Далее черновик полином-анализа.
Определения.1) полином-состояние - это моном вида
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
, где
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
- натуральное число,
![$x_i \in \mathbb{R}$ $x_i \in \mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/4/384a403a460d8d831653cfd41fbc42c882.png)
2) полином-переменная - это бином вида
![$x_j-x_i$ $x_j-x_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/9/4c905153fc6bdce976374e34c7b52bbb82.png)
, где
![$i,j$ $i,j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe48dde86ac2d37419f0b35d57ac46082.png)
- натуральные числа, причём всегда
![$i<j$ $i<j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/4/1f4d710cf7630832db3fa7ee7f2549bf82.png)
;
![$x_i,x_j$ $x_i,x_j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/f/42fb6b361c267fb223c4c7e4e9e01ded82.png)
- полином-состояния
3) полином-функция - это полином вида
![$f_j-f_i=a_i(x_j-x_i)+b_i(x_j-x_i)^2+...$ $f_j-f_i=a_i(x_j-x_i)+b_i(x_j-x_i)^2+...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/5/c1559685c08c6202da6ac4d69d9c4a8582.png)
, где
![$i<j$ $i<j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/4/1f4d710cf7630832db3fa7ee7f2549bf82.png)
- натуральные числа,
![$x_j-x_i$ $x_j-x_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/9/4c905153fc6bdce976374e34c7b52bbb82.png)
- аргумент полином-функции,
![$a_i,b_i,...$ $a_i,b_i,...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/5/c65ffd4894ec60fa3a31e843976f10c082.png)
- коэффициенты при степенях аргумента;
![$x_i,x_j,f_i,f_j,a_i,b_i,...$ $x_i,x_j,f_i,f_j,a_i,b_i,...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/2/c92993607367c85c6725d8a7bab5872382.png)
- полином-состояния,
![$f_j-f_i$ $f_j-f_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/5/925ada85411cc90652dbc1ce04b2ef2982.png)
и
![$x_j-x_i$ $x_j-x_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/9/4c905153fc6bdce976374e34c7b52bbb82.png)
- полином-переменные
1.Рассмотрим картину изменений квадратичной полином-функции между её полином-состояниями
![$f_1,f_2,f_3$ $f_1,f_2,f_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/3/833ba6b7cdfe9e95117d004d511feb9482.png)
.
![$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(1.1)$ $f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(1.1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/f/eeff81564eade3d8087ab0ee5526d9fe82.png)
![$f_3-f_1=a_1(x_3-x_1)+b_1(x_3-x_1)^2\qquad\eqno(1.2)$ $f_3-f_1=a_1(x_3-x_1)+b_1(x_3-x_1)^2\qquad\eqno(1.2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/a/f2abdc3978842902f322a76acf22855182.png)
![$f_3-f_2=a_2(x_3-x_2)+b_2(x_3-x_2)^2\qquad\eqno(1.3)$ $f_3-f_2=a_2(x_3-x_2)+b_2(x_3-x_2)^2\qquad\eqno(1.3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/7/ca74a4d07aa5f9eb4b912c22e851110782.png)
Вычтем из (1.2) (1.1)
![$f_3-f_2=a_1(x_3-x_2)+b_1((x_3-x_1)^2-(x_2-x_1)^2)\qquad\eqno(1.4)$ $f_3-f_2=a_1(x_3-x_2)+b_1((x_3-x_1)^2-(x_2-x_1)^2)\qquad\eqno(1.4)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/5/995af16c253e054ccb4398261543c76b82.png)
Т.к. левые части (1.3) и (1.4) равны и
![$(x_3-x_1)^2-(x_2-x_1)^2=(x_3-x_2)((x_3-x_1)+(x_2-x_1))$ $(x_3-x_1)^2-(x_2-x_1)^2=(x_3-x_2)((x_3-x_1)+(x_2-x_1))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/3/e53c7aa076096b73c4d0bf209be926a982.png)
, то
![$a_2(x_3-x_2)+b_2(x_3-x_2)^2=a_1(x_3-x_2)+b_1(x_3-x_2)((x_3-x_1)+(x_2-x_1))\qquad\eqno(1.5)$ $a_2(x_3-x_2)+b_2(x_3-x_2)^2=a_1(x_3-x_2)+b_1(x_3-x_2)((x_3-x_1)+(x_2-x_1))\qquad\eqno(1.5)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/3/3e3674c5fdc1a6a4db8a99b71e05380682.png)
