Некоммутативность возведения в степень

[shust]

Эта тема навеена вопросом

Профессор Снэйп в сообщении #209855 писал(а):

как без калькулятора выяснить, что больше: $e^\pi$ или $\pi^e$?

Известно, что сложение и умножение коммутативно, т.е. для любых вещественных чисел $x$ и $y$
имеет место $x+y=y+x$ и $x*y=y*x$ и, естественно, не зависит от отношения чисел $x$ и $y$.
Для степеней это не так. В общем случае $x^y \not = y^x$, например $5^2<2^5$.

Здесь интересны, на мой взгляд, два момента.

1. Почему действие возведение в степень некоммутативно?

2. Связь возведения в степень с порядком.
Для начала определение. Назовем упорядоченную пару выражений $x^y, y^x$, соответствующих упорядоченной паре вещественных чисел $y$ и $x$, дружественными степенями.
При определенных условиях отношение дружественных степеней $x^y, y^x$ определяется отношением самих чисел $y$ и $x$.
Более точно и формально эта связь может быть выражена в форме любимой математиками утверждения о существовании.
$\exists c: c<x, c<y$, $x\in \mathbb R$,$y\in \mathbb R$, $c\in \mathbb R$
$x^y?y^x \equiv y?x$
Знак $? $ означает переменное отношение, принимающее значение на множестве $\{<,=,>\}$
Другими словами, для достаточно больших чисел, больших некоторой константы $c$, отношение дружественных степеней эквивалентно отношению их показателей.
Предлагается
1. Доказать или опровергнуть это утверждение.
2. Если утверждение верно, найти нижнюю границу таких констант, обозначив ее как $c_*$.

Доказав это утверждение, вы легко ответите на вопрос, заданный участником Профессор Снэйп.
Ну и практическое приложение этого: для достаточно больших чисел при сравнении их дружественных степеней нет необходимости осуществлять операцию возводения в степень (это может быть весьма трудоемким), достаточно сравнить их показатели.

[ShMaxG]

Сначала насчет того, что больше, $\[e^\pi \]$ или $\[\pi ^e \]$.
Я в свое время разбирался с этим так.
перейдем к функциям $e^x$ и $x^e$. В исследуемой точке между ними отношение такое же, как и у $x$ и $\[e\ln x\]$, и такое же, как между $\[\frac{x}{{\ln x}}\]$ и $e$. Берем производную, находим минимум - он в точке $x=e$. Все, $\[e^\pi > \pi ^e \]$.

Поступим с $\[x^y \vee y^x \]$ аналогично. При $x,y>1$ задача сводится к нахождению отношения $\[\frac{x}{{\ln x}} \vee \frac{y}{{\ln y}}\]$. Левая и правая части достигают минимума в точке $e$. Отсюда прямо следует, что если какое-то из чисел $x,y$ равно $e$, то отношение сразу устанавливается.

Далее, можно учитывать монотонность функции $\[ f\left( x \right) = \frac{x} {{\ln x}} \] $. Ну т.е. при $x,y>e$ и $1<x,y<e$ все понятно:

Если $x>y>e$, то $x^y<y^x$.
Если $1<x<y<e$, то $x^y<y^x$.

А если они находятся по разные стороны $e$ то может быть по всякому.

Далее, если $0<x,y<1$, то из $x>y$ следует $x^y>y^x$.
Если $0<y<1$ и $x>1$ то всегда $x^y>y^x$.

Что касается некоммутативности.

Если бы $\[ x^y = y^x \] $ было выполнено для любых значений $x,y$, то также было бы выполнено $\[ \frac{x} {{\ln x}} = \frac{y} {{\ln y}} \]$ для любых значений $x,y$. Т.е. эта функция бы оказалась константой.
"Кривота" мешает

Ну вот, надеюсь я на все ваши вопросы ответил.

[Mathusic]

shust в сообщении #236910 писал(а):

Эта тема навеена вопросом

Профессор Снэйп в сообщении #209855 писал(а):

как без калькулятора выяснить, что больше: $e^\pi$ или $\pi^e$?

Известно, что сложение и умножение коммутативно, т.е. для любых вещественных чисел $x$ и $y$
имеет место $x+y=y+x$ и $x*y=y*x$ и, естественно, не зависит от отношения чисел $x$ и $y$.
Для степеней это не так. В общем случае $x^y \not = y^x$, например $5^2<2^5$.

Сложение и умножение коммутативно, просто потому, что это обычно постулируется при построении вещественных чисел.

[Phoen1x]

Сложение коммутативно, потому что 2 + 3 яблока будет столько же, сколько и 3 + 2.
А 3 ряда по 7 солдатиков это столько же, что и семь рядов по три, а вовсе не потому, что так пастулируется...

[Hottabych]

Phoen1x в сообщении #236929 писал(а):

Сложение коммутативно, потому что 2 + 3 яблока будет столько же, сколько и 3 + 2.
А 3 ряда по 7 солдатиков это столько же, что и семь рядов по три, а вовсе не потому, что так пастулируется...

Типичный дилетантский подход.
А 347986 рядов по 789652 яблок будет равно 789652 рядов по 347986 яблок? А кто проверял.
На основании рассмотрения некоторых частных случаев равенства для реальных объектов при построении теории именно пОстулируестся (кстати, через букву О) коммутативность умножения действительных чисел, а не доказывается.

[Xaositect]

А при построении действительных чисел через дедекиндовы сечения она доказывается.

[Phoen1x]

to Hottabych
1) Если вы уж так заговорили, то мне достаточно знать что 2+3 яблока это столько же сколько и 3+2, а для даказательства этого факта для больших чисел есть отличная штука под названием метод математической индукции)

2) И по поводу дилетантского подхода я бы не был так категоричен... Я знаю, что многие крупные учёные, и я этому рад, проповедуют "дилетантский подход". И именно поэтому появляются всё новые и новые люди, которые любят математику и занимаются ей, и, что самое важное, хоть чего-то в ней понимают ( я не себя имею в виду, как раз нет ).

