Я начал уже читать Лаврентьева и Шабата (ЛШ), главу обобщение комплексных чисел. Для меня оказалось удивительным, что я не знал про параболические и гиперболические комплексные числа. А ведь их можно объяснить даже школьнику! Только мне больше нравится термин «гиперболическая аналитичность» вместо «h-аналитичности», так как второй вводит в заблуждение неспециалиста, а первый также предложен теми же учеными. Хотя это не принципиально.
Один мой друг и коллега по работам с двойными числами ведет у себя в городе физмат школу. Он попробовал давать специальную теорию относительности именно в привязке к двойным числам. Школьники были в восторге, так как все получается очень просто и понятно. Я также воспринимаю СТО и ее возможные расширения на бесконечномерные группы нелинейных конформных преобразований (в квадратичной геометрии такое возможно только в двумерном пространстве-времени) именно через призму двойных чисел и их h-аналитических функций.
Обозначение действительно непринципиально.
ЛШ пишут, что «теория h-аналитических функций не так глубока, как теория обычных аналитических функций». Пример их использования ограничен качественными моделями сверхзвукового течения. А про квазиконформные отображения они пишут, что они «требуют развития аксиоматического подхода». Так что я пока не совсем понимаю, в чем прелесть этих функций?
Полагаю, что ЛШ правы, когда так пишут, но лишь на половину. А именно, что теория h-аналитических функций крайне проста. Эта простота становится очевидной при переходе в базис из изотропных векторов, когда компоненты h-аналитической функции превращаются в пару произвольных аналитических функций от одной действительной переменной каждая. Проще, что называется, некуда. Однако они не правы, когда считают, что аналитические функции обычной комплексной переменной хоть немного сложнее. Они совершенно равнозначны h-аналитическим функциям, и разница лишь в том, что на комплексной плоскости нет вещественного изотропного базиса, в котором ту можно было бы разложить на две функции от одной действительной переменной каждая. Однако можно либо ввести такой базис как чисто мнимый, либо просто установив взаимооднозначное соответствие с h-аналитическими функциями двойной переменной. Такую работу мы с Гарасько проделали. Все получается красиво и однозначно. Конечно, немного жалко сознавать, что комплексные числа и аналитические функции от них оказались ничем не сложнее h-аналитических, зато паритет двух теорий почти полностью восстановился.
К тому же, похоже, ЛШ не знали, что на плоскости двойной переменной работают аналоги практически всех теорем ТФКП (думаю даже, что абсолютно всех). В частности, теорем Коши, Стокса, Остроградского и пр. Недавно, наконец, и с аналогом интегральной формулы Коши разобрались. Все не менее красиво и логично, чем в ТФКП..
Что касается применений h-аналитических функций двойной переменной лишь к качественным картинам сверхзвуковых течений, тут Вы не правы. Даже у ЛШ есть оговорка мельком, что эти функции можно было бы рассматривать как конформные отображения на плоскости с псевдоевклидовой метрикой, то есть, в двумерном пространстве времени. Однако они тут же одергивают себя и говорят, что не станут развивать мысль в этом направлении, а лучше рассмотрят иную интерпретацию. А именно, как двух встречных волн с профилем в виде аналитических функций от одной вещественной переменной каждая, распространяющихся со световой скоростью. Да, такая интерпретация действительно имеет место. Но интерпретация как нелинейного двумерного поля в пространстве-времени - на много более интересная и далекоидущая. Я теперь понимаю, почему они не стали развивать идею второго варианта и ограничились одним. В противном случае им бы пришлось говорить о конформных расширениях двумерной СТО, а это хоть и не дискредитирует последнюю, но все равно могло бы кем-то рассматриваться как наезд. В те времена такое вряд ли приветствовалось бы..
Если Вы хотите почувствовать, в чем прелесть этой второй, то есть, полевой интерпретации h-аналитических функций, то откройте 9 страницу этой темы (
topic27715-120.html ), там в самом низу рассмотрен пример логарифмов в обычных комплексных числах и в двойных. Попробуйте найти, как говорится, хотя бы пару отличий (кроме естественных отличий в метрике).
