ВТФ by Виктор Сорокин

[Гость]

Уважаемый Someome. Так Вы - профессионал. Признаюсь не ожидал встретить таковых в этом месте, так как они как огня боятся прослыть Ферматистами ( именно так нас правильно называть, а не Фермистами, как иногда встречается. Фермистами можно было бы называть последователей знаменитого физика Ферми). Теперь по сути вопроса.
Вы вспомнили , что 32 + 42 = 52 откуда следует
(2•1 +1)3 + (2•2 + 0)2 = (2•2 + 1)2 и затем
12 + 02 = 12. Суть в том , что последнее рашение
(при a + b – c = 0) принадлежит множеству всех решений в целых числах уравнения x2 + y2 = z2. Тут вы правы.
При n = 3 картина совсем другая. Решение 13 + 03 = 13 в соответсивии с утверждением Гюнтера при
a + b – c = 0 не принадлежит множеству решений равенства x3 + y3 = z3 (должно быть a + b больше c).
Должен так же заметить, что метод «бесконечного спуска» весьма тонкая вещь и разработан Ферма для доказательства отрицательных утверждений, путем указания на принципиальную возможность спуска. Но ведь, если отрицательное утверждение верно, то никакого реального спуска быть не может, так как не отчего спускаться (исходное предположение существования решения не верно).
Дед. Россия. Ростов на Дону.

[tolstopuz]

Anonymous писал(а):

Решение 13 + 03 = 13 в соответсивии с утверждением Гюнтера при
a + b – c = 0 не принадлежит множеству решений равенства x3 + y3 = z3 (должно быть a + b больше c).

То есть некий Гюнтер считает, что 1^3 + 0^3 не равно 1^3? Интересно, больше или меньше?

[Dan_Te]

Anonymous писал(а):

32 + 42 = 52

Выглядит ужасающе...
Дед, тридцать два плюс сорок два не равно пятьдесят два, а именно это вы и написали. Конечно, я понял, что вы имели в виду, но не сразу.
Не осложняйте другим пользователям форума жизнь, заставляя разбираться, что же вы имели в виду. Есть общепринятая математическая нотация, согласно которой операция возведения в степень обозначается символом '^'. Вы можете увидеть примеры такой нотации в сообщениях других пользователей.

[Someone]

Someone писал(а):

Более того, апеллируя к "полному" равенству $a^4+b^4=c^4$, Вы не только выходите за рамки своей первоначальной аргументации. Отвергая контрпримеры на том основании, что они не удовлетворяют "полному" равенству, Вы, тем самым, явным образом используете теорему Ферма как аргумент в её доказательстве, а это создаёт так называемый "порочный круг" - грубую логическую ошибку, делающую доказательство несуществующим.

Я почувствовал, что в этом месте требуются некоторые разъяснения, поскольку это моё утверждение не является очевидным.

Обсуждаемое "доказательство" теоремы Ферма - "от противного":

"Предположим, что натуральные (=целые положительные) числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a^4+b^4=c^4$. Стандартными рассуждениями можно показать, что достаточно ограничиться случаем, когда $a$, $b$, $c$ попарно взаимно просты, $a$ и $c$ нечётны, $b$ чётно. Рассмотрим случай $b=4b_1$, где $b_1$ - нечётное число (случаи $b=2^k\cdot b_1$, где $b_1$ - нечётное, при $k\ne 2$, видимо, предполагалось рассмотреть аналогично). Покажем, что при этих условиях можно получить противоречие, рассматривая 8 младших цифр в двоичной записи чисел $a^4$, $b^4$, $c^4$."

