Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения

[Yarkin]

dmd в сообщении #251805 писал(а):

Нестандартно ввожу переменную (п. 2), свойства ее таковы, что она становится более сложным объектом относительно стандартной переменной. П. 1 и меня смущает, но пока более понятно не могу объяснить, что такое состояние.

Следовательно, функция $(-1)^x$ описывает и состояние и значение?

[dmd]

Yarkin в сообщении #257301 писал(а):

Следовательно, функция $(-1)^x$ описывает и состояние и значение?

Это вы о чём? В моих сообщениях этой темы нет ни одного слова "значение". Говорил о различной природе "состояния" и "изменения" между двумя состояниями. Меняющиеся коэффициенты функции участвуют в функции только своими состояниями, а изменениями коэффициенты становятся в соответствующих производных функциях. Понятно, что и "состояния", и "изменения" имеют свои "значения". Вы о каком "значении"? И при чём тут функция $(-1)^x$? Я пока что детально не рассматривал функций сложнее полинома 5-й степени, но думаю смогу (примеры см. в конце статьи, доступной из моего профиля). Прежде чем рассматривать в рамках алгебраического анализа любую показательную функцию $a^x$, её необходимо разложить в бесконечный полином $a_0 x^0+a_1 x^1+a_2 x^2+a_3 x^3+...$ (см. 3-й пункт аксиоматики). Если вы опять про $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$, то ещё раз буду утверждать - это ОДНОЗНАЧНЫЕ числа. Тем более, что они входят в выражения корней уравнения, а выражения для корней обязаны быть однозначными, чтобы быть ПРАКТИЧЕСКИ ВЫЧИСЛИМЫМИ. В этих записях ничего кроме чисел и оператора действия нет. Где вы в них нашли многозначную функцию?

$A$ - постоянный параметр, $x$ - переменная.
Из $A=x^3$ не следует $x(A)=A^{1/3}$ - именно в этом месте в вашей логике абсурд возникает, т.к. вы утверждаете что следует, и якобы поэтому $x(A)$ многозначна. Не поэтому. А потому, что $A=x^3$ равносильно уравнению с 3-мя корнями, при этом $x(A)\neq A^{1/3}$. И хотя $x(A)$ конечно многозначная функция, но каждый из $x_1, x_2, x_3$ однозначен.

[Yarkin]

dmd в сообщении #257483 писал(а):

Понятно, что и "состояния", и "изменения" имеют свои "значения". Вы о каком "значении"?

О "значении" "состояния".

dmd в сообщении #257483 писал(а):

Если вы опять про $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ , то ещё раз буду утверждать - это ОДНОЗНАЧНЫЕ числа.

Тогда, чему они равны или они являются значениями состояний?

[Андрей АK]

dmd в сообщении #251640 писал(а):

2) любая переменная есть изменение между двумя состояниями - начальным и конечным; любая переменная участвует в изложении в обоих своих состояниях - начальном и конечном - и соответственно двусимвольно обозначается
4) коэффициенты функции-полинома - меняются в зависимости от аргументов

Напоминает "Вариационное исчисление".

[Time]

dmd в сообщении #251640 писал(а):

Давайте обсудим аксиоматику алгебраического анализа.

Вам не приходилось сталкиваться с гиперкомплексными коммутативно ассоциативными алгебрами? В частности с такими, что являются прямой суммой двух комплексных алгебр? У таких чисел иначе выглядит основная теорема алгебры. Например, алгебраическое уравнение четвертой степени с вещественными коэффициентами на множества таких чисел имеет не четыре корня, как в комплексной алгебре, а 16. Эти числа не образуют поля, так как содержат делители нуля. Зато они образуют алгебраически замкнутое кольцо. Геометрия же четырехмерного пространства, соответствующая таким числам не квадратична, а также связана с метрическими функциями четвертого порядка, то есть специфического вида финслерова. Похоже, Вы своими вычислениями затронули краешек таких чисел и алгебр. Потому и количество корней получилось у Вас больше, чем следует из алгебры комплексных чисел. Вообще, это очень интересное направление, так как выводит на финслеровы расширения ТФКП, но наработок тут крайне мало, так что, вряд ли удастся воспользоваться чем то законченным..

