Стандартная модель арифметики и все, все, все

[Xaositect]

Ales в сообщении #280428 писал(а):

Думаю, что математики должны все предусматривать. Контроль за носителем информации необходим, иначе как гарантировать, что на нем записано именно то, что писалось.

Это уже проблемы реального мира.
Мы считаем, что символы и их положение в строке не меняются во время исполнения алгоритма.

-- Чт янв 14, 2010 15:24:06 --

И если Вы хотите сказать, что таких символов не бывает, если алгоритм будет выполняться $10^{100}$ лет, то я отвечу, что идеального газа, свободных электронов и сферических коней в вакууме тоже не бывает.

[Ales]

Xaositect в сообщении #280427 писал(а):

почему таблица умножения эмпирическая

Эмпирическая в том смысле, что например 7*6=42 найдено следующим способом: шесть вязанок по семь прутиков каждая, могут быть перевязаны в четыре вязанки по десять прутиков и еще два прутика останется. Чтобы получить таблицу умножения надо проделать кажется 36 таких операций.

-- Чт янв 14, 2010 15:31:30 --

Xaositect в сообщении #280429 писал(а):

Это уже проблемы реального мира.
Мы считаем, что символы и их положение в строке не меняются во время исполнения алгоритма.

-- Чт янв 14, 2010 15:24:06 --

И если Вы хотите сказать, что таких символов не бывает, если алгоритм будет выполняться лет, то я отвечу, что идеального газа, свободных электронов и сферических коней в вакууме тоже не бывает.

Я думаю важно разобраться как устроена реальная математика и арифметика, которую используют реальные люди в реальном мире.

[Xaositect]

Ales в сообщении #280430 писал(а):

Я думаю важно разобраться как устроена реальная математика и арифметика, которую используют реальные люди в реальном мире.

Реальные люди в реальном мире используют калькуляторы. А палочки, прутики, камешки и пальцы - первичны

[vek88]

Уважаемый Xaositect!

Я бы посоветовал Вам лучше поиграть в шахматы с компьютерной программой. Это будет и полезнее и интереснее для Вас.

А так ... - неужели Вам не жалко своего времени? Вы уверены, что общаетесь с человеком, а не с компьютерной программой, написанной каким-то шутником?

С уважением,
vek88

[Sashamandra]

vek88 в сообщении #280436 писал(а):

Вы уверены, что общаетесь с человеком, а не с компьютерной программой

Не волнуйтесь за своего друга: у меня пропало желание с вами общаться. Может, через пару лет вернусь.

На прощание единственная просьба ко всем присутствующим. Не подскажите литературу, где более или менее подробно излагается логика первого порядка с бесконечным числом констант? Можно на английском.

[Ales]

vek88 в сообщении #280436 писал(а):

Вы уверены, что общаетесь с человеком, а не с компьютерной программой

Кажется это он про меня так написал.

-- Чт янв 14, 2010 16:57:33 --

Sashamandra в сообщении #280440 писал(а):

подскажите литературу, где более или менее подробно излагается логика первого порядка с бесконечным числом констант

Жаль не могу помочь. Могу советовать только вообще это не читать. Обычно очень скучные книги, в которых стараются излагать по возможности непонятно. Наверное, чтобы читатели не догадались, что предмет не стоит потраченного времени.
-- Чт янв 14, 2010 17:03:13 --

Xaositect в сообщении #280427 писал(а):

Достаточно надежно, главное, чтобы можно было скопировать их из "приватной" памяти человека в реальный мир.

Интересная штука память. Люди обычно плохо помнят числа. А виде палочек можно запомнить числа не более 4-5.
Обычно же мы запоминаем слова. Не I I I I I I I I, а "восемь".

[Xaositect]

Ales в сообщении #280454 писал(а):

Интересная штука память. Люди обычно плохо помнят числа. А виде палочек можно запомнить числа не более 4-5.
Обычно же мы запоминаем слова. Не I I I I I I I I, а "восемь".

