Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения

[dmd]

Пусть дана система равенств

$f=a_1x+b_1x^2+cx^3\qquad\eqno(1)$

$a_2-a_1=2b_1x+3cx^2\qquad\eqno(2)$

$b_2-b_1=3cx\qquad\eqno(3)$

где $x,f,a_1,a_2,b_1,b_2,c \in \mathbb{R}$


Выразив из (3) $x$ и подставив его в (2) получим следующее равенство

$b_1^2-3a_1c=b_2^2-3a_2c\qquad\eqno(4)$


Аналогично из (3) и (1) получим равенство

$b_2^3-b_1^3-3(b_2-b_1)(b_1^2-3a_1c)=27c^2f\qquad\eqno(5)$


Будем смотреть на (1) как на уравнение относительно неизвестной $x$. Сделаем следующую замену неизвестной $x$

$x=X+\frac{1}{z}\qquad\eqno(6)$

где $X,z \in \mathbb{R}$, $X$ - параметр, $z\neq 0$ - новая неизвестная


Подставив (6) в (1) получим следующее уравнение относительно неизвестной $z$

$-c = (b_1 + 3 c X) z + (a_1 + 2 b_1 X + 3 c X^2) z^2 + (a_1 X + b_1 X^2 + c X^3 - f) z^3\qquad\eqno(7)$


Сделаем следующие обозначения

$\begin{cases}F=-c\\ A_1=b_1 + 3 c X\\ B_1=a_1 + 2 b_1 X + 3 c X^2\\ C=a_1 X + b_1 X^2 + c X^3 - f\end{cases}\qquad\eqno(7.0)$

Тогда (7) можно переписать в виде

$F=A_1z+B_1z^2+Cz^3\qquad\eqno(7.1)$


Предположим, что аналоги соотношений (2)-(5) имеются и для соотношения (7.1). Запишем их

$A_2-A_1=2B_1z+3Cz^2\qquad\eqno(7.2)$

$B_2-B_1=3Cz\qquad\eqno(7.3)$

$B_1^2-3A_1C=B_2^2-3A_2C\qquad\eqno(7.4)$

$B_2^3-B_1^3-3(B_2-B_1)(B_1^2-3A_1C)=27C^2F\qquad\eqno(7.5)$

где $A_2,B_2 \in \mathbb{R}$


Приравняем нулю левую часть (7.4) и подставим в неё соответствующие выражения из (7.0). Получим квадратное уравнение относительно $X$

$0=a_1^2 + 3 b_1 f + (a_1 b_1 + 9 c f) X + (b_1^2 - 3 a_1 c) X^2\qquad\eqno(8)$


Решение уравнения (8)

$X=\frac{-(a_1 b_1 + 9 c f) \pm \sqrt{(a_1 b_1 + 9 c f)^2-4 (b_1^2 - 3 a_1 c) (a_1^2 + 3 b_1 f)}}{2 (b_1^2 - 3 a_1 c)}\qquad\eqno(9)$


Т.к. $B_1^2-3A_1C=0$ и $F=-c$, то из (7.5) следует

$B_2^3=B_1^3-27cC^2\qquad\eqno(10)$


Обозначим правую часть (10) как $W$

$W=B_1^3-27cC^2\qquad\eqno(11)$


Тогда

$B_2=\left\{W^{1/3}\,,-(-1)^{1/3} W^{1/3}\,,(-1)^{2/3}W^{1/3}\right\}\qquad\eqno(12)$


Из (7.3) находим $z$

$z=\frac{B_2-B_1}{3C}\qquad\eqno(13)$


Тогда итоговое решение уравнения (1) относительно $x$ предстаёт в виде

$\begin{cases} X=\frac{-(a_1 b_1 + 9 c f) + \sqrt{(a_1 b_1 + 9 c f)^2-4 (b_1^2 - 3 a_1 c) (a_1^2 + 3 b_1 f)}}{2 (b_1^2 - 3 a_1 c)}\\ C=a_1 X + b_1 X^2 + c X^3 - f\\ B_1=a_1 + 2 b_1 X + 3 c X^2\\ W=B_1^3-27cC^2\\ B_2=\left\{W^{1/3}\,,-(-1)^{1/3} W^{1/3}\,,(-1)^{2/3}W^{1/3}\right\}\\ x=X+\frac{3C}{B_2-B_1} \end{cases}\qquad\eqno(14)$

(Код для проверки решения в Вольфрам Математика)

a = -119; b = -138; c = -177; f = -196;
X = (-a b - 9 c f + Sqrt[-4 (b^2 - 3 a c) (a^2 + 3 b f) + (a b + 9 c f)^2])/(2 (b^2 - 3 a c));
F = a X + b X^2 + c X^3 - f;
B = a + 2 b X + 3 c X^2;
W = B^3 - 27 c F^2;
B2 = {W^(1/3), -(-1)^(1/3) W^(1/3), (-1)^(2/3) W^(1/3)};
x = X + (3 F)/(B2 - B);
Print[N[x]]; Clear[x];
Print[NSolve[f == a x + b x^2 + c x^3]];

(Примечание)

Случай $z=0$ соответсвует кратным корням, т.е. формула не работает при наличии кратных корней

Предмет дискуссии - почему предположение о формулах (7.2)-(7.5) верное.

