ВТФ by Виктор Сорокин

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Нет, явно не понимаете.

Вы хотите это?

=============

Числовой пример для b=100, n=3

После преобразования последней цифры числа $a$ в 1 (с помощью умножения равенства Ферма на некоторое однозначное число в степени $nn$) автоматически преобразуется в ноль и предпоследняя цифра, т.к. в равенстве Ферма двузначные окончания каждого из трех оснований совпадают с двузначными окончаниями их степеней.
И уравнение Ферма для b=100 и n=3
1° $a^n=c^n-b^n=(c-b)R$ принимает вид:
2° $…01^3=…01^3-…00^3$.

Везде ниже слово «число» означает лишь ДВУЗНАЧНОЕ ОКОНЧАНИЕ этого числа, поскольку остальные цифры чисел нас не интересуют.

Увеличение числа $b=…00$ на 1 ведет к увеличению числа $b^n$, следовательно, и к уменьшению числа $c^n-b^n$ на 1. Действительно, число $(…00+1)^n=…000+1$.
Из этого следует и обратное:
3° Уменьшение $b^*=…00+1$ на 1 ведет к уменьшению числа $b^*^n$, следовательно, и к увеличению числа $c^n-b^*^n$ на 1.

Увеличим $b=…00$ до значения $b^*=…01$. Теперь правая часть в равенстве 2° имеет вид:
4° $…01^3-…01^3=(..00)(…01^2+…01^2+…01^2)$, где второй сомножитель $R=…01^2+…01^2+…01^2=...10$ оканчивается на 10.

А теперь вернемся назад: восстановим первоначальное значение $b=…00$, уменьшив $b^*$ на 1.
При этом, согласно 3°, двузначное окончание числа $c^n-b^*^n=…01^3-…01^3$, РАВНОЕ 00, увеличится на 1. И так как первый сомножитель в равенстве 4° есть 1, то увеличение на 1 числа $c^n-b^*^n$ может произойти только за счет увеличения второго сомножителя – $R$, а именно: вместо 10 оно становится равным 10+1=11. Но такое двузначное окончание не имеет ни одно число в кубе!

Таким образом, число $R$ – а ВМЕСТЕ с ним и число $a^n$! – изначально НЕ ЯВЛЯЕТСЯ $n$-й степенью: $R$ ≠ $R'^n$. Что и требовалось доказать.

Спрашивается, какие из этих вычислений нужно дать подробнее и насколько?

[Сорокин Виктор]

Dan_Te писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

И если доказательство окажется верным (а всё говорит об этом),

Горбатого могила исправит.

Спасибо за пожелание нескучно пожить после смерти - повоевать с могилой! Надеюсь, эта война растянется не на одно столетие...

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

И так как первый сомножитель в равенстве 4° есть 1,

Во-первых, первый сомножитель в этом равенстве есть $\dots 00$.

Сорокин Виктор писал(а):

то увеличение на 1 числа $c^n-b^*^n$ может произойти только за счет увеличения второго сомножителя

Во-вторых, когда Вы заменяете $b$ на $b^*=b+1$ и наоборот, то изменяются оба множителя; в частности, первый при обратной замене изменяется с $\dots 00$ на $\dots 01$.

В-третьих, заменяя сначала $b$ на $b^*$, а потом наоборот, трудно получить что-либо, отличающееся от первоначального равенства.

В-четвёртых, всё это не имеет ни малейшего отношения к теореме Ферма.

И в-пятых, если бы Вы действительно проделали все вычисления на числовом примере, как я Вас просил (но так и не допросился), то Вы бы это всё сами могли увидеть.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

И так как первый сомножитель в равенстве 4° есть 1,

Во-первых, первый сомножитель в этом равенстве есть $\dots 00$.

Да, 00 (оговорился), и именно поэтому второй сомножитель оканчивается на 10.