Так я не говорю, что нужно проводить действия с палочками. Я говорю, что операциит с числами можно перевести в операции с палочками.
Та же десятичная система - это способ представления чисел в алфавите $\{0,1,\dots, 9\}$.

-- Чт янв 14, 2010 17:11:54 --

Sashamandra в сообщении #280440 писал(а):

На прощание единственная просьба ко всем присутствующим. Не подскажите литературу, где более или менее подробно излагается логика первого порядка с бесконечным числом констант? Можно на английском.

Не специалист, не могу посоветовать. У Такеути, кажется, было что-то.

[Ales]

Xaositect в сообщении #280458 писал(а):

Так я не говорю, что нужно проводить действия с палочками

Понятное дело, я с Вами и не спорю. Я просто рассматриваю этот вопрос с другой позиции.

-- Чт янв 14, 2010 17:18:59 --

Вопрос - что такое натуральные числа и обычная арифметика.

[vek88]

Sashamandra в сообщении #280440 писал(а):

vek88 в сообщении #280436 писал(а):

Вы уверены, что общаетесь с человеком, а не с компьютерной программой

Не волнуйтесь за своего друга: у меня пропало желание с вами общаться. Может, через пару лет вернусь.

Я имел в виду не Вас - так что зря обижаетесь.

[AGu]

Извините, прочитать всю ветку нету сил, поэтому, возможно, скажу то, что уже кем-то было здесь сказано.

Для меня (далее «для меня» опускается) арифметика — это множество формул (вполне конкретное).
Модель арифметики — это множество, снабженное операциями (в нужном количестве и нужной арности) и удовлетворяющее аксиомам арифметики (т.е. элементам арифметики как множества формул).
Стандартная модель арифметики — это множество натуральных чисел, снабженное операциями (вполне конкретными).
Множество натуральных чисел — это элемент метамодели ZFC (или другой аналогичной метатеории), являющийся в этой метамодели наименьшим индуктивным множеством (или, что то же самое, множеством всех конечных ординалов), а ZFC — это метатеория (вполне конкретная).
Метамодель ZFC — это метамножество, снабженное бинарным отношением и удовлетворяюще аксиомам метатеории ZFC.
Метатеория ZFC — это метамножество формул (вполне конкретное).
Метамножество — это элемент метаметамодели ZFC.
И т.д. до бессмысленного истощения пера и разума.
Разумеется, так далеко по метаиерархии никто не путешествует.
Полной формализации нет и не предвидится.
Обычно останавливаются уже на первом метауровне, считая метамодель ZFC «данной», «интуитивной» моделью «наивной теории множеств», рассуждая внутри этой модели и, в том числе, развивая в ней теорию моделей, которая, в том числе, может пригодится для формализации более высоких уровней метаиерархии (или, если угодно, для самоуспокоения — мол, если захочется, все формализуем — пусть и не «до конца», но до любого желаемого уровня метаиерархии).

P.S. Ой, увидел, что топикстартер уже устал. Ну не удалять же мне теперь столько старательно вколоченных банальностей.

[vek88]

Уважаемый AGu!

Вы мне все мозги разбили на части. А попроще нельзя?

Вот в заголовке страницы "Дискуссионные темы" сформулирована теорема Ферма: для любого натурального $n>2$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет натуральных решений a, b, c. Можно это записать очевидным образом с помощью кванторов совершенно формально. Это будет пример замкнутой формулы арифметики.

Разумеется, все замкнутые формулы арифметики можно определить эффективно, например, посредством алгоритма.

И, разумеется, любая такая формула обязательно истинна или ложна (хотя это уже алгоритмически неразрешимо).

Так это ли не арифметика? Неужели нужно что-то еще? Или Вы сомневаетесь в полноте и непротиворечивости такой арифметики.

[vek88]

Не мог сразу вспомнить как в Латехе писать неравенство - теперь могу записать аккуратно замкнутую формулу, выражающую ВТФ (все переменные определены на $N$):

$$\forall(n>2)\forall a \forall b \forall c (a^n+b^n \neq c^n).$$

Надеюсь, это правильно?

