Мне больше всего понравилось вот это:
…
Это означает, что для условия

при

существует

, такое что

.
Опять та же ошибка: оба равенства невозможны, так как в правых частях стоят величины, зависящие от переменной

(переменной, ибо написано: "при

"), а в левых - не зависящие.
Замечательно. Обязательно где-нибудь еще покажу.
Показывайте где хотите, пусть люди посмеются. Не забудьте только написать, что

, а то не так смешно будет.
Кстати, давайте уж подставим в Ваше "равенство" вместо

его определение:

. Укажите, где в левой части стоит буковка

.
Вам же показывали, как правильно надо писать. Написали бы

, и ни один комар бы носа не подточил.
Смотрите внимательно:

Неверно. Поскольку по определению

, то, разумеется,

ни при каком

. Даже "при

".
Правильная запись, разумеется, такая:

. Это обычное определение суммы числового ряда как предела последовательности его частичных сумм.
Дальше там опять такая же белиберда идёт, я её пропущу, а то уже наскучило одну и ту же ошибку сто раз указывать.
Кроме того, в прошлом моем сообщении вот это решение было сделано «на ходу»:

при

и

Следовательно

Собственно говоря, и это можно бы пропустить, ибо глупость та же самая: во всех трёх равенствах, содержащих сумму ряда

, слева стоит постоянная величина, а справа - выражение, зависящее от переменной

, поэтому равенство невозможно.
К нему еще должно было быть следующее (еще не вся «ерунда» была написана).
Как, ещё какую-то ерунду можно сюда приписать? Посмотрим.
По теореме 3 от
Jnrty, ряды

и

мы преобразуем вот в такую разность сумм:

О! А это какой из двух рядов Вы так преобразовали?
Вообще-то, в теореме 3 речь идёт о ряде

, а не о том выражении, которое Вы сочинили.
Либо то же самое запишем так:

Оригинально! Шедевр! А я уж было думал, что у Вас фантазия иссякла.
Далее, смотрим на условие задачи:

домножим обе части уравнения на


вычтем второе уравнение из первого
При таком умножении, сколько бы ни было слагаемых, но в новом ряду
их то же самое количество. Ни больше, ни меньше.
А какое их там "количество"? Сколько штук?
Теорема 3 от
Jnrty, «дает право» вычитать вот так и только так:

Заметьте, что сам
Jnrty сделал иначе.
Заметьте, что
Sergey-Cop именно так и вычитал с самого начала, строго по условию этой теоремы:
И в результате ничего полезного
Sergey-Cop не получил. Заметим, кстати, что
Jnrty также строго следовал теореме 3. Это выяснится чуть далее.
Посмотрим, что делает
Jnrty. И куда у него делась величина «

»?
…
2) ряд

сходится по теореме 1
…
3) ряд

…
4) ряд

сходится …
Как мы видим, ряд 2) содержит на одно слагаемое больше
На одно больше? По сравнению с каким рядом? С 3)? А сколько членов в том и в другом ряде? В штуках?
(прим., расстановка скобок, выдавая два за одного, не приводит к уменьшению количества слагаемых)
Ой! Да Вы, оказывается, не знаете, зачем нужны скобки в вычислениях. А меня этому ещё в первом классе научили. Попробую объяснить, хотя, может быть, уже поздно.
Скобки нужны для изменения порядка вычислений. В первую очередь вычисляется выражение, заключённое в скобки, а потом этот результат используется в дальнейших вычислениях
как одно число, совершенно независимо от того, сколько чисел было в скобках. Кстати, смысл теоремы 1 (она называется теоремой о скобках) в том и состоит: она разрешает объединить последовательные члены ряда скобками и
рассматривать их сумму как один член. Поэтому
Jnrty совершенно прав: первым членом ряда 2) является

, и это
один член ряда, независимо от того, что написано внутри скобок.
пять против четырех.
Ах, вон Вы сколько насчитали... Это довольно распространённая глупость. Например, я пишу

и спрашиваю у студента: а сколько здесь членов последовательности написано? А он, ничтоже сумняшеся, отвечает: три!
А когда-то давным-давно был такой случай. На экзамене студент рассказывал мне определение предела последовательности. И вот я у него спрашиваю: а может ли вне окрестности, о которой Вы говорите, оказаться миллион членов последовательности? И он, ни на секунду не задумываясь, отвечает: конечно, нет; ведь тогда почти все члены последовательности окажутся вне этой окрестности.
В условиях, когда:
ряд 3)

— это произведение ряда 2)

на

.
А неправда. Ряд 3) не есть произведение ряда 2) на

. Ряд 3) есть произведение
ряда 1) на

. Потому что в ряде 2) первый член есть

, а в ряде 3) первым членом является

.
Итак, вопрос: Куда делась величина «

»?
Никуда она не делась, находится на положенном месте:

Ответ: «не законно» добавлено лишнее слагаемое в ряд

, которое добавило величину «

» в разность рядов.
Совершенно бредовый "ответ". Никто никаких "лишних слагаемых" не добавлял, какие были в рядах 2) и 3), такие и остались в их разности.
Итак, в этом сообщении, как и в предыдущем, невозможно найти какое-нибудь правильное равенство или утверждение (не считая, конечно, того, что Вы процитировали; ну, ещё есть правильные равенства

и

).