Само собой разумеется, что из равенства $a^4+b^4=c^4$ следует, что последние 8 цифр чисел $a^4$, $b^4$, $c^4$ также должны удовлетворять этому равенству (да простят меня специалисты, но я буду пользоваться этим выражением; формально нужно было бы написать $a^4+b^4\equiv c^4\pmod{2^8}$).
При сделанных предположениях $b^4=\dots 00000000_2$, поэтому последние 8 двоичных цифр чисел $a^4$ и $c^4$ должны быть одинаковыми. Наш ферманьяк делает из этого вывод, что последние 8 двоичных цифр чисел $a$ и $c$ также должны быть одинаковыми. Вывод этот, конечно, очень неожиданный, но наш ферманьяк делает и гораздо более странные вещи, так что здесь ещё можно не очень удивляться. Все остальные случаи он отвергает на том основании, что что они, дескать, являются окончаниями чисел, а не числами, а "из равенства по окончаниям чисел не следует равенство самих чисел". Разумеется, он не замечает, что рассуждение идёт в противоположном направлении - от равенства чисел к равенству окончаний. Но он, конечно, хочет сказать, что, если последние 8 цифр чисел $a$ и $c$ неодинаковы, то эти числа ни в коем случае не могут удовлетворять равенству $a^4+b^4=c^4$ с числом $b$ указанного вида. Как легко показать, случай, когда последние 8 цифр чисел $a$ и $c$ одинаковы, а $b=4b_1$, где $b_1$ - нечётное число, является вообще невозможным независимо от того, верна ли теорема Ферма для показателя $n=4$. Поэтому выделенное выше утверждение (точнее, некоторое более общее утверждение, охватывающее числа $b=2^k\cdot b_1$, где $b_1$ - нечётное, $k\geqslant 1$) равносильно теореме Ферма.

Докажем теперь, что если 8 младших цифр в двоичной записи чисел $a$ и $c$ одинаковы, $b=4b_1$, где $b_1$ - нечётное число, то равенство $a^4+b^4=c^4$ невозможно. Однако для этого рассмотрения 8 цифр чисел $a^4$, $b^4$ и $c^4$ недостаточно, так как для 8 цифр получается верное равенство (тот факт, что наш ферманьяк это противоречие, тем не менее, получил, означает, что в его рассуждениях имеются и другие ошибки, искать которые нет надобности). В данном случае, оказывается, можно определить 10 цифр чисел $a^4$, $b^4$ и $c^4$. Для этого предположим, что 8 младших цифр чисел $a$ и $c$ образуют некоторое число $x$, и что $b_1=2y+1$ ($x\geqslant 1$ и $y\geqslant 0$ целые, $x$ нечётное). Тогда $a=2^8\cdot u+x$, $b=2^3\cdot y+2^2$, $c=2^8\cdot v+x$, где $u\geqslant 0$ и $v\geqslant 0$ - целые числа.
Тогда $a^4=2^{32}u^4+2^{26}u^3x+3\cdot 2^{17}u^2x^2+2^{10}ux^3+x^4$. Из этого выражения видно, что 10 младших двоичных цифр числа $a^4$ совпадают с 10 младшими двоичными цифрами числа $x^4$. Аналогичными вычислениями проверяем, что младшие 10 двоичных цифр числа $c^4$ те же самые. Обозначим $z$ число, образованное этими десятью цифрами. С другой стороны, $b^4=2^{12}y^4+2^{13}y^3+3\cdot 2^{11}y^2+2^{11}y+2^8=\dots 00100000000_2$ (11 цифр!). Отсюда следует, что равенство $a^4+b^4=c^4$ невозможно, так как $z+2^8\not\equiv z\pmod{2^{10}}$.

Таким образом, автору "доказательства" не было смысла рассматривать случай $a=\dots 00000001_2$, $b=\dots 00000100_2$, $c=\dots 00000001_2$, поскольку он заведомо невозможен, а вот случай $a=\dots 00011101_2$, $b=\dots 00011100_2$, $c=\dots 10100011_2$ рассмотреть было бы необходимо, поскольку он ни к каким противоречиям в последних 10 цифрах не приводит (а для определения одиннадцатой цифры нужно знать девятые цифры чисел $a$ и $c$). Он же от этого случая отбивается всеми силами, поскольку здесь его "доказательство" не работает.

[Someone]

Дед писал(а):

Уважаемый Someome. Так Вы - профессионал. Признаюсь не ожидал встретить таковых в этом месте, так как они как огня боятся прослыть Ферматистами ( именно так нас правильно называть, а не Фермистами, как иногда встречается. Фермистами можно было бы называть последователей знаменитого физика Ферми).