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

то увеличение на 1 числа $c^n-b^*^n$ может произойти только за счет увеличения второго сомножителя

Во-вторых, когда Вы заменяете $b$ на $b^*=b+1$ и наоборот, то изменяются оба множителя; в частности, первый при обратной замене изменяется с $\dots 00$ на $\dots 01$.

И это замечательно, что на 01, ибо БЛАГОДАРЯ ЭТОМУ второй сомножитель увеличивается на 1.

Someone писал(а):

В-третьих, заменяя сначала $b$ на $b^*$, а потом наоборот, трудно получить что-либо, отличающееся от первоначального равенства.

И это замечательно: если в конце этой работы я получаю число 11, значит таковым оно было и в самом начале!

Someone писал(а):

В-четвёртых, всё это не имеет ни малейшего отношения к теореме Ферма.

Без слов…

Someone писал(а):

И в-пятых, если бы Вы действительно проделали все вычисления на числовом примере, как я Вас просил (но так и не допросился), то Вы бы это всё сами могли увидеть.

Вы так и не ответили, какое место в моих вычислениях пропущено.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Someone писал(а):

В-четвёртых, всё это не имеет ни малейшего отношения к теореме Ферма.

Без слов…

Ну почему же, слова найти можно. Если бы Вы здесь были правы, то немедленно рухнула бы вся математика. Впрочем, это типично для Ваших методов: если бы они работали, то никакая математика была бы невозможна.

Сорокин Виктор писал(а):

Вы так и не ответили, какое место в моих вычислениях пропущено.

Вот это:

Сорокин Виктор писал(а):

И это замечательно, что на 01, ибо БЛАГОДАРЯ ЭТОМУ второй сомножитель увеличивается на 1.

Вы утверждаете, что второй множитель увеличивается на 1, не проверив этого прямым вычислением.

Я Вам могу подкинуть примерчик для арифметических упражнений (индекс в записи чисел означает основание системы счисления):

Пусть $a=\dots 00110002002102110101_3$, $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$;
можно проверить, что $a^3+b^3\equiv c^3\pmod{3^{21}}$.

Обозначим $A=\dots 1020102021012020021_3$, $B=\dots 0102212000002221200_3$, $C=\dots 0012121002221111001_3$;
можно проверить, что $a+b\equiv C^3\pmod{3^{20}}$, $c-a\equiv\frac{B^3}{3}\pmod{3^{20}}$, $c-b\equiv A^3\pmod{3^{20}}$.

Вычисляем $\frac{a^3+b^3}{a+b}=\dots 10020211122110021001_3$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}=\dots 02210011002202002010_3$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$.

Обозначим $A_1=\dots 0120011112011210111_3$, $B_1=\dots 0212000000001012021_3$, $C_1=\dots 0111122102100022101_3$;
можно проверить, что $\frac{a^3+b^3}{a+b}\equiv C_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}\equiv 3B_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}\equiv A_1^3\pmod{3^{20}}$.

Проверьте свои рассуждения конкретными вычислениями.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Вы так и не ответили, какое место в моих вычислениях пропущено.

Вот это:

Сорокин Виктор писал(а):

И это замечательно, что на 01, ибо БЛАГОДАРЯ ЭТОМУ второй сомножитель увеличивается на 1.

Вы утверждаете, что второй множитель увеличивается на 1, не проверив этого прямым вычислением.

Я Вам могу подкинуть примерчик для арифметических упражнений (индекс в записи чисел означает основание системы счисления):

Пусть $a=\dots 00110002002102110101_3$, $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$;
можно проверить, что $a^3+b^3\equiv c^3\pmod{3^{21}}$.

Обозначим $A=\dots 1020102021012020021_3$, $B=\dots 0102212000002221200_3$, $C=\dots 0012121002221111001_3$;
можно проверить, что $a+b\equiv C^3\pmod{3^{20}}$, $c-a\equiv\frac{B^3}{3}\pmod{3^{20}}$, $c-b\equiv A^3\pmod{3^{20}}$.

