Школьный диффгем?

[ewert]

worm2 в сообщении #264086 писал(а):

Вычислений много, а результат простой

Как это так много.

Пусть $a,b,c$ -- это расстояния от той точки до вершин прямоугольного треугольника (т.е. половинки равностороннего). По теоремам косинусов

$a^2+b^2+ab=1;$
$a^2+c^2+ac={1\over4};$
$b^2+c^2+bc={3\over4}.$

Теперь складываем площади маленьких треугольничков в целый прямоугольный:

${1\over2}(ab+ac+bc)\cdot{\sqrt3\over2}={\sqrt3\over8}.$

Соответственно,

$2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+ac+bc)={7\over2}=2(a+b+c)^2,$

вот и всё.

Для развлечения -- та же задачка, но для куба. (Там ответ, насколько помню, несколько неожиданный.)

[vvvv]

gris в сообщении #263500 писал(а):

А я склеил конус из бумаги и натянул резиночку по его внешней стороне. Она же тоже по кратчайшему пути ляжет? С учётом масштаба у меня получилось 1732 м 5 см.

gris, а у Вас достаточно точно получился ответ Любая хорда на развертке кратера, стягивающая центральный угол (2/3)*pi,
будет кратчайшим расстоянием.
см.картинку

[ewert]

а чего там смотреть, там на картинке нету решительно ни одной хорды, да и сектор там нарисован явно не тот, что нужен для решения (он непонятно с какой стати удвоен)

[vvvv]

ewert в сообщении #264166 писал(а):

а чего там смотреть, там на картинке нету решительно ни одной хорды, да и сектор там нарисован явно не тот, что нужен для решения (он непонятно с какой стати удвоен)

Соедините точки, отмеченные на развертке и получите хорду (одну).Как провести тысячу хорд, думаю, Вы сообразите.
Развертка именно та.Если не та - покажите ту.
И ответ совпадет с тем, что gris нашел эксперементально.

[ewert]

Там плохо видны точки (я даже и не пытался все их отыскать), но дело даже не в этом. Кратчайшее расстояние -- по определению является кратчайшим. Следовательно, рисовать следует -- половину развёртки.

[gris]

Самое удивительное, что кратчайший путь не меняется, если основание конуса слегка сжать. (Правда, это уже не та задача.) Просто я своём эксперименте для повышения точности сделал 60 замеров, а потом взял среднее. А для того, чтобы не было систематических ошибок, я каждый раз устанавливал конус по новому. Один раз я случайно сжал основание, но положение резинки не изменилось.
Я с детства обожаю, когда результаты практических экспериментов совпадают с теоретическими расчётами. Один раз даже натягивал нитку из противоположных углов комнаты для проверки длины диагонали параллелепипеда.

[ewert]

gris в сообщении #264187 писал(а):

Один раз я случайно сжал основание, но положение резинки не изменилось.

Это потому, что масло высохло, а добавить его Вы забыли.

[vvvv]

gris в сообщении #264187 писал(а):

Самое удивительное, что кратчайший путь не меняется, если основание конуса слегка сжать. (Правда, это уже не та задача.) Просто я своём эксперименте для повышения точности сделал 60 замеров, а потом взял среднее. А для того, чтобы не было систематических ошибок, я каждый раз устанавливал конус по новому. Один раз я случайно сжал основание, но положение резинки не изменилось.
Я с детства обожаю, когда результаты практических экспериментов совпадают с теоретическими расчётами. Один раз даже натягивал нитку из противоположных углов комнаты для проверки длины диагонали параллелепипеда.

gris, Вы хороший экпериментатор - на такой простой модели достичь шесть точных знаков.....

[gris]

самое интересное, что точность каждого отдельного измерения не превышала 0,05 мм (я использовал обычный штангенциркуль), то есть 5 см с учётом масштаба, но при 60 измерениях вероятность ошибки больше 0,5 см составляет менее 1%. Так что в шести знаках нет ничего удивительного. Обычная статистика.

[vvvv]

А вот кратер с геодезической

[gris]

Наконец-то. Если перевернуть, то как раз и получится мой конус. Только он матово-белый.
А меня всё же мучает вопрос - эта геодезическая будет располагаться в плоскости, перпендикулярной образующей конуса, проходящей через середину дуги? И есть ли в этом какой-то смысл?

[ewert]

gris в сообщении #264572 писал(а):

А меня всё же мучает вопрос - эта геодезическая будет располагаться в плоскости, перпендикулярной образующей конуса, проходящей через середину дуги?

Конечно, нет. Плоским сечением мог бы быть, например, эллипс (если конус достаточно узкий). Однако: продолжите эту линию назад до противоположной образующей так, чтобы обе ветви встретились. Ну так они встретятся там под ненулевым углом -- какой уж там эллипс.

[vvvv]

Геодезическая на конусе не будет плоской кривой.Но геодезическая обладает тем свойство, что нормаль к кривой в каждой точке является
нормалью к поверхности.

[Yu_K]

Problem 262
30 October 2009
http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=262 - тут кратер поинтересней, и края разной высоты и область ограничена.

[Yu_K]

А для единичного куба длину разреза можно сделать меньше, чем $12a+3$, $a={\sqrt3\over6}$ ?