Первообразные

[ИСН]

$\sqrt{1+ x^2}$ сойдёт за новую переменную.

[ИС]

Методом интегрирования по частам

$$\int \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 dx $$

кого обозвать u, кого v если

$\int u dv = u v - \int v du $

[ИСН]

Use \left(...\right), во-первых. Upd. Да, вот так.
А так, ну, допустим... пусть $dx\over x^2$ будет нашим $dv$.

[ИС]

а тогда

$$v = \int \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{x} + 2 \int \frac{dx}{x^2}$$

$$ v = \int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x}+c $$

???

[gris]

Вообще тут принцип такой. Один сомножитель должен интегрироваться, а другой дифференцироваться так, чтобы в результате выражение упростилось. В смысле приблизилось к интегрируемому виду. Иногда и три раза по частям приходится.
Здесь шесть вариантов разбиения выражения на сомножители.
Логарифм интегрировать мерзопакостно. Его дифференцировать хорошо.
Значит интегрируем $\dfrac{dx}{x^2}$, что Вы и сделали во второй строке. Только можно без С. (Иногда оно нужно бывает!) И под интегралом остался логарифм уже в первой степени. Повторяем процедуру.

[ewert]

gris в сообщении #257618 писал(а):

Только можно без С. (Иногда оно нужно бывает!)

Никогда -- ежели речь именно про интегрирование по частям.

[gris]

Я имею в виду, что иногда бывает удобнее в качестве $v$ взять табличную первообразную с ненулевой аддитивной константой. Для меня это пример, который я на форуме и увидел:
$\int 2x\arctg x dx=\left|u=\arctg x; dv=2xdx;du=\dfrac{dx}{x^2+1};v=x^2+1\right|=$
$=(x^2+1)\arctg x-\int \dfrac{x^2+1}{x^2+1} dx=(x^2+1)\arctg x-x+C$

[ИС]

применяя метод разложения

$$ \int\frac{1+x}{1-x}dx $$

[gris]

тут не раскладывать, а в столбик делить с остатком. как всегда, если степень многочлена в числителе не меньше степени в знаменателе

[ewert]

или тупо взять знаменатель за новую переменную, пользуясь его предупредительной линейностью

[ИС]

есть! спаибо болььшое!

-- Чт ноя 05, 2009 00:03:57 --

А вот такое вот методом разложения?

$$\int\frac{x^2}{(1-x)^{100}}dx$$

[ИС]

Разобрался =) и с последним )

[ИС]

методом разложения.
1)

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$$

2)умножаю числитель и знаменатель на

$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$$

3) из 1) и 2)

$$\int\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} }{2x}dx = \int\frac{\sqrt{x+1}}{2x}dx - \int\frac{\sqrt{x-1}}{2x}dx$$

4)

$$\int\frac{\sqrt{x+1}}{2x}dx = \int\frac{x+1}{2x \sqrt{x+1}}dx $$

5)

$$k = \sqrt{x+1}; dk = \frac{dx}{2\sqrt{x+1}}.$$

6) из 5) и 4)

$$ \int\frac{k^2dk}{(k^2 - 1)} = \int dk + \int\frac{dk}{k^2 - 1} = \sqrt{x+1} - \frac12 \ln \left|\frac{1+\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}\right|+C$$

тут где-то должна быть ошибка... никак не найду (((

к этому примеру правильный ответ $\frac{1}{3}\left((x+1)^{\frac{3}{2}}-(x-1)^{\frac{3}{2}}\right)$ ???

[Maslov]

Стесняюсь спросить: а $x$ в знаменателе 3) откуда взялся?

[ИС]

АААААААААА!!!! ((((((((
спс, дальше все понятно