Пусть дана система равенств



где

Выразив из (3)

и подставив его в (2) получим следующее равенство

Аналогично из (3) и (1) получим равенство

Будем смотреть на (1) как на уравнение относительно неизвестной

. Сделаем следующую замену неизвестной


где

,

- параметр,

- новая неизвестная
Подставив (6) в (1) получим следующее уравнение относительно неизвестной


Сделаем следующие обозначения

Тогда (7) можно переписать в виде

Предположим, что аналоги соотношений (2)-(5) имеются и для соотношения (7.1). Запишем их




где

Приравняем нулю левую часть (7.4) и подставим в неё соответствующие выражения из (7.0). Получим квадратное уравнение относительно


Решение уравнения (8)

Т.к.

и

, то из (7.5) следует

Обозначим правую часть (10) как


Тогда

Из (7.3) находим


Тогда итоговое решение уравнения (1) относительно

предстаёт в виде

(Код для проверки решения в Вольфрам Математика)
Код:
a = -119; b = -138; c = -177; f = -196;
X = (-a b - 9 c f + Sqrt[-4 (b^2 - 3 a c) (a^2 + 3 b f) + (a b + 9 c f)^2])/(2 (b^2 - 3 a c));
F = a X + b X^2 + c X^3 - f;
B = a + 2 b X + 3 c X^2;
W = B^3 - 27 c F^2;
B2 = {W^(1/3), -(-1)^(1/3) W^(1/3), (-1)^(2/3) W^(1/3)};
x = X + (3 F)/(B2 - B);
Print[N[x]]; Clear[x];
Print[NSolve[f == a x + b x^2 + c x^3]];
(Примечание)
Случай

соответсвует кратным корням, т.е. формула не работает при наличии кратных корней
Предмет дискуссии - почему предположение о формулах (7.2)-(7.5) верное.