Стандартная модель арифметики и все, все, все

[Sashamandra]

Я сам не математик, а физик, поэтому лишен удовольствия от общения с рафинированными математиками. Мой вопрос не из области философии математики и не по поводу оснований математики. Мне хотелось бы узнать интуицию математиков, когда они употребляют выражение «стандартная модель арифметики». Что это такое для вас? Метафора, акт веры, школьное бессознательное или что-то иное. Поделитесь, пожалуйста.

[tori]

Ну знаете ли, у физиков не меньше недостатков.
Вопрос не совсем ясен. Есть определение понятия стандартная модель. Как человек, знающий это определение , могу вам сказать что оно(название "стандартная модель арифметики ") очень логично. Ведь мы привыкли понимать под арифметикой, натуральные числа и операцию $+$ - как суть плюс, а операцию $ *$ - как суть умножение.

[Sashamandra]

tori в сообщении #279809 писал(а):

Есть определение понятия стандартная модель.

Это было бы лучше всего. И как она определяется? И почему это определение нельзя формализовать аксиоматически в теорию арифметики?

[Ales]

«стандартная модель арифметики» Думаю, что не все математики знакомы с таким выражением.

[Sashamandra]

Ales в сообщении #279812 писал(а):

«стандартная модель арифметики» Думаю, что не все математики знакомы с таким выражением.

Что вы хотите этим сказать? Мне не совсем ясно.

[Xaositect]

Sashamandra в сообщении #279810 писал(а):

tori в сообщении #279809 писал(а):

Есть определение понятия стандартная модель.

Это было бы лучше всего. И как она определяется? И почему это определение нельзя формализовать аксиоматически в теорию арифметики?

Как $\left<\omega, +, \cdot\right>$
Это определение нельзя формализовать в теории первого порядка. Если разрешить говорить о множествах чисел, то все становится хорошо.

[Sashamandra]

Xaositect в сообщении #279819 писал(а):

Это определение нельзя формализовать в теории первого порядка.

Про теорию второго порядка всякие ужасы рассказывают. Вы ведь о логике говорите?

Xaositect в сообщении #279819 писал(а):

Если разрешить говорить о множествах чисел

Это теория с двумя сортами переменных первого порядка?

[tori]

Xaositect в сообщении #279819 писал(а):

Это определение нельзя формализовать в теории первого порядка. Если разрешить говорить о множествах чисел, то все становится хорошо.

Возможно я вас неправильно понял. Но, по-моему, понятие множества формализуются в логиках первого порядка(например через систему аксиом ZF), а понятие число тоже применять можно это константы или 0-арные ф-и.

[vek88]

Sashamandra в сообщении #279781 писал(а):

Я сам не математик, а физик, поэтому лишен удовольствия от общения с рафинированными математиками. Мой вопрос не из области философии математики и не по поводу оснований математики. Мне хотелось бы узнать интуицию математиков, когда они употребляют выражение «стандартная модель арифметики». Что это такое для вас? Метафора, акт веры, школьное бессознательное или что-то иное. Поделитесь, пожалуйста.

А мы сами не местные, стояли на платформе, упали на пути, поездом карман отрезало, в нем были деньги кредитные карты, подайте кто сколько может. Это очень похоже на следующее.

А мы сами не математики, мы те-, мы -о-, мы -ретики, долбаем арифметики.

Скажите пожалуйста, как это физик не знает математики?

Теперь об арифметике. Есть стандартные аксиоматики стандартной арифметики (аксиомы Пеано и т.д.). И я это все запомнил, но только позабыл. Поэтому скажу проще. Стандартная арифметика рассматривает логические высказывания о натуральных числах (например, Теорему Ферма), построенные с помощью:

- обычно понимаемых операций сложения и умножения;
- обычных логических связок И, ИЛИ;
- обычно понимаемого логического отрицания;
- обычно понимаемых кванторов существования и всеобщности.

И доказывает истинностить или ложность этих высказываний.

В принципе, можно сократить список, например, выкинув ИЛИ и квантор всеобщности (они выражаются стандартным образом через остальное). Если что забыл, дополняйте.

[Xaositect]

Это я про арифметику второго порядка. Ну да, ужасы, ну и что?