3) Крайне не вежливо и не этично в такой форме, как это сделали вы, указывать представителю другого государства с другим языком и культурой на его орфографические ошибки. Я искренне рад, что вы невероятный знаток русского языка и демонстрируете это в самом подходящем для этого месте - в интернете, где всем, по большёму щёту, плевать на грамотность...

P.S. Вот расскажите мне, как вы ребёнку объясните, зачем вы постулируете именно так, а не иначе?

[Vallav]

Правильные бинарные операции:
операция "сильнее" умножения
$a\otimes b=exp(ln(a)*ln(b))$
операция "слабее" сложения
$a\oplus b=ln(exp(a)+exp(b))$
Аксиомы алгебраичского поля выполняются для пар операций
$\oplus ,+;+,*;*,\otimes$
где левая в паре - операция сложения поля, правая -
операция умножения поля.
так:
$(a*b)\otimes c=(a\otimes c)*(b\otimes c)$
$(a\oplus b)+c=(a+c)\oplus (b+c)$
А возведение в степень - не совсем правильная бинарная
операция.

[Mathusic]

Xaositect в сообщении #236980 писал(а):

А при построении действительных чисел через дедекиндовы сечения она доказывается.

Именно поэтому я написал "обычно". Чаще всего в вузах сперва даётся именно такая.

Phoen1x в сообщении #236981 писал(а):

to Hottabych
3) в интернете, где всем, по большёму щёту, плевать на грамотность...

Мне не плевать.

Phoen1x в сообщении #236981 писал(а):

to Hottabych
P.S. Вот расскажите мне, как вы ребёнку объясните, зачем вы постулируете именно так, а не иначе?

Но здесь же не первоклассники собрались?

[Nxx]

Vallav в сообщении #236996 писал(а):

Правильные бинарные операции:
операция "сильнее" умножения
$a\otimes b=exp(ln(a)*ln(b))$
операция "слабее" сложения
$a\oplus b=ln(exp(a)+exp(b))$
Аксиомы алгебраичского поля выполняются для пар операций
$\oplus ,+;+,*;*,\otimes$
где левая в паре - операция сложения поля, правая -
операция умножения поля.
так:
$(a*b)\otimes c=(a\otimes c)*(b\otimes c)$
$(a\oplus b)+c=(a+c)\oplus (b+c)$
А возведение в степень - не совсем правильная бинарная
операция.

Но именно операция возведения в степень общепринята, потому что возведение в степень - это многократное умножение на себя, также как умножение - это многократное сложение с собой. Соответственно, вопрос - почему многократное умножение на себя не коммутативно? Чем в этом плане умножение отличается от сложения?

[Mathusic]

Nxx в сообщении #237011 писал(а):

Но именно операция возведения в степень общепринята, потому что возведение в степень - это многократное умножение на себя, также как умножение - это многократное сложение с собой. Соответственно, вопрос - почему многократное умножение на себя не коммутативно? Чем в этом плане умножение отличается от сложения?

Только для натуральных можно так рассуждать. А как по вашему будет $7^{\pi}$ - это семь, умноженное само на себя пи раз?

[ShMaxG]

Народ, а никто не хочет по-обсуждать что-нибудь по серьезней, например случай, когда $1<x<e, e<y$? Что, так и будем топтаться на смысле мироздания коммутативности сложения и умножения?

[Xaositect]

Mathusic в сообщении #237004 писал(а):

Именно поэтому я написал "обычно". Чаще всего в вузах сперва даётся именно такая.

Определение множества действительных чисел через постулаты (как архимедова упорядоченного поля) плохо тем, что это поле все равно надо строить, а для этого придется все равно использовать либо бесконечные дроби, либо сечения, либо фундаментальные последовательности.

[Mathusic]

ShMaxG в сообщении #237020 писал(а):

Народ, а никто не хочет по-обсуждать что-нибудь по серьезней, например случай, когда $1<x<e, e<y$? Что, так и будем топтаться на смысле мироздания коммутативности сложения и умножения?

В точках симметричных относительно т. максимума $e+t$ и $e-t$, $t \in (0,e-1)$ скорее всего будет $(e-t)^{e+t}>(e+t)^{e-t}$, так как скорость убывания $f(t)=\frac{\operatorname{ln}t}{t}$ от $e$ против оси абсцисс меньше скорости убывания вдоль оси для $t \in (0,e-1)$ (строго не проверял, но скорее всего так; доказывается через неравенство для производных). После этого, для любого $t$ из нужного промежутка будет существовать ещё некоторый "запас прочности" $\mathbb{X}: \\$ $\forall k \in \mathbb{X}, (e-t)^{e+t}>(e+t+k)^{e-t}$. Чтобы его точно находить нужно уметь находить все решения уравнения $f(x)=f(y)$. Вот тут и проблема.

[ShMaxG]

Mathusic
На самом деле, $\[\left( {e + t} \right)^{e - t} > \left( {e - t} \right)^{e + t} \]$ при $\[ t \in \left( {0;e - 1} \right) \] $. Скорость убывания "против оси абсцисс" будет как раз больше.

При $\[y \leqslant 2e - x\]$ все понятно.

$\[ \frac{x} {{\ln x}} = a \] $ Mathematica решает так:

$\[ x = - a\operatorname{ProductLog} \left[ { - \frac{1} {a}} \right] \]$, где $\[ \operatorname{ProductLog} \left[ z \right] \] $ - это решение уравнения $\[ z = we^w \]$ относительно $w$.

Кароче, такие вещи - только численно.