Вычисляем $\frac{a^3+b^3}{a+b}=\dots 10020211122110021001_3$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}=\dots 02210011002202002010_3$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$.

Обозначим $A_1=\dots 0120011112011210111_3$, $B_1=\dots 0212000000001012021_3$, $C_1=\dots 0111122102100022101_3$;
можно проверить, что $\frac{a^3+b^3}{a+b}\equiv C_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}\equiv 3B_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}\equiv A_1^3\pmod{3^{20}}$.

Проверьте свои рассуждения конкретными вычислениями.

Ваш пример не адекватен моему доказательству:
во-первых, у меня при вычислении двузначных окончаний сомножителей $R^*$ и $R$ число $a$ не участвует;
во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):
«Пусть … $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$;» и
«Вычисляем … $\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$.»
При этом $R^*=…10$ (при $b=\dots 02020002112011222201_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$). Как видим, увеличение составляет 01.
В-третьих, для проверки достаточно взять лишь трехзначные окончания.
Однако спасибо за проделанную работу.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Ваш пример не адекватен моему доказательству:
во-первых, у меня при вычислении двузначных окончаний сомножителей $R^*$ и $R$ число $a$ не участвует;

А у меня разве участвует? Если я правильно понял, то $R=\frac{c^3-b^3}{c-b}$, $R^*=\frac{c^3-(b^*)^3}{c-b^*}$, где $b^*=b+1$.

Сорокин Виктор писал(а):

во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):

Внимательно посмотрите, увеличивается двузначное окончание при переходе от $R^*$ к $R$ или уменьшается:
$R^*=\dots 02100102220211110010_3$ и
$R^{\phantom *}=\dots 11222222110211100101_3$?

Сорокин Виктор писал(а):

В-третьих, для проверки достаточно взять лишь трехзначные окончания.

Ну, это сегодня Вы говорите, что достаточно трёх цифр. А вчера говорили, что хватит двух. А потом скажете, что нужно семь или пятнадцать. Да и не жалко мне, подбирать их нетрудно. Я написал маленькую программку для математической системы Mathematica, и с её помощью подобрал 20 цифр (за 167 секунд).

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):

Внимательно посмотрите, увеличивается двузначное окончание при переходе от $R^*$ к $R$ или уменьшается:
$R^*=\dots 02100102220211110010_3$ и
$R^{\phantom *}=\dots 11222222110211100101_3$?

Это для меня трудно: понять - увеличивается или уменьшается. Пусть уменьшается. Но и в этом случае двузначное окончание у $R$ становится равным 10-01=09, ни никак не 01, как должно быть согласно степенному свойству числа $R$.

Сорокин Виктор писал(а):

В-третьих, для проверки достаточно взять лишь трехзначные окончания.

Someone писал(а):

Ну, это сегодня Вы говорите, что достаточно трёх цифр. А вчера говорили, что хватит двух. А потом скажете, что нужно семь или пятнадцать. Да и не жалко мне, подбирать их нетрудно. Я написал маленькую программку для математической системы Mathematica, и с её помощью подобрал 20 цифр (за 167 секунд).

Этим Вашим искусством я восхищен с первых Ваших примеров. Двух цифр нужно для доказательства, а если оно ошибочно, то почти наверняка должно опровергаться вычислением трехзначных окончаний.

Предполагаемая причина Вашего подозрения: возможно, при измененном $b$ Вы находите новое измененное значение $a$, которое заведомо не является целочисленным, т.к. по допущению таковым является первоначальное $a$.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):

Внимательно посмотрите, увеличивается двузначное окончание при переходе от $R^*$ к $R$ или уменьшается:
$R^*=\dots 02100102220211110010_3$ и
$R^{\phantom *}=\dots 11222222110211100101_3$?

Это для меня трудно: понять - увеличивается или уменьшается. Пусть уменьшается. Но и в этом случае двузначное окончание у $R$ становится равным 10-01=09, ни никак не 01, как должно быть согласно степенному свойству числа $R$.