[dmd]

В статье (доступна из моего профиля) у меня упоминается дополнительная константа, которая обнаруживается в каждой нелинейной функции. Оказывается ситуация сильнее. В каждой функции одной переменной, выраженной полиномом $n$-й степени, есть ровно $n$ констант. Благодаря этому удалось найти более элегантное решение в радикалах уравнения 4-й степени. Решалось опять выбором такой замены неизвестной, которая приравнивает нулю одну из констант.


Уравнение

$t = p y + q y^2 + r y^3 + s y^4$


Решение

$m = r^3 - 4 q r s + 8 p s^2$

$f = -(r^6 - 6 q r^4 s + 8 q^2 r^2 s^2 + 8 p r^3 s^2 - 16 p q r s^3 + 8 p^2 s^4 + 8 r^2 s^3 t)$

$a = 2 s (3 r^5 - 16 q r^3 s + 16 q^2 r s^2 + 20 p r^2 s^2 - 16 p q s^3 + 32 r s^3 t)$

$b = 4 s^2 (3 r^4 - 14 q r^2 s + 8 q^2 s^2 + 20 p r s^2 + 32 s^3 t)$

$c = 8 m s^3$

$X = \frac{-(a b + 9 c f) + \sqrt{(a b + 9 c f)^2 - 4 (b^2 - 3 a c) (a^2 + 3 b f)}}{2 (b^2 - 3 a c)}$

$A = a + 2 b X + 3 c X^2$

$F = a X + b X^2 + c X^3 - f$

$G = A^3 - 27 c F^2$

$W = G^{1/3}$

$Y = X + \frac{3 F}{W - A}$

$T = p Y + q Y^2 + r Y^3 + s Y^4 - t$

$P = 3 m r + 4 s^2 (q^2 - 2 p r + 4 s t) + 4 s (3 r^3 - 10 q r s + 12 p s^2) Y + 4 s^2 (3 r^2 - 8 q s) Y^2$

$Q = m (r + 4 s Y) (m (r + 4 s Y) - 16 s^3 T)$

$R = -r^2 + 2 q s - 2 r s Y - 4 s^2 Y^2$

$R2 = \pm \sqrt{P \pm 2 \sqrt{Q}}$

$Z = \frac{R2 - R}{4 s^2}$

$y = Y \pm \sqrt{Z}$

(Код для проверки в Математике)

t=274;p=-1950;q=-937;r=-9107;s=911;
m=r^3-4 q r s+8 p s^2;
f=-(r^6-6 q r^4 s+8 q^2 r^2 s^2+8 p r^3 s^2-16 p q r s^3+8 p^2 s^4+8 r^2 s^3 t);
a=2 s (3 r^5-16 q r^3 s+16 q^2 r s^2+20 p r^2 s^2-16 p q s^3+32 r s^3 t);
b=4 s^2 (3 r^4-14 q r^2 s+8 q^2 s^2+20 p r s^2+32 s^3 t);
c=8 m s^3;
X=(-(a b+9 c f)+Sqrt[(a b+9 c f)^2-4(b^2-3 a c)(a^2+3 b f)])/(2(b^2-3 a c));
A=a+2b X+3c X^2;
F=a X+b X^2+c X^3-f;
G=A^3-27c F^2;
W=G^(1/3);
Y=X+(3F)/(W-A);
T=p Y+q Y^2+r Y^3+s Y^4-t;
P=3 m r +4 s^2 (q^2-2 p r+4 s t)+4 s (3 r^3-10 q r s+12 p s^2) Y+4 s^2 (3 r^2-8 q s) Y^2;
Q=m (r+4 s Y) (m (r+4 s Y)-16 s^3 T);
R=-r^2+2 q s-2 r s Y-4 s^2 Y^2;
R2={Sqrt[P+2 Sqrt[Q]],Sqrt[P-2 Sqrt[Q]],-Sqrt[P+2 Sqrt[Q]],-Sqrt[P-2 Sqrt[Q]]};
Z=(R2-R)/(4s^2);
y={Y+Sqrt[Z],Y-Sqrt[Z]};
Print[N[y]];
Clear[y];
Print[NSolve[t==p y+q y^2+r y^3+s y^4,y]];

