Интересная область

[shust]

Стало некоторой традицией в районе Нового года открывать тему, связанную с графическим представлением некоторых интересных по мнению авторов математических объектов, начатую темой С Новым годом! и продолженную в теме Интересная кривая.
Предлагаю участникам представить математически или описать словами залитую голубым область на рисунке, похожую по мнению автора в данном масштабе на слегка деформированный известный питейный прибор. Область неограниченно продолжается вверх и вправо.

Конечно это не столь экзотичная и трудная задача как в предыдущей теме Интересная кривая, но наверняка не все ее сразу разгадают. Тем более... . Ну далее подсказывать, пожалуй, не буду. Дерзайте!

[age]

$\begin{cases} y\geq\dfrac9x\\ y\geq1\\ y\geq x \end{cases} $
примерно так.

[ShMaxG]

age
Не совсем. Я так понимаю $x=1$ и $y=1$ - это асимптоты.

Кажется так: $\[\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} y \geqslant \frac{4} {{x - 1}} + 1 \hfill \\ y \geqslant x \hfill \\ x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} y \leqslant \frac{4} {{x - 1}} + 1 \hfill \\ y \leqslant x \hfill \\ y \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Наверно упростить еще можно немножко. А еще вы, как и я, использовали то, что пересечение имеет место в точке $(3,3)$, что при более точном "вглядывании" не так. Но не составляет труда в общем виде записать.

А еще это явно не область

[shust]

ShMaxG в сообщении #281784 писал(а):

Я так понимаю $x = 1$ и $y = 1$ - это асимптоты.

Это так.

ShMaxG в сообщении #281784 писал(а):

вы, как и я, использовали то, что пересечение имеет место в точке $(3,3)$, что при более точном "вглядывании" не так

Это правильно, особенно часть фразы после запятой.

А, самое главное, автор темы заявляет, что объект, изображение которого представлено на рисунке, интересный. Интересный в том смысле, что объект несет какую-то идею или формулы (формула), которыми он описывается, должны быть, например, красивыми.

На мой взгляд, приближенное описание, представленное участниками age и ShMaxG недостаточное красивое, чтобы объект можно было бы назвать интересным.
Можно провести аналогию с высказыванием известного физика:

Цитата:

Ваша идея безумна. Вопрос лишь в том, достаточно ли она безумна, чтобы быть правильной!

Какие еще имеются предложения?

[ShMaxG]

shust в сообщении #282125 писал(а):

На мой взгляд, приближенное описание, представленное участниками age и ShMaxG недостаточное красивое, чтобы объект можно было бы назвать интересным.

Нуу, знаете ли, красота субъективна

[gris]

Может быть такое упрощение имелось в виду?

$ (y - \dfrac{4}{x - 1} - 1)(y-x) > 0; y> 1$

Сама кривая же не входит в это множество? и ещё - это множество предполагается ограниченным сверху и справа или нет? На чертеже вроде бы показана ограниченность. На комплексной плоскости нельзя рассматривать?

[Виктор Ширшов]

shust в сообщении #281768 писал(а):

Конечно это не столь экзотичная и трудная задача как в предыдущей теме Интересная кривая, но наверняка не все ее сразу разгадают. Тем более... . Ну далее подсказывать, пожалуй, не буду. Дерзайте!

shust. Это ВТФ, разложенная в график.

[shust]

gris в сообщении #282212 писал(а):

Может быть такое упрощение имелось в виду?

$ (y - \dfrac{4}{x - 1} - 1)(y-x) > 0; y> 1$

Это несколько лучше, предложенных ранее другими участниками в том смысле, что она короче и нагляднее, возможно и красивее. Но все они являются некоторыми приближениями искомой формулы, в частности точка пересечения кривой и прямой лишь весьма приближенно можно считать $(3,3)$.
Хотелось бы также обратить внимание, что линии рисунка симметричны относительно прямой $y=x$, т. е. $x$ и $y$ должны входить симметрично в формулы.

gris в сообщении #282212 писал(а):

Сама кривая же не входит в это множество?

Можно рассматривать область без ограничивающих ее линий или с линиями, это непринципиально.

gris в сообщении #282212 писал(а):

и ещё - это множество предполагается ограниченным сверху и справа или нет?

В первом сообщении я уже писал:

shust в сообщении #281768 писал(а):

Область неограниченно продолжается вверх и вправо.

gris в сообщении #282212 писал(а):

На комплексной плоскости нельзя рассматривать?

Это не предполагается.

Виктор Ширшов в сообщении #282214 писал(а):

Это ВТФ, разложенная в график.

Сомнительно.

[shust]

ShMaxG в сообщении #282135 писал(а):

Нуу, знаете ли, красота субъективна

Целиком и полностью согласен!

gris в сообщении #282212 писал(а):

Может быть такое упрощение имелось в виду?

$ (y - \dfrac{4}{x - 1} - 1)(y-x) > 0; y> 1$

Описание области, предложенное gris можно записать в более симметричном (и, может быть, в более красивом?) виде:

$((y-1)(x-1) - (a-1)^2)(y-x)>0; x>1;y>1$,

где точка $(a,a)$ обозначает пересечение прямой и кривой, ограничивающие область.

Но
1. Как уже заметил ShMaxG значение $a$ не равно $3$.
2. Если померить координаты кривой, то выяснится, что кривая на рисунке - это не гипербола! , в предположении чего выписаны предложенные ранее участниками формулы.

Поэтому залитая область описывается другой формулой.
Какой? Подумайте немного еще. Особенно это относится к ShMaxG.

[shust]

Даю пару небольших подсказок.
1.

shust в сообщении #283280 писал(а):

1. Как уже заметил ShMaxG значение $a$ не равно $3$.

А чему оно тогда равно? Не случайному же числу в районе $3$-x.

2. При некоторой внимательности можно установить, что точка $(2,4)$ и, соответственно, точка $(4,2)$ лежат на кривой, похожей на гиперболу.

[ShMaxG]

С точностью до 0,1 могу сказать, что $a=e$.

[Cave]

$x^y>y^x$.

[Sashamandra]

$y^x<x^y;1<y$

[shust]

ShMaxG в сообщении #283869 писал(а):

С точностью до 0,1 могу сказать, что $a=e$.

Да, это так.

Cave в сообщении #283879 писал(а):

$x^y>y^x$.

Действительно, залитая область описывается формулой
$y^x<x^y
при $1<x$ и $1<y$,
которая существенно короче предложенных ранее участниками.
Похоже, подсказки (какая именно?) существенно ускорили мыслительный процесс по подбору математического описания объекта.

По поводу красоты. Если под красотой понимать длину математического описания, то формула
$y^x<x^y$,
содержащая всего 5 символов, на мой взгляд вполне претендует на то, что она является красивым описанием довольно сложной области.

По поводу интересного объекта напишу, пожалуй, следующий раз, а то уже поздно.
В связи с этим предлагаю посмотреть тему, Некоммутативность возведения в степень, имеющую прямое отношение к данной.

P.S. У кого есть возможность, желание и опыт работы с математическими пакетами может построить область, описываетой этой формулой при $x<1$ и $y<1$ и показать на форуме.

[Sashamandra]

shust в сообщении #284322 писал(а):

Действительно, залитая область описывается формулой
$y^x<x^y
при $1<x$ и $1<y$

Достаточно потребовать $1<y$