Вы, похоже, забыли своё рассуждение, которое мы обсуждаем:

Сорокин Виктор писал(а):

Вот Числовой пример для b=100, n=3:
сначала преобрузуем последнюю цифру числа $c$ в 1;
затем увеличим число $b$ на 1: $b^*=b+1$;
теперь двузначное окончание числа $R^*=c^2+cb^*+b*^2$ будет 01+01+01=10;
и после обратного уменьшения $b^*$ до значения $b$ двузначное окончание числа $R^*$ увеличивается на 1 (т.к. двузначное окончание числа $c^n-b^n$ увеличивается на 1) и превращается в число $R$ со значением двузначного окончания равным 10 + 01 = 11 (не исключено, что здесь я ошибаюсь и правильным будет 10-01=02), в то время как оно обязано быть равным 01, т.к. является окончанием куба числа, оканчивающегося на 1.

У нас $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$, так что $R=\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$. Первый этап Ваших преобразований можно пропустить, поскольку число $c$ и так оканчивается на $1$. Число $R$, будучи кубом числа $A_1=\dots 0120011112011210111_3$, имеет правильное окончание $\dots 01_3$.
Увеличивая число $b$ на $1$, получим $b^*=b+1=\dots 02020002112011222201_3$, при этом $R^*=\frac{c^3-(b^*)^3}{c-b^*}=\dots 02100102220211110010_3$ (запись $R^*$ в троичной системе счисления должна оканчиваться на один ноль, так как $c-b^*=\dots 22200011212110010200_3$ делится на $3$); легко видеть, что $R^*-R=\dots 20100110110000002202_3$, так что двузначное окончание увеличивается на $02_3$.
Делая обратную замену $b^*$ на $b$, мы, естественно, вернёмся к числу $R$, так что теперь двузначное окончание уменьшится на те же самые $02_3$. С чего Вы взяли, что оно должно увеличиться (или уменьшиться) на $01_3$?

Именно для того, чтобы помочь Вам избегать подобных глупостей, я и пытался (долгое время) приучить Вас проверять всё на численных примерах. К сожалению, я в этом не преуспел, и Вы опять пишете всякую ерунду.

Сорокин Виктор писал(а):

Предполагаемая причина Вашего подозрения: возможно, при измененном $b$ Вы находите новое измененное значение $a$, которое заведомо не является целочисленным, т.к. по допущению таковым является первоначальное $a$.

Нет, причина моего подозрения совсем иная: делая два взаимно обратных преобразования, мы всегда возвращаемся к исходному положению, в то время как Вы утверждаете нечто совершенно другое.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Нет, причина моего подозрения совсем иная: делая два взаимно обратных преобразования, мы всегда возвращаемся к исходному положению, в то время как Вы утверждаете нечто совершенно другое.

Я, кажется, понимаю, что Вас смущает в моем доказательстве. Это нижеследующее:
$c^n-b^n=…01$ с $R=…01$,
$c^n-b^*^n=…00$ с $R^*=…10$,
$( c^n-b^n )-(c^n-b^*^n)=…01$,
НО с
$R^*+…01$ ≠ 01 (и $R^*-…01$ ≠ 01).

Замечание за overquoting. Читайте правила. Исправьте Ваше сообщение. Следующее нарушение повлечет наказание. //cepesh

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

НО с
$R^*+…01$ ≠ 01 (и $R^*-…01$ ≠ 01).

Ну и что? Эти равенства НЕ ДОЛЖНЫ и НЕ МОГУТ выполняться. Если бы они выполнялись, это противоречило бы элементарной арифметике, причём, вне всякой связи с ВТФ. Откуда Вы их взяли?

P.S. Знак "не равно" кодируется в \TeX как \ne: $R^*+…01\ne 01$.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

НО с
$R^*+…01$ ≠ 01 (и $R^*-…01$ ≠ 01).