[iifat]

Статья начинается с какой-то жуткой жути (первые две страницы). Какие-то состояния, функция $f=bx+ax^2$, потом добавляется, что $a,b$ — не константы, что не мешает нам почему-то выводить коэффициенты за скобки... Поймите же, что-то новое можно было создать раньше, можно и сейчас. Но нужно как следует изучить старое, уже наработанное. Чтобы не начинать реформу с просто переименования терминов.

[nnosipov]

dmd в сообщении #1026840 писал(а):

Благодаря этому удалось найти более элегантное решение в радикалах уравнения 4-й степени.

И зачем это нужно? Не говоря уже о том, что у каждого своё, мягко говоря, понятие элегантности.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: понятия не определены нормально

dmd
Согласно правилам форума, в дискуссионном разделе все понятия должны быть определены, а все утверждения строго доказаны. Исключая последний пост без ссылки, всё остальное совершенно не удовлетворяет этим правилам.
Самореклама удалена. Всё, что хотите здесь использовать - пишите здесь.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

Исправлен стартовый пост темы.

[dmd]

del

[dmd]

(Оффтоп)

Посмотрел док.фильм "Чувственная Математика" (2012). Там в конце математик Максим Концевич говорит, что задумывается над тем "как анализ естественным образом возникает в алгебре".

[hurtsy]

Yarkin в сообщении #252705 писал(а):

Поэтому дискуссия ушла от аксиоматики, ибо с единичками не все ясно.

Вроде бы, в текущей редакции стартового поста dmd

dmd писал(а):

Предмет дискуссии - почему предположение о формулах (7.2)-(7.5) верное.

Таковы свойства преобразования выбранного dmd

Цитата:

$x=X+\frac{1}{z}\qquad\eqno(6)$

С уважением,

[dmd]

Далее черновик полином-анализа.




Определения.


1) полином-состояние - это моном вида $x_i$, где $i$ - натуральное число, $x_i \in \mathbb{R}$
2) полином-переменная - это бином вида $x_j-x_i$, где $i,j$ - натуральные числа, причём всегда $i<j$; $x_i,x_j$ - полином-состояния
3) полином-функция - это полином вида $f_j-f_i=a_i(x_j-x_i)+b_i(x_j-x_i)^2+...$, где $i<j$ - натуральные числа, $x_j-x_i$ - аргумент полином-функции, $a_i,b_i,...$ - коэффициенты при степенях аргумента; $x_i,x_j,f_i,f_j,a_i,b_i,...$ - полином-состояния, $f_j-f_i$ и $x_j-x_i$ - полином-переменные


1.


Рассмотрим картину изменений квадратичной полином-функции между её полином-состояниями $f_1,f_2,f_3$.

$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(1.1)$

$f_3-f_1=a_1(x_3-x_1)+b_1(x_3-x_1)^2\qquad\eqno(1.2)$

$f_3-f_2=a_2(x_3-x_2)+b_2(x_3-x_2)^2\qquad\eqno(1.3)$


Вычтем из (1.2) (1.1)

$f_3-f_2=a_1(x_3-x_2)+b_1((x_3-x_1)^2-(x_2-x_1)^2)\qquad\eqno(1.4)$


Т.к. левые части (1.3) и (1.4) равны и $(x_3-x_1)^2-(x_2-x_1)^2=(x_3-x_2)((x_3-x_1)+(x_2-x_1))$, то

$a_2(x_3-x_2)+b_2(x_3-x_2)^2=a_1(x_3-x_2)+b_1(x_3-x_2)((x_3-x_1)+(x_2-x_1))\qquad\eqno(1.5)$