Большинство математиков это не будут использовать нигде, кроме подготовки к экзамену по логике.

[Sashamandra]

vek88 в сообщении #279825 писал(а):

Скажите пожалуйста, как это физик не знает математики?

Я не утверждал, что не знаю математики.

vek88 в сообщении #279825 писал(а):

Есть стандартные аксиоматики стандартной арифметики (аксиомы Пеано и т.д.)

Речь идет не о теории, а о модели теории.

-- Вт янв 12, 2010 20:32:49 --

Xaositect в сообщении #279830 писал(а):

Это я про арифметику второго порядка. Ну да, ужасы, ну и что?

Ужасы, но не ужасы-ужасы?
Отлично! Есть первая интуиция стандартной модели арифметики первого порядка. Это то, что определяет арифметика второго порядка.
Есть другие варианты?

[Xaositect]

tori в сообщении #279824 писал(а):

Возможно я вас неправильно понял. Но, по-моему, понятие множества формализуются в логиках первого порядка(например через систему аксиом ZF), а понятие число тоже применять можно это константы или 0-арные ф-и.

Понятие множества формальзуется по-разному.
Я не уверен, но вроде в ZFC можно придумать два множества $x$ и $y$ такие, что $x\in y$ независимо от ZFC, а в теории типов так не бывает. Пусть специалисты меня поправят.

-- Вт янв 12, 2010 19:36:26 --

Sashamandra в сообщении #279833 писал(а):

Отлично! Есть первая интуиция стандартной модели арифметики первого порядка. Это то, что определяет арифметика второго порядка.
Есть другие варианты?

Конструктивизм, числа из палочек. Мне она как-то ближе все-таки.

[tori]

-- Вт янв 12, 2010 19:39:00 --

Sashamandra в сообщении #279833 писал(а):

vek88 в сообщении #279825 писал(а):

Есть стандартные аксиоматики стандартной арифметики (аксиомы Пеано и т.д.)

Речь идет не о теории, а о модели теории.

Вы видимо неправильно поняли. Модель это не какое-то там слово, которое каждый понимает по своему. Это тоже термин из матлогики. Модель - это интерпретация, на которой все собственные аксиомы теории истинны.
П.С. слово интерпитация выше тоже не просто слово, а отдельный термин если надо можно и его чётко определить.

[Sashamandra]

tori в сообщении #279824 писал(а):

по-моему, понятие множества формализуются в логиках первого порядка(например через систему аксиом ZF)

Если теория не имеет единственной модели, то она не смогла формализовать тот предмет, за который бралась. С помощью этой теории вы изучаете этот предмет и еще много чего, о чем вы даже не подозреваете.

-- Вт янв 12, 2010 20:48:57 --

Xaositect в сообщении #279838 писал(а):

Конструктивизм, числа из палочек. Мне она как-то ближе все-таки.

Отлично! Есть вторая интуиция стандартной модели арифметики. Но тут сразу большая проблема. Палочек всегда конечно, а модель бесконечна. Как быть? Как из конечных предметов возникает интуиция о бесконечном?

-- Вт янв 12, 2010 20:50:49 --

tori в сообщении #279842 писал(а):

Модель это не какое-то там слово, которое каждый понимает по своему. Это тоже термин из матлогики. Модель - это интерпретация, на которой все собственные аксиомы теории истинны.

Именно так мы и понимаем. Осталось выяснить, что такое стандартная модель арифметики.

[tori]

Я попытаюсь пояснить на примере. Давайте придумаем модель арифметики, где например носитель будет не ряд натуральных чисел, а люди. значки $+ *$какие-то невероятные операции, определить по нормальному я даже не знаю как). Так вот, что вам "стандартнее" будет: та модель которая называется стандартной, или эта бредовая?
А вообще Ваш вопрос типа: Вот почему в физике есть понятие консервативные системы - они что старые или что . Хотя я может по прежнему вас не понимаю.
ПС: понятие стандартной не стандартной модели нету. Просто как следствие теоремы Гёделя о неполноте получается существование других(в корне других) моделей, видимо, по-этому нашу всем известную арифметьику решили обзывать СМА.