Ну и что? Эти равенства НЕ ДОЛЖНЫ и НЕ МОГУТ выполняться. Если бы они выполнялись, это противоречило бы элементарной арифметике, причём, вне всякой связи с ВТФ. Откуда Вы их взяли?

P.S. Знак "не равно" кодируется в \TeX как \ne: $R^*+…01\ne 01$.

Подозреваю, что моё последнее доказательство неверно (статистика победила!). И Вы правы.
Однако в запасниках я нашел классическую идею для доказательства первого случая (число $abc$ не длится на $n$). (К сожалению, во втором случае метод как будто не работает.)
Вот это доказательство. Оно основано на том, что в равенстве Ферма двузначное окончание каждого из чисел совпадает с двузначным окончание их степени. Поэтому:

1° Умножим равенство на каждую положительную цифру в степени $nn$ (в базе с простым $n$) и затем
2° Сложим $n-1$ равенств.
А теперь подсчитаем 4-значное окончание результата.
Для начала положим, что третьи цифры у всех трех чисел равны нулю. Тогда четвертая цифра равенства (при нуле в правой части равенства), как легко подсчитать, равна $(n-1)/2$.
А если в числах есть третьи цифры отличные от нуля, то четвертые цифры в их степенях в итоге окажутся умноженными на ноль. Так что четвертая цифра (от конца) в левой части суммарного равенства остается равной $(n-1)/2$ при нуле в правой части равенства.

[shwedka]

Сорокин Виктор

Цитата:

Подозреваю, что моё последнее доказательство неверно

И кто бы мог подумать!!!!

Цитата:

Умножим равенство на каждую положительную цифру...

Цитата:

Сложим n-1 равенств

А на нолик умножать не пробовали???
Или делить???
Архиинтересно!!! Посильнее Фауста, батенька!!!

Серьезно, Виктор, может, чуть попроверяете свои идеи, прежде, чем обнародовать!!!

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

...Однако в запасниках я нашел классическую идею для доказательства первого случая (число $abc$ не длится на $n$). (К сожалению, во втором случае метод как будто не работает.)
Вот это доказательство. Оно основано на том, что в равенстве Ферма двузначное окончание каждого из чисел совпадает с двузначным окончание их степени. Поэтому:

1° Умножим равенство на каждую положительную цифру в степени $nn$ (в базе с простым $n$) и затем
2° Сложим $n-1$ равенств.
А теперь подсчитаем 4-значное окончание результата.
Для начала положим, что третьи цифры у всех трех чисел равны нулю. Тогда четвертая цифра равенства (при нуле в правой части равенства), как легко подсчитать, равна $(n-1)/2$.
А если в числах есть третьи цифры отличные от нуля, то четвертые цифры в их степенях в итоге окажутся умноженными на ноль. Так что четвертая цифра (от конца) в левой части суммарного равенства остается равной $(n-1)/2$ при нуле в правой части равенства.

++++++++++++++++
Немного поразмыслив, я пришел к выводу, что достаточно уможать равенство Ферма на цифры в степени $n$. Тогда каждая вторая цифра есть вторая цифра степени и ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ коррелирующая добавка равна нулю.
Теперь после суммирования $n-1$ равенств $a^n+b^n-c^n=0$ третья цифра результата в левой части есть $(n-1)/2$, а не ноль. Вот, как будто, и всё. Дело стоит за доказательством второго случая – с одним из оснований кратным $n$.

[Сорокин Виктор]

shwedka писал(а):

А на нолик умножать не пробовали???

Именно эта ИЛЛЮЗИЯ заставила меня когда-то отбросить замечательную идею.
++++++++++++++++
6 июля:
Судя по всему, не только Вы оказались не готовы объяснить и понять один момент:
почему мое доказательство ВТФ (для первого случая) не опровергает равенство 2+3=5 в системе счисления по основанию 7.