Сократим (1.5) на $(x_3-x_2)$ и перегруппируем

$a_2-a_1=b_1((x_3-x_1)+(x_2-x_1))-b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.6)$


Повторим шаги (1.1)-(1.6) для полином-состояний $f_1,f_3,f_4$ и получим аналог (1.6)

$a_3-a_1=b_1((x_4-x_1)+(x_3-x_1))-b_3(x_4-x_3)\qquad\eqno(1.7)$


Аналогичные шаги повторим для полином-состояний $f_2,f_3,f_4$

$a_3-a_2=b_2((x_4-x_2)+(x_3-x_2))-b_3(x_4-x_3)\qquad\eqno(1.8)$


Вычтем из (1.7) (1.6)

$a_3-a_2=b_1(x_4-x_2)-b_3(x_4-x_3)+b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.9)$


Т.к. левые части (1.8) и (1.9) равны, то

$b_2((x_4-x_2)+(x_3-x_2))-b_3(x_4-x_3)=b_1(x_4-x_2)-b_3(x_4-x_3)+b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.10)$


Из (1.10) следует, что $b_2=b_1$, или

$b_2-b_1=0\qquad\eqno(1.11)$


(1.11) означает, что коэффициент при квадрате аргумента в полином-функции (1.1) остаётся неизменным при любом изменения аргумента, т.е. этот коэффициент - константа.


Из (1.11) и (1.6) следует, что

$a_2-a_1=2b_1(x_2-x_1)\qquad\eqno(1.12)$


2.


(1.1), (1.11) и (1.12) сгруппируем как итог исследования пункта 1.

$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(2.1)$

$a_2-a_1=2b_1(x_2-x_1)\qquad\eqno(2.2)$

$b_2-b_1=0\qquad\eqno(2.3)$

(Примечание)

Здесь (2.2) и (2.3) также являются полином-функциями, но неотделимыми от (2.1). Вместе (2.1),(2.2),(2.3) - одно целое. Полином-функции (2.2) и (2.3) - естественное алгебраическое следствие из (2.1), что показано в пункте 1. (2.2) и (2.3) - аналоги стандартных производных, (2.1) - аналог стандартной первообразной.

Выразим из (2.2) $x_2-x_1$ и подставим в (2.1), получим

$a_2^2-a_1^2=4b_1(f_2-f_1)\qquad\eqno(2.4)$


Из (2.4) и (2.3) следует, что у квадратичной полином-функции имеется вторая константа, значение которой не изменится при любом изменении аргумента: $a_1^2-4b_1f_1=a_2^2-4b_2f_2$.


3.


Полностью аналогично и индуктивно можно получить описание кубической полином-функции

$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2+c_1(x_2-x_1)^3\qquad\eqno(3.1)$

$a_2-a_1=2b_1(x_2-x_1)+3c_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(3.2)$

$b_2-b_1=3c_1(x_2-x_1)\qquad\eqno(3.3)$

$c_2-c_1=0\qquad\eqno(3.4)$


Выразим $x_2-x_1$ из (3.3) и подставим в (3.2)

$b_1^2-3a_1c_1=b_2^2-3a_2c_2\qquad\eqno(3.5)$


Соотношение (3.5) описывает вторую константу кубической полином-функции.


Выразим $x_2-x_1$ из (3.3) и подставим в (3.1), получим

$b_2^3-b_1^3-3(b_2-b_1)(b_1^2-3a_1c_1)=27c_1^2(f_2-f_1)\qquad\eqno(3.6)$


Из (3.6) и (3.5) следует наличие третьей константы $b_1^3-3b_1(b_1^2-3a_1c_1)-27c_1^2f_1=b_2^3-3b_2(b_2^2-3a_2c_2)-27c_2^2f_2$

(Примечание)

Формулы (3.1)-(3.6) использовались в выводе решения кубического уравнения из стартового поста

Буду рад замечаниям и вопросам.

[dmd]

Сделал в GeoGebra демонстрацию для полином-констант.