Сократим (1.5) на
![$(x_3-x_2)$ $(x_3-x_2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/e/12e64bf2bffd21b718f9906e239625a282.png)
и перегруппируем
![$a_2-a_1=b_1((x_3-x_1)+(x_2-x_1))-b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.6)$ $a_2-a_1=b_1((x_3-x_1)+(x_2-x_1))-b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.6)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/c/c7c6bb5661f9f5548f355486687e23f782.png)
Повторим шаги (1.1)-(1.6) для полином-состояний
![$f_1,f_3,f_4$ $f_1,f_3,f_4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/1/3d118ed22ee2153441868f908f200deb82.png)
и получим аналог (1.6)
![$a_3-a_1=b_1((x_4-x_1)+(x_3-x_1))-b_3(x_4-x_3)\qquad\eqno(1.7)$ $a_3-a_1=b_1((x_4-x_1)+(x_3-x_1))-b_3(x_4-x_3)\qquad\eqno(1.7)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/f/7bfe78d0fb0034058754b83d52e37dd582.png)
Аналогичные шаги повторим для полином-состояний
![$f_2,f_3,f_4$ $f_2,f_3,f_4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/b/eebf47263cc07c8838cf5c5bba94bec982.png)
![$a_3-a_2=b_2((x_4-x_2)+(x_3-x_2))-b_3(x_4-x_3)\qquad\eqno(1.8)$ $a_3-a_2=b_2((x_4-x_2)+(x_3-x_2))-b_3(x_4-x_3)\qquad\eqno(1.8)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/f/29fe811276bc9c9bc3ea27735e041b0382.png)
Вычтем из (1.7) (1.6)
![$a_3-a_2=b_1(x_4-x_2)-b_3(x_4-x_3)+b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.9)$ $a_3-a_2=b_1(x_4-x_2)-b_3(x_4-x_3)+b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.9)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/8/cd84e6257b296b56b45905d27d0723d782.png)
Т.к. левые части (1.8) и (1.9) равны, то
![$b_2((x_4-x_2)+(x_3-x_2))-b_3(x_4-x_3)=b_1(x_4-x_2)-b_3(x_4-x_3)+b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.10)$ $b_2((x_4-x_2)+(x_3-x_2))-b_3(x_4-x_3)=b_1(x_4-x_2)-b_3(x_4-x_3)+b_2(x_3-x_2)\qquad\eqno(1.10)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/1/411f2a58aec20f7b2b2ed96f092713cf82.png)
Из (1.10) следует, что
![$b_2=b_1$ $b_2=b_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/4176ce5578fd1669e9af89db26016d4c82.png)
, или
![$b_2-b_1=0\qquad\eqno(1.11)$ $b_2-b_1=0\qquad\eqno(1.11)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/c/79cbc6c9f86bcabc12f2d89d83efd96d82.png)
(1.11) означает, что коэффициент при квадрате аргумента в полином-функции (1.1) остаётся неизменным при любом изменения аргумента, т.е. этот коэффициент - константа.
Из (1.11) и (1.6) следует, что
2.(1.1), (1.11) и (1.12) сгруппируем как итог исследования пункта 1.
![$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(2.1)$ $f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(2.1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/5/565e6d192ba22ead7bb3283d6864c80482.png)
![$a_2-a_1=2b_1(x_2-x_1)\qquad\eqno(2.2)$ $a_2-a_1=2b_1(x_2-x_1)\qquad\eqno(2.2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/9/c093d417ae2fe8213c27a555dbdfa8c682.png)
![$b_2-b_1=0\qquad\eqno(2.3)$ $b_2-b_1=0\qquad\eqno(2.3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/1/7b1086f6510d7f780cd6e39a0215e98082.png)
(Примечание)
Здесь (2.2) и (2.3) также являются полином-функциями, но неотделимыми от (2.1). Вместе (2.1),(2.2),(2.3) - одно целое. Полином-функции (2.2) и (2.3) - естественное алгебраическое следствие из (2.1), что показано в пункте 1. (2.2) и (2.3) - аналоги стандартных производных, (2.1) - аналог стандартной первообразной.