Квазиконформные давайте пока трогать не будем. Иначе только запутаемся..
Вполне возможно, что это сделает теорию относительности более интересной. Но мне кажется, что лучше начинать с нерелятивистской квантовой механики и уже от нее перемещаться к релятивистской КМ и СТО.
Нужно идти по всем возможным направлениям. Что мы и стараемся делать, но у нас пока мало специалистов по КМ, да и классическая теория поля представляется несколько более наглядной и простой. Кроме того, с двойными числами связана геометрия двумерного псевдоевклидова пространства времени, а оно именно что релятивистски инвариантное. Если хотите начинать с нерелятивистской механики (хоть квантовой, хоть обычной), то для них более естественными являются параболические (дуальные) числа.
А он удовлетворен интерпретацией КМ? Его устраивает понятие частица-волна, ненормируемая ПРВ, неопределенность физического смысла пси функции, непонятки с волной Де Бройля и волновым пакетом? Почему он сопротивляется? Ему неинтересно или по другим причинам?
Он не считает себя специалистом в КМ (хотя на мой взгляд это не так). Но самое главное, просто не может разорваться. Много сил отняла книга, да и сейчас "висят" много незавершенных и интересных задач. Кроме того, он считает, что в этом направлении мало шансов получить нечто интересное и нетривиальное. Короче, трудно расшевелить.. Хорошо еще хоть в таком начальном виде дело сделал. (Сейчас займусь сканированием обещанной статьи и ее посылкой.)
Если я правильно понимаю смысл h-аналитических функций, то они если и начнут работать, то на этапе решения квантового уравнения Шредигера (УрШ), а не на этапе обоснования волны Де Бройля либо волнового пакета. А в УрШе мы должны выяснить смысл пси-функции, либо воспользоваться идеей Д. Бома о разложении квантового уравнения на действительные компоненты (ПРВ и фазовую функцию – действие). Причем от фазовой функции попытаться отказаться. Ну и решить проблему волна-частица (я предлагаю путем отказа от волны и введения идеи стохастичности).
Полагаю, что пока еще не совсем правильно понимаете h-аналитические функции. Им, скорее, соответствует не уравнение Шредингера (которое в определенном смысле можно рассматривать как аналог уравнения Пуассона), а квантовомеханический аналог уравнения Лапласа (для псевдоевклидовой плоскости лучше говорить об уравнении Даламбера). Можно конечно сказать, что это тот же Пуассон, только с нулевой правой частью. В соответствующих самим h-аналитическим функциям релятивистских состояниях как бы нет диссипации энергии. Если есть желание такую диссипацию в рассмотрение ввести, нужно обратиться уже не к h-аналитическим функциям, а к функциям с нарушенной аналитичностью. В книге ЛШ есть много примеров как похожая диссипация вводится на комплексной плоскости. Но этим направлением, на мой взгляд, лучше заниматься не ранее, чем досканально все встанет на свои места в более простых аналитических, вернее, h-аналитических случаях. Впрочем, я могу и ошибаться, КМ для меня слишком темный леc.
Если мы обоснуем понятие волнового пакета (от плоской волны, скорее всего, придется отказаться), то можно пытаться решать математическую задачу дифракции для стохастического блуждания двух частиц через две щели. Объединенная ПРВ должна по идее дать интерференционную картину для индивидуальных ПРВ этих частиц. Помогут тут нам двойные числа или нет, я пока не знаю, но об их потенциале можно постоянно иметь в виду.
Что касается меня, то двумя руками "за" на счет желательности постоянно иметь ввиду двойные числа и функции от них. Они слишком естетсвенны и просты, что бы обманывать. :) Если удается выстраивать физическую модель предназначенную для двумерного пространства-времени в тесном соответствии с ними, тем лучше для самой модели..