[AGu]

vek88 в сообщении #280514 писал(а):

Уважаемый AGu!

Вы мне все мозги разбили на части. А попроще нельзя?

Я просто попытался с упреждением ответить на возможные вопросы. Обычно разговор о том, что такое натуральные числа, углубляется в формализацию и наталкивается на «порочный круг»: понятие натурального числа вводится в метатеории, основные конструкции которой, в свою очередь, так или иначе опираются на понятие натурального числа и т.д. Видать, перестарался. Извините.

vek88 в сообщении #280514 писал(а):

Вот в заголовке страницы "Дискуссионные темы" сформулирована теорема Ферма: для любого натурального $n>2$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет натуральных решений a, b, c. Можно это записать очевидным образом с помощью кванторов совершенно формально. Это будет пример замкнутой формулы арифметики.

Разумеется, все замкнутые формулы арифметики можно определить эффективно, например, посредством алгоритма.

И, разумеется, любая такая формула обязательно истинна или ложна (хотя это уже алгоритмически неразрешимо).

Тут я все понял и со всем согласен. А дальше — туман.

vek88 в сообщении #280514 писал(а):

Так это ли не арифметика?

Что «это»? И что в данном случае понимается под словом «арифметика»? Если наука, то да, это все относится, в том числе, к арифметике (а еще к теории моделей и вычислимости). Если же здесь «арифметика» — математический термин, то нет, так как во фразе «это ли не арифметика» я не вижу математического утверждения. В математическом смысле арифметика — это либо теория (одна из конкретных), либо модель (тоже одна из конкретных).

vek88 в сообщении #280514 писал(а):

Неужели нужно что-то еще?

Нужно для чего?

vek88 в сообщении #280514 писал(а):

Или Вы сомневаетесь в полноте и непротиворечивости такой арифметики.

Не сомневаюсь. Это легко доказуемо (в метатеории). Почему Вам показалось, что я в этом сомневаюсь?

P.S. Возможно, мое недопонимание вызвано тем, что я не прочитал всю ветку. (Тут, кажется, была какая-то полемика, но я ее пропустил.)

[vek88]

AGu в сообщении #280675 писал(а):

vek88 в сообщении #280514 писал(а):Так это ли не арифметика?

Что «это»? И что в данном случае понимается под словом «арифметика»? Если наука, то да, это все относится, в том числе, к арифметике (а еще к теории моделей и вычислимости). Если же здесь «арифметика» — математический термин, то нет, так как во фразе «это ли не арифметика» я не вижу математического утверждения. В математическом смысле арифметика — это либо теория (одна из конкретных), либо модель (тоже одна из конкретных).

С Вами приятно беседовать, т.к. мы очень быстро находим общее в наших взглядах. Надеюсь, нам удастся продвинуться дальше на этом пути.

В данном случае, как я понял, Вы хотели бы увидеть теорию, т.е. представление "моей арифметики" в виде формальной системы. Тогда у меня к Вам вопрос: Вы меня ограничиваете финитными формальными системами, или я могу предъявить Вам нефинитную формализацию "моей арифметики".

[AGu]

vek88 в сообщении #280709 писал(а):

В данном случае, как я понял, Вы хотели бы увидеть теорию, т.е. представление "моей арифметики" в виде формальной системы.

Я не предполагал, что у Вас есть какая-то «своя» арифметика. Бегло просмотрев посты этой темы и увидев слова «полная и непротиворечивая», я заключил, что в данном случае под арифметикой понимается множество всех предложений (замкнутых формул), истинных в стандартной модели арифметики, т.е. во множестве натуральных чисел со стандартными операциями. А как именно определяются это множество и эти операции — дело вкуса (лишь бы эта модель оказалась изоморфной тому, что считается классикой, — взаимопонимания ради). Если я не ошибся, то у нас нет никаких разногласий. Собственно говоря, я полагал, что у нас их и не было. Я всего лишь отметился в теме в ответ на просьбу топикстартера. (И по-видимому, не шибко адекватно отметился.)