Сюрприз для Вас: тут есть и другие профессионалы. Угадайте, кто.
Далее, я ни в малейшей степени не боюсь прослыть ферматистом; некоторых из них правильнее называть ферманьяками - ввиду полной невменяемости. Во-первых, я не занимаюсь и никогда не занимался доказательством теоремы Ферма, поскольку очень легко найти гораздо более полезное занятие (например, игру в бирюльки). Даже если бы я и надумал попытаться доказать эту теорему, что никому - в том числе и профессионалам - не возбраняется, то ферматистом это меня не сделало бы. Я профессионал, дорожащий своей репутацией, и я не стал бы печатать никаких доказательств, не проверив тщательнейшим образом всех рассуждений. К сожалению, ферманьяки, подобные Вам и ещё кое-кому здесь, никогда такой проверкой себя не утруждают, а ввиду невозможно низкой математической культуры они делают глупейшие ошибки на каждом шагу.
Профессионалы же здесь необходимы, ибо кто же ещё будет объяснять ферматистам и ферманьякам их глупости?

Кроме того, это ведь не профессионалы пришли на форум ферманьяков, а совсем наоборот - ферманьяки пришли на форум профессионалов и тех, кто готовится стать профессионалом. Так уж не сетуйте, если Вас здесь нехорошо обзовут.

Дед писал(а):

Теперь по сути вопроса.
Вы вспомнили , что 32 + 42 = 52 откуда следует
(2•1 +1)3 + (2•2 + 0)2 = (2•2 + 1)2 и затем
12 + 02 = 12. Суть в том , что последнее рашение
(при a + b – c = 0) принадлежит множеству всех решений в целых числах уравнения x2 + y2 = z2. Тут вы правы.
При n = 3 картина совсем другая. Решение 13 + 03 = 13 в соответсивии с утверждением Гюнтера при
a + b – c = 0 не принадлежит множеству решений равенства x3 + y3 = z3 (должно быть a + b больше c).

Шут с ним, с этим Гюнтером, тем более, что он вовсе и не Гюнтер, а Грюнерт. Вы ведь в своём "доказательстве" (сообщение от Чт Ноя 03, 2005 18:28:16) эту теорему никак не используете, а когда формулируете - то перевираете. Между тем в формулировке Грюнерта эта теорема верна и при $n=2$.
Перечитайте внимательно своё "доказательство", а потом замените в нём $n=3$ на $n=2$. Вы увидите, что ничего в нём по существу не меняется, кроме того, что вместо формулы куба суммы используется формула квадрата суммы. Поэтому, если бы Ваше доказательство было верно для $n=3$, то оно точно так же было верно и при $n=2$. А при $n=2$ оно не может быть верным, потому что в этом случае решения существуют.

Дед писал(а):

Должен так же заметить, что метод «бесконечного спуска» весьма тонкая вещь и разработан Ферма для доказательства отрицательных утверждений, путем указания на принципиальную возможность спуска. Но ведь, если отрицательное утверждение верно, то никакого реального спуска быть не может, так как не отчего спускаться (исходное предположение существования решения не верно).

Вы МЕНЯ об этих тонкостях предупреждаете? Вы же этот метод просто не понимаете. Он состоит в построении БЕСКОНЕЧНОЙ последовательности решений, содержащих всё меньшие и меньшие числа. Вы же после первого шага получаете решение, которое дальше уменьшить невозможно, и вдобавок не удовлетворяющее тем условиям, которым должно удовлетворять искомое решение.

Не уверен, что метод бесконечного спуска изобрёл Ферма. Мне кажется, что им должен был владеть ещё Пифагор.

Очень советую всем ферматистам и ферманьякам найти одну из следующих двух книг и тщательнейшим образом в ней разобраться. Они посвящены специально методам доказательства теоремы Ферма.

[1] М.М.Постников. Теорема Ферма. "Наука", Москва, 1978.
[2] М.М.Постников. Введение в теорию алгебраических чисел. "Наука", Москва, 1982.

