2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение14.10.2009, 16:13 


16/08/05
993
Пусть дана система равенств

$f=a_1x+b_1x^2+cx^3\qquad\eqno(1)$

$a_2-a_1=2b_1x+3cx^2\qquad\eqno(2)$

$b_2-b_1=3cx\qquad\eqno(3)$

где $x,f,a_1,a_2,b_1,b_2,c  \in \mathbb{R}$


Выразив из (3) $x$ и подставив его в (2) получим следующее равенство

$b_1^2-3a_1c=b_2^2-3a_2c\qquad\eqno(4)$


Аналогично из (3) и (1) получим равенство

$b_2^3-b_1^3-3(b_2-b_1)(b_1^2-3a_1c)=27c^2f\qquad\eqno(5)$


Будем смотреть на (1) как на уравнение относительно неизвестной $x$. Сделаем следующую замену неизвестной $x$

$x=X+\frac{1}{z}\qquad\eqno(6)$

где $X,z \in \mathbb{R}$, $X$ - параметр, $z\neq 0$ - новая неизвестная


Подставив (6) в (1) получим следующее уравнение относительно неизвестной $z$

$-c = (b_1 + 3 c X) z + (a_1 + 2 b_1 X + 3 c X^2) z^2 + (a_1 X + b_1 X^2 + c X^3 - f) z^3\qquad\eqno(7)$


Сделаем следующие обозначения

$\begin{cases}F=-c\\
A_1=b_1 + 3 c X\\
B_1=a_1 + 2 b_1 X + 3 c X^2\\
C=a_1 X + b_1 X^2 + c X^3 - f\end{cases}\qquad\eqno(7.0)$

Тогда (7) можно переписать в виде

$F=A_1z+B_1z^2+Cz^3\qquad\eqno(7.1)$


Предположим, что аналоги соотношений (2)-(5) имеются и для соотношения (7.1). Запишем их

$A_2-A_1=2B_1z+3Cz^2\qquad\eqno(7.2)$

$B_2-B_1=3Cz\qquad\eqno(7.3)$

$B_1^2-3A_1C=B_2^2-3A_2C\qquad\eqno(7.4)$

$B_2^3-B_1^3-3(B_2-B_1)(B_1^2-3A_1C)=27C^2F\qquad\eqno(7.5)$

где $A_2,B_2 \in \mathbb{R}$


Приравняем нулю левую часть (7.4) и подставим в неё соответствующие выражения из (7.0). Получим квадратное уравнение относительно $X$

$0=a_1^2 + 3 b_1 f + (a_1 b_1 + 9 c f) X + (b_1^2 - 3 a_1 c) X^2\qquad\eqno(8)$


Решение уравнения (8)

$X=\frac{-(a_1 b_1 + 9 c f) \pm \sqrt{(a_1 b_1 + 9 c f)^2-4 (b_1^2 - 3 a_1 c) (a_1^2 + 3 b_1 f)}}{2 (b_1^2 - 3 a_1 c)}\qquad\eqno(9)$


Т.к. $B_1^2-3A_1C=0$ и $F=-c$, то из (7.5) следует

$B_2^3=B_1^3-27cC^2\qquad\eqno(10)$


Обозначим правую часть (10) как $W$

$W=B_1^3-27cC^2\qquad\eqno(11)$


Тогда

$B_2=\left\{W^{1/3}\,,-(-1)^{1/3} W^{1/3}\,,(-1)^{2/3}W^{1/3}\right\}\qquad\eqno(12)$


Из (7.3) находим $z$

$z=\frac{B_2-B_1}{3C}\qquad\eqno(13)$


Тогда итоговое решение уравнения (1) относительно $x$ предстаёт в виде

$\begin{cases}
X=\frac{-(a_1 b_1 + 9 c f) + \sqrt{(a_1 b_1 + 9 c f)^2-4 (b_1^2 - 3 a_1 c) (a_1^2 + 3 b_1 f)}}{2 (b_1^2 - 3 a_1 c)}\\
C=a_1 X + b_1 X^2 + c X^3 - f\\
B_1=a_1 + 2 b_1 X + 3 c X^2\\
W=B_1^3-27cC^2\\
B_2=\left\{W^{1/3}\,,-(-1)^{1/3} W^{1/3}\,,(-1)^{2/3}W^{1/3}\right\}\\
x=X+\frac{3C}{B_2-B_1}
\end{cases}\qquad\eqno(14)$


(Код для проверки решения в Вольфрам Математика)

Код:
a = -119; b = -138; c = -177; f = -196;
X = (-a b - 9 c f + Sqrt[-4 (b^2 - 3 a c) (a^2 + 3 b f) + (a b + 9 c f)^2])/(2 (b^2 - 3 a c));
F = a X + b X^2 + c X^3 - f;
B = a + 2 b X + 3 c X^2;
W = B^3 - 27 c F^2;
B2 = {W^(1/3), -(-1)^(1/3) W^(1/3), (-1)^(2/3) W^(1/3)};
x = X + (3 F)/(B2 - B);
Print[N[x]]; Clear[x];
Print[NSolve[f == a x + b x^2 + c x^3]];


(Примечание)

Случай $z=0$ соответсвует кратным корням, т.е. формула не работает при наличии кратных корней


Предмет дискуссии - почему предположение о формулах (7.2)-(7.5) верное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение14.10.2009, 21:53 