Выразим из (2.2)
![$x_2-x_1$ $x_2-x_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/f/d5f372cd4d84bbe24a765d3cb37709e082.png)
и подставим в (2.1), получим
![$a_2^2-a_1^2=4b_1(f_2-f_1)\qquad\eqno(2.4)$ $a_2^2-a_1^2=4b_1(f_2-f_1)\qquad\eqno(2.4)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/2/9b2be2760d6e7391c871d645bf67c62382.png)
Из (2.4) и (2.3) следует, что у квадратичной полином-функции имеется вторая константа, значение которой не изменится при любом изменении аргумента:
![$a_1^2-4b_1f_1=a_2^2-4b_2f_2$ $a_1^2-4b_1f_1=a_2^2-4b_2f_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/a/8da7ab30db65dade0af0cbe2c9a91d2182.png)
.
3.Полностью аналогично и индуктивно можно получить описание кубической полином-функции
![$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2+c_1(x_2-x_1)^3\qquad\eqno(3.1)$ $f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2+c_1(x_2-x_1)^3\qquad\eqno(3.1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/1/57170c43cb64d1689a49098e6d907b3682.png)
![$a_2-a_1=2b_1(x_2-x_1)+3c_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(3.2)$ $a_2-a_1=2b_1(x_2-x_1)+3c_1(x_2-x_1)^2\qquad\eqno(3.2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/d/c5d42349c8162db19f6dd10238867d9c82.png)
![$b_2-b_1=3c_1(x_2-x_1)\qquad\eqno(3.3)$ $b_2-b_1=3c_1(x_2-x_1)\qquad\eqno(3.3)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/1/ab17b340d2400458e84751c2b2a9cdae82.png)
![$c_2-c_1=0\qquad\eqno(3.4)$ $c_2-c_1=0\qquad\eqno(3.4)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/4/3b45adb6af9c63730c084be73d1afa5b82.png)
Выразим
![$x_2-x_1$ $x_2-x_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/f/d5f372cd4d84bbe24a765d3cb37709e082.png)
из (3.3) и подставим в (3.2)
![$b_1^2-3a_1c_1=b_2^2-3a_2c_2\qquad\eqno(3.5)$ $b_1^2-3a_1c_1=b_2^2-3a_2c_2\qquad\eqno(3.5)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/e/aee7e2790299a9cde241466fe29efbb382.png)
Соотношение (3.5) описывает вторую константу кубической полином-функции.
Выразим
![$x_2-x_1$ $x_2-x_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/f/d5f372cd4d84bbe24a765d3cb37709e082.png)
из (3.3) и подставим в (3.1), получим
![$b_2^3-b_1^3-3(b_2-b_1)(b_1^2-3a_1c_1)=27c_1^2(f_2-f_1)\qquad\eqno(3.6)$ $b_2^3-b_1^3-3(b_2-b_1)(b_1^2-3a_1c_1)=27c_1^2(f_2-f_1)\qquad\eqno(3.6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/b/51b1f7c04fd4983af0e5a308ae7098e782.png)
Из (3.6) и (3.5) следует наличие третьей константы
![$b_1^3-3b_1(b_1^2-3a_1c_1)-27c_1^2f_1=b_2^3-3b_2(b_2^2-3a_2c_2)-27c_2^2f_2$ $b_1^3-3b_1(b_1^2-3a_1c_1)-27c_1^2f_1=b_2^3-3b_2(b_2^2-3a_2c_2)-27c_2^2f_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/f/0af1ccb460f9b55d6881691b8f47583382.png)
(Примечание)
Формулы (3.1)-(3.6) использовались в выводе решения кубического уравнения из стартового поста
Буду рад замечаниям и вопросам.