[Yarkin]

dmd в сообщении #251640 писал(а):

$B={F^{1/3}\,,-(-1)^{1/3} F^{1/3}\,,(-1)^{2/3}F^{1/3}}$

Чему равны $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ или это неопределенные значения?

[Бодигрим]

dmd в сообщении #251640 писал(а):

Аксиоматика.
1) состояние - "мгновенный снимок" переменной
2) любая переменная есть изменение между двумя состояниями - начальным и конечным; любая переменная участвует в изложении в обоих своих состояниях - начальном и конечном - и соответственно двусимвольно обозначается
3) любая функция - полином, не существует функций-неполиномов
4) коэффициенты функции-полинома - меняются в зависимости от аргументов вместе с самой функцией, т.е. образуют (не являются, а только образуют) производные функции; сами по себе коэффициенты - не функции, а свободные члены (состояния) соответствующих производных функций
5) первообразная - функция, восстановленная из производной функции

Пока что это не аксиоматика, а какая-то странная каша из недоопределенных определений. Четко оговорите, пожалуйста, какие понятия вы берете в стандартном понимании, какие понятия и каким образом вводите заново (в четких и недвусмысленных терминах, а не так, как в п. 1) и, наконец, какими аксиоматическими свойствами вы их наделяете.

[dmd]

Yarkin в сообщении #251740 писал(а):

Чему равны $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ или это неопределенные значения?

Это просто числа, они равны самим себе.

Бодигрим в сообщении #251771 писал(а):

Пока что это не аксиоматика, а какая-то странная каша из недоопределенных определений. Четко оговорите, пожалуйста, какие понятия вы берете в стандартном понимании, какие понятия и каким образом вводите заново (в четких и недвусмысленных терминах, а не так, как в п. 1) и, наконец, какими аксиоматическими свойствами вы их наделяете.

Нестандартно ввожу переменную (п. 2), свойства ее таковы, что она становится более сложным объектом относительно стандартной переменной. П. 1 и меня смущает, но пока более понятно не могу объяснить, что такое состояние. Рассматриваем нечто меняющееся, называем его переменной. Переменная обладает двумя разными свойствами - состоянием и изменением, их природа различна, поэтому они вводятся раздельно. На этих тонкостях отличия состояния от изменения держится все остальное изложение.

[Бодигрим]

dmd в сообщении #251805 писал(а):

П. 1 и меня смущает, но пока более понятно не могу объяснить, что такое состояние.

Ну так возвращайтесь, когда сможете. И более того: между "объяснить" и "определить" тоже лежит немалая пропасть.

[Yarkin]

dmd в сообщении #251805 писал(а):

Yarkin в сообщении #251740 писал(а):

Чему равны $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ или это неопределенные значения?

Это просто числа, они равны самим себе.

В какой области?

[dmd]

Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

[Nilenbert]

dmd в сообщении #252337 писал(а):

Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

Вообще-то оно к тому ещё и неопределённо, несколько ветвей есть.

[dmd]

Считаю, что в записи $\left\{-(-1)^{1/3},(-1)^{2/3}\right\}$ две симметричные ветви полностью определённы.

[Yarkin]

dmd в сообщении #252337 писал(а):

Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

Тогда это не число, а $n$ чисел.

[ewert]

dmd в сообщении #252337 писал(а):

Для натуральных $n>m$ число $(-1)^{m/n}$ всегда находится в комплексной области.

Вовсе не всегда
(если Вы, конечно, не имели в виду, что любое вещественное число -- комплексно, что, конечно, верно).

[dmd]

dmd в сообщении #252377 писал(а):

Считаю, что в записи $\left\{-(-1)^{1/3},(-1)^{2/3}\right\}$ две симметричные ветви полностью определённы.

Так же считают Математика, Pari/GP, Octave, Scilab. К сожалению, Maxima, Magna и Sage разочаровали - в ответ выдали единичку.

[Yarkin]

dmd в сообщении #252667 писал(а):

Так же считают Математика, Pari/GP, Octave, Scilab. К сожалению, Maxima, Magna и Sage разочаровали - в ответ выдали единичку.

Поэтому дискуссия ушла от аксиоматики, ибо с единичками не все ясно.

[dmd]

Оказывается у Математики есть онлайн-калькулятор, в котором можно видеть развернутый ответ на ваши сомнения:
-(-1)^(1/3)
(-1)^(2/3)
x^3=A

Понимаю, вопрос про якобы неопределённость $-(-1)^{1/3}$ и $(-1)^{2/3}$ имеет какие-то методические корни - либо вам так преподавали, либо вы такие книжки читали. Но в любом случае это не верно, ибо неопределенность (многозначность) может присутствовать в уравнениях, но никогда в записях их решений (и вообще в любых вычислительных записях), которые обязаны быть однозначными для фактической вычисляемости.

[Бодигрим]

Фееричная тенденция появилась последнее время - аппелировать к системам компьютерной алгебры как к высшим арбитрам. Между тем та же Mathematica специально оговаривает в документации, что при возведении в степень $a^b$ комплексных чисел она выводит не что-нибудь, а главное значение $e^{b\log a}$. Вам достаточно было сказать то же самое, а не говорить, что $a^b$ - "это просто число". Потому что без оговорки о главном значении функция возведения в комплексную степень - откровенно многозначная.