2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 19:55 


16/04/18
211
Выскажу по поводу кощунственную для многих мысль: вера в существование формул для решения уравнений 3-4 - это именно вера, её можно оспорить и подвергнуть сомнению. Причина в том, что мы верим в возможность извлечь корень любой степени из комплексного числа, как учим этому студентов. На самом деле это невозможно уже для корня 3 степени- не существует способа по данному комплексному числу, заданному в алгебраической форме, выписать его корни, кроме квадратных, также в алгебраической форме. Поэтому и угол не поделить на три части, по синусу тройного угла не найти сам угол, не решить реально уравнения 3-4 степени по знаменитым формулам и тд - всё это эквивалентные задачи. На мой взгляд давно пора всю теорию решения полиноминальных уравнений в классическом виде, начиная с формул для 3-4 степени и далее любой, передавать в архив для изучения историками и энтузиастами. Есть другие методы, реально эффективные и для выписывания явных формул, и для численных расчётов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5610
novichok2018 в сообщении #1312200 писал(а):
Выскажу по поводу кощунственную для многих мысль: вера в существование формул для решения уравнений 3-4 - это именно вера, её можно оспорить и подвергнуть сомнению. Причина в том, что мы верим в возможность извлечь корень любой степени из комплексного числа, как учим этому студентов. На самом деле это невозможно уже для корня 3 степени- не существует способа по данному комплексному числу, заданному в алгебраической форме, выписать его корни, кроме квадратных, также в алгебраической форме.


Вы смешиваете разрешимость в комплексных радикалах и разрешимость в вещественных радикалах.

То, что любое кубическое уравнение решается в комплексных радикалах -- это формула Кардано.

То, что не любое решается в вещественных радикалах (даже если все корни вещественные) -- это casus irreducibilis

https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

известный уже почти 200 лет. Собственно, этот случай будет иметь место всегда, когда многочлен неприводим и все три корня вещественны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 22:30 


16/04/18
211
g______d
В формуле Кардано стоит корень третьей степени из комплексного числа. Вы умеете извлекать такой корень? Я - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5610
novichok2018 в сообщении #1312224 писал(а):
Вы умеете извлекать такой корень? Я - нет.


Что значит "умеете извлекать"? Например, умею ли я извлекать корень третьей степени из двух? Или из $i$? Если под "извлекать" подразумевается "выразить через вещественные радикалы", то см. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 23:02 
Заслуженный участник


20/08/14
6079
Россия, Москва

(Некорректный совет)

Ну если посчитать очень надо хочется, то можно плюнуть на математическую строгость и вспомнить как оно вводилось, $\sqrt{-1}$ (ну и $\sqrt[3]{-1}$ заодно) считать неким таким числом, которое в результатах всё равно сократится и всё останется вещественным. А то что в процессе в выкладках будет нечто малопонятное - ну, тут уж "или шашечки, или ехать".

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 23:08 
Заслуженный участник


04/05/09
4480
novichok2018 в сообщении #1312224 писал(а):
g______d
В формуле Кардано стоит корень третьей степени из комплексного числа. Вы умеете извлекать такой корень? Я - нет.
Точно так же как и корень третьей степени из вещественного числа.
В обоих случаях можно либо удовлетвориться простой записью радикала, либо применить алгоритм (Ньютона) для получения (приблизительного) численного значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 23:22 


16/04/18
211
Зачем подменять высказанные чётко формулировки на свои другие? Было сформулировано: по данному комплексному числу в алгебраической форме не умею выписывать корень (или корни) из него также в алгебраической форме. Не больше-не меньше. Если считать, что это умеешь-есть повод радоваться формуле Кардано, если считать что не умеешь-есть повод ничего хорошего в ней не видеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16906
Москва
novichok2018 в сообщении #1312232 писал(а):
Зачем подменять высказанные чётко формулировки на свои другие? Было сформулировано: по данному комплексному числу в алгебраической форме не умею выписывать корень (или корни) из него также в алгебраической форме.
g______d в сообщении #1312202 писал(а):
То, что не любое решается в вещественных радикалах (даже если все корни вещественные) -- это casus irreducibilis
https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

известный уже почти 200 лет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26011
novichok2018 в сообщении #1312232 писал(а):
если считать что не умеешь-есть повод ничего хорошего в ней не видеть
Ну нет хорошего и нет (а формула есть, вопреки вашему изначальному «вера в существование формул для решения уравнений 3-4» — они существуют ровно в том виде, в котором про них говорят: выражение в радикалах; как уже говорили, никто не обещал вещественных радикалов, а трудность их численного нахождения всё равно совершенно одинаковая). Тем временем некоторые оценивают действительность более интересным образом, чем абсолютизированное зачем-то «хорошо — плохо».

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение13.05.2018, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5610
Тогда поясните вашу "высказанную чётко" формулировку

novichok2018 в сообщении #1312232 писал(а):
в алгебраической форме


А потом поищите где-нибудь, что такое вещественные радикалы, и сравните.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение14.05.2018, 07:44 


21/05/16
2490
Аделаида
novichok2018 в сообщении #1312232 писал(а):
Было сформулировано: по данному комплексному числу в алгебраической форме не умею выписывать корень (или корни) из него также в алгебраической форме.

Поищите формулу Муавра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение14.05.2018, 07:49 


16/04/18
211
Дать ссылку, что такое алгебраическая форма комплексного числа, зачем это спрашивать, это первое определение в курсе КП? Вещественные/невещественные радикалы тут не при чём. Извлеките корень кубический из $123+117 i$, приведите ответ. Такие корни нужно извлекать по формуле Кардано.
И формула Муавра тут не при чём. Кстати он не Муавр, а де Муавр, фамильная приставка входит в фамилию, это даже в адресной книге телефона сейчас отражено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение14.05.2018, 08:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1028
МО
А чем Вас не устраивает вот это, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение14.05.2018, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5610
novichok2018 в сообщении #1312266 писал(а):
Извлеките корень кубический из $123+117 i$, приведите ответ.


А в чём подвох? Ну будут там косинусы арктангенсов, ну и что? Формула Кардано же не про то, как обойтись без тригонометрии в "алгебраической форме записи комплексного числа", а про то, как свести решение кубического уравнения к конечному количеству стандартных алгебраических операций над коэффициентами и извлечению комплексных корней третьей степени. Про то, можно ли сами корни вычислять без тригонометрии, она ничего не говорит. Иногда даже можно доказать, что нельзя, см. ссылку про вещественные радикалы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения
Сообщение14.05.2018, 09:07 


16/04/18
211
пианист
Да устраивает, только всё то же (корни с любой точностью) тем же самым (альфой) можно получить и без формулы Кардано. На мой взгляд записать эту формулу или словами КОРНИ ЭТОГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ - это почти одно и тоже. При всём уважении к Кардано и другим, кто формулу вывел. Можно думать иначе-больше не буду спорить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group