16/03/07

823
Tashkent
dmd в сообщении #251640 писал(а):
$B={F^{1/3}\,,-(-1)^{1/3} F^{1/3}\,,(-1)^{2/3}F^{1/3}}$
    Чему равны $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ или это неопределенные значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение14.10.2009, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
dmd в сообщении #251640 писал(а):
Аксиоматика.
1) состояние - "мгновенный снимок" переменной
2) любая переменная есть изменение между двумя состояниями - начальным и конечным; любая переменная участвует в изложении в обоих своих состояниях - начальном и конечном - и соответственно двусимвольно обозначается
3) любая функция - полином, не существует функций-неполиномов
4) коэффициенты функции-полинома - меняются в зависимости от аргументов вместе с самой функцией, т.е. образуют (не являются, а только образуют) производные функции; сами по себе коэффициенты - не функции, а свободные члены (состояния) соответствующих производных функций
5) первообразная - функция, восстановленная из производной функции

Пока что это не аксиоматика, а какая-то странная каша из недоопределенных определений. Четко оговорите, пожалуйста, какие понятия вы берете в стандартном понимании, какие понятия и каким образом вводите заново (в четких и недвусмысленных терминах, а не так, как в п. 1) и, наконец, какими аксиоматическими свойствами вы их наделяете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение15.10.2009, 07:58 


16/08/05
993
Yarkin в сообщении #251740 писал(а):
    Чему равны $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ или это неопределенные значения?

Это просто числа, они равны самим себе.

Бодигрим в сообщении #251771 писал(а):
Пока что это не аксиоматика, а какая-то странная каша из недоопределенных определений. Четко оговорите, пожалуйста, какие понятия вы берете в стандартном понимании, какие понятия и каким образом вводите заново (в четких и недвусмысленных терминах, а не так, как в п. 1) и, наконец, какими аксиоматическими свойствами вы их наделяете.

Нестандартно ввожу переменную (п. 2), свойства ее таковы, что она становится более сложным объектом относительно стандартной переменной. П. 1 и меня смущает, но пока более понятно не могу объяснить, что такое состояние. Рассматриваем нечто меняющееся, называем его переменной. Переменная обладает двумя разными свойствами - состоянием и изменением, их природа различна, поэтому они вводятся раздельно. На этих тонкостях отличия состояния от изменения держится все остальное изложение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение15.10.2009, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
dmd в сообщении #251805 писал(а):
П. 1 и меня смущает, но пока более понятно не могу объяснить, что такое состояние.

Ну так возвращайтесь, когда сможете. И более того: между "объяснить" и "определить" тоже лежит немалая пропасть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение16.10.2009, 06:22 


16/03/07

823
Tashkent
dmd в сообщении #251805 писал(а):
Yarkin в сообщении #251740 писал(а):
    Чему равны $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ или это неопределенные значения?

Это просто числа, они равны самим себе.
    В какой области?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение16.10.2009, 23:04 


16/08/05
993
Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение17.10.2009, 00:17 
Аватара пользователя


25/03/08
241
dmd в сообщении #252337 писал(а):
Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

Вообще-то оно к тому ещё и неопределённо, несколько ветвей есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение17.10.2009, 07:34 


16/08/05
993
Считаю, что в записи $\left\{-(-1)^{1/3},(-1)^{2/3}\right\}$ две симметричные ветви полностью определённы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение17.10.2009, 13:20 


16/03/07

823
Tashkent
dmd в сообщении #252337 писал(а):
Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

    Тогда это не число, а $n$ чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение17.10.2009, 13:34 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
dmd в сообщении #252337 писал(а):
Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

Вовсе не всегда
(если Вы, конечно, не имели в виду, что любое вещественное число -- комплексно, что, конечно, верно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение18.10.2009, 10:31 


16/08/05
993
dmd в сообщении #252377 писал(а):
Считаю, что в записи $\left\{-(-1)^{1/3},(-1)^{2/3}\right\}$ две симметричные ветви полностью определённы.

Так же считают Математика, Pari/GP, Octave, Scilab. К сожалению, Maxima, Magna и Sage разочаровали - в ответ выдали единичку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение18.10.2009, 13:26 


16/03/07

823
Tashkent
dmd в сообщении #252667 писал(а):
Так же считают Математика, Pari/GP, Octave, Scilab. К сожалению, Maxima, Magna и Sage разочаровали - в ответ выдали единичку.

    Поэтому дискуссия ушла от аксиоматики, ибо с единичками не все ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение27.10.2009, 16:32 


16/08/05
993
Оказывается у Математики есть онлайн-калькулятор, в котором можно видеть развернутый ответ на ваши сомнения:
-(-1)^(1/3)
(-1)^(2/3)
x^3=A

Понимаю, вопрос про якобы неопределённость $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ имеет какие-то методические корни - либо вам так преподавали, либо вы такие книжки читали. Но в любом случае это не верно, ибо неопределенность (многозначность) может присутствовать в уравнениях, но никогда в записях их решений (и вообще в любых вычислительных записях), которые обязаны быть однозначными для фактической вычисляемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический анализ
Сообщение27.10.2009, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Фееричная тенденция появилась последнее время - аппелировать к системам компьютерной алгебры как к высшим арбитрам. Между тем та же Mathematica специально оговаривает в документации, что при возведении в степень $a^b$ комплексных чисел она выводит не что-нибудь, а главное значение $e^{b\log a}$. Вам достаточно было сказать то же самое, а не говорить, что $a^b$ - "это просто число". Потому что без оговорки о главном значении функция возведения в комплексную степень - откровенно многозначная.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group