P.S. Виноват, наврал в названии книги. Пришлось исправлять.

[sceptic]

Someone писал(а):

Очень советую всем ферматистам и ферманьякам найти одну из следующих двух книг и тщательнейшим образом в ней разобраться. Они посвящены специально методам доказательства теоремы Ферма.

[1] М.М.Постников. Теорема Ферма. "Наука", Москва, 1978.
[2] М.М.Постников. Введение в алгебраическую теорию чисел. "Наука", Москва, 1982.

[3] П.Рибенбойм. Последняя теорема Ферма для любителей. "Мир", Москва, 2003
[4] Эдвардс Г.М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. "Мир", Москва, 1980

[dm]

Еще такую находят поисковики:
Сингх С. Великая теорема Ферма

[Гость]

Приходится повторяться.
1.Мы доказываем отсутствие решений в целых числах уравнения
x^3 + y^3 = z^3 (1) «методом «от противного», сделав Предположение наличия таких решений.
2.На втором этапе, путем простых преобразований , к стати, не вызвавших пока никаких вопросов и возражений, получаем Необходимое условие a^3 + b^3 = c^3 (2),
которому Должны при этом отвечать остатки от деления чисел x, y , z на 3.
3.Используя тот простой факт, что при делении любых целых чисел на 3 , остатки могут принимать только значения 0; +1; и -1, путем перебора убеждаемся , что действительно, существуют комбинации остатков , удовлетворяющих условию (2). Этот факт, доказывал бы Неверность утверждения Ферма при n = 3 (являлся бы контрпримером, если бы удовлетворял так же Необходимому условию - условию Грюнерта (Someome относительно написания фамилии прав – проверил по упомянутой им книге [1] М.М.Постникова).
4.Попробуйте всё таки понять, что при верности отрицательного утверждения реального ( в цифрах) спуска быть не может, так как исходное предположение наличия решения не верно (ну не от чего спускаться!).
Дед. Россия. Ростов на Дону.

[Someone]

Дед писал(а):

... 3.Используя тот простой факт, что при делении любых целых чисел на 3 , остатки могут принимать только значения 0; +1; и -1, путем перебора убеждаемся , что действительно, существуют комбинации остатков , удовлетворяющих условию (2). Этот факт, доказывал бы Неверность утверждения Ферма при n = 3 (являлся бы контрпримером, если бы удовлетворял так же Необходимому условию - условию Грюнерта (Someome относительно написания фамилии прав – проверил по упомянутой им книге [1] М.М.Постникова).

Причём тут вообще условие Грюнерта? Вы хотя бы точную формулировку теоремы Ферма знаете? Что Вы, собственно говоря, пытаетесь доказать?

Теорема Ферма. Уравнение $x^n+y^n=z^n$, где $n>2$ - целое, не имеет решений в множестве натуральных чисел.

То есть, числа $x$, $y$, $z$ должны быть натуральными, или, другими словами, целыми ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ.

А вот остатки от деления этих чисел на $n$ хотя и обязаны быть целыми и удовлетворять уравнению (точнее, сравнению $a^n+b^n\equiv c^n\pmod{n}$), но ни в коем случае НЕ ОБЯЗАНЫ быть положительными. В этом и состоит причина, по которой у Вас не получается ни "бесконечного спуска", ни доказательства вообще, так как полученное Вами решение не имеет ни малейшего отношения к теореме Ферма. Если бы речь шла действительно о методе "бесконечного спуска", то полученное Вами решение должно было бы состоять из натуральных, то есть, из целых ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ чисел.

Дед писал(а):

4.Попробуйте всё таки понять, что при верности отрицательного утверждения реального ( в цифрах) спуска быть не может, так как исходное предположение наличия решения не верно (ну не от чего спускаться!).

И этот туда же! Попробуйте всё-таки понять, что, делая перед началом "бесконечного спуска" предположение, что решений не существует, мы тем самым предполагаем, что теорема верна, и немедленно получаем "порочный круг". И никакой метод "бесконечного спуска" нам после этого уже не нужен. Собираясь доказывать теорему, мы ни в коем случае не можем ссылаться на неё как на аргумент в доказательстве. Это тем более абсурдно, что Вы говорите о доказательстве "от противного".

