которой $c_n$ являются тейлоровскими коэффициентами в некоторой точке. Есть ли такая теорема и как она называется?

[terminator-II]

Padawan в сообщении #292902 писал(а):

По-моему есть такая теорема: для любой последовательности чисел $c_n$ существует бесконечно дифференцируемая на всей прямой функция, для которой $c_n$ являются тейлоровскими коэффициентами в некоторой точке. Есть ли такая теорема и как она называется?

Теорема Бореля. Нарасимхан Анализ на действительных и комплексных многообразиях.

mihiv в сообщении #292888 писал(а):

Вот похожая задача:

$$u_t=(1-z)u^2-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}\frac1{1-z}$$

Решение: $u(t,z)=\dfrac 2{(1+\exp (2t))(1-z)}$

Спасибо, мне это очень приготится. А у Вас точных решений для такого сорта нелинейностей:

$$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$

нет?

[terminator-II]

mihiv в сообщении #292888 писал(а):

Вот похожая задача:

$$u_t=(1-z)u^2-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}\frac1{1-z}$$

Решение: $u(t,z)=\dfrac 2{(1+\exp (2t))(1-z)}$

вообще-то это чепуха кака-то

[Padawan]

Почему чепуха? Уравнению удовлетворяет.

[terminator-II]

Действительно удовлетворяет. Кажется я дифференцировать разучился.

[Gafield]

В примере Ковалевской уравнение теплопроводности, поэтому там ожидать аналитичности по обеим переменным и не стоит. Для линейных равномерно-параболических уравнений (по-моему, с аналитическими коэффициентами) Петровский доказал, что решения будут для каждого $t$ аналитическими по $x$ и бесконечно дифференцируемыми по $t$. Однако, аналитическими по $t$ они быть не обязаны, взять хотя бы фундаментальное решение.
Это уравнение

$$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$

в окрестности нуля обратно параболическое, однако, если изменить знак времени, оно будет просто параболическим. Нелинейность не должна влиять на аналитичность. Так что все упирается в локальное существование решение в действительном случае: рассматриваем задачу $u_t=(1-x)uu_x-(1-x)^2u_{xx}$, $u[x,0]=1/(1-x)$ на $[-r,r]$. Если есть решение, то оно аналитическое по $x$ и можно заменить $x$ на $z$.

По поводу точных решений есть справочники. Вот такое уравение $u_t=u_{xx}+u_x u$ называется уравнением Бюргерса. Известны замены, сводящие его к уравнению теплопроводности. Может и это как-то упрощается.

[terminator-II]

Gafield в сообщении #292975 писал(а):

В примере Ковалевской уравнение теплопроводности, поэтому там ожидать аналитичности по обеим переменным и не стоит. Для линейных равномерно-параболических уравнений (по-моему, с аналитическими коэффициентами) Петровский доказал, что решения будут для каждого $t$ аналитическими по $x$ и бесконечно дифференцируемыми по $t$. Однако, аналитическими по $t$ они быть не обязаны, взять хотя бы фундаментальное решение.
Это уравнение

$$u_t=(1-z)uu_z-(1-z)^2u_{zz}$$

в окрестности нуля обратно параболическое, однако, если изменить знак времени, оно будет просто параболическим. Нелинейность не должна влиять на аналитичность. Так что все упирается в локальное существование решение в действительном случае: рассматриваем задачу $u_t=(1-x)uu_x-(1-x)^2u_{xx}$, $u[x,0]=1/(1-x)$ на $[-r,r]$. Если есть решение, то оно аналитическое по $x$ и можно заменить $x$ на $z$.

По поводу точных решений есть справочники. Вот такое уравение $u_t=u_{xx}+u_x u$ называется уравнением Бюргерса. Известны замены, сводящие его к уравнению теплопроводности. Может и это как-то упрощается.

Как бы это Вам ээээ объяснить. Спасибо, конечно, что Вы мне напомнили прото, что есть справочники и про то, что читают в урчп на втором курсе. Но вообще-то это немного не по делу.

Теоремы существования, и в частности, резултаты Петровского, формулируются в определенных классах функций, в частности при наличии гран. условий. То, что мы здесь обсуждаем к тем стандартным постановкам отношения не имеет.

Вот например, задача

$$u_t=(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

не имеет решений в $C([0,T],H_r)$, хотя она и равномерно параболическая при $-1/2\le z\le 1/2$. И результаты Петровского тут ни при чем.
А задача (как Вы говорите обратно параболическая)

$$u_t=-(1-z)^2u_{zz},\quad u\mid_{t=0}=\frac{1}{1-z}$$

имеет решения в $C([0,T],H_r)$. И эти решения даже и по $t$ будут аналитичны в некотором уголке $0<|Im\, t|<cRe\, t$. Думаю, что доказательство этого утверждения будет полезным для Вас упражнением.

ps

Gafield в сообщении #292975 писал(а):

Нелинейность не должна влиять на аналитичность.

В таком случае Вы можете получить миллион долларов. Ибо именно нелинйность мешает решить задачу тысячелетия. (Navier-Stokes eq.)