P.S. Иногда число 0 тоже относят к натуральным. Прошу не затевать спор на эту тему. Тем более, что к теореме Ферма это отношения не имеет: изменив определение натурального числа, мы должны соотвествующим образом переформулировать и теорему, чтобы её смысл остался неизменным.

[LynxGAV]

А меня в 5 классе учили, что натуральные числа - это те, которые применяются при счете предметов.

[PAV]

LynxGAV писал(а):

А меня в 5 классе учили, что натуральные числа - это те, которые применяются при счете предметов.

Правильно, поэтому в отчественной школе 0 не относят к натуральным. По-моему, французы считают 0 натуральным числом.

[Someone]

PAV писал(а):

LynxGAV писал(а):

А меня в 5 классе учили, что натуральные числа - это те, которые применяются при счете предметов.

Правильно, поэтому в отчественной школе 0 не относят к натуральным. По-моему, французы считают 0 натуральным числом.

Я сам придерживаюсь именно этого "определения" натурального числа, то есть, для меня натуральный ряд - это $\mathbb N=\{1,2, 3,\dots\}$. Однако мне случалось спорить с коллегами по поводу нуля, и я сталкивался с ситуациями, когда удобно включить ноль в множество натуральных чисел. Поэтому я не отвергаю альтернативный вариант в категорической форме. В конце концов, это всего лишь вопрос определения, и если существуют и часто встречаются неэквивалентные определения, приходится с этим считаться.

[Dan_Te]

У нас на лекциях по мат.логике (и может быть еще по вычислительной или дискретной математике) ноль включался в натуральные числа, потому что так удобнее.

[Виктор Сорокин]

Someone писал(а):

Ваша ошибка состоит в том, что Вы никак не хотите взять калькулятор в руки и убедиться, что последние 8 цифр в моих примерах УДОВЛЕТВОРЯЮТ уравнению Ферма и, следовательно, СВЯЗАНЫ требуемым равенством. Впрочем, более вероятно, что, вследствие своего невежества, Вы просто не понимаете, о чём идёт речь.

Да, последние 8 цифр в Ваших примерах УДОВЛЕТВОРЯЮТ уравнению Ферма для n = 4, но Вы не можете понять, что после восстановления первых цифр в числах числа в трех скобках обязательно окажутся взимозависимыми и после сокращения общих множителей равенство по последним 8 цифрам НАРУШАЕТСЯ.

+++++++++++++++++

Эпилог

Увы, с некоторым сожалением вынужден констатировать, что в отведенный самому себе срок решения Великой проблемы я не уложился. Но более всего меня огорчил тот факт, что из многих тысяч участников и читателей форумов никто не дал ни одного конструктивного отзыва, то есть не просто показывающего ошибочность идеи оппонента, но и предлагающего хоть какой-нибудь выход из тупикового положения. Такие выходы мне всегда приходилось искать и находить самому.
За исключением одного участника, не нашлось более никого, кого привлекло бы разнообразие предлагаемых идей (не говоря об их эстетике) для элементарного доказательства ВТФ. Также, несмотря на то, что я намекал о существовании ЛОГИКИ перехода от идеи к идее, этот момент тоже никого не заинтересовал. Впрочем, я не исключаю того, что интересующиеся были и есть (поскольку сотни читателей не выступили на форумах), и в первую очередь ради них я пишу эту заметку.
Помимо поиска самого доказательства Великой теоремы большой интерес представляет и ответ на вопросы:
а) если П.Ферма ошибся в своем доказательстве, то какое неверное, но очень правдоподобное доказательство он принял за верное?
б) а если же он странным образом решил подшутить над потомками, то какие факты явились основанием считать ВТФ верной?
(Здесь я опускаю небезынтересные ответы на вопрос: что даст человечеству элементарное доказательство ВТФ, буде оно найдено?)
Попытку ответа на второй из этих вопросов я дал в 1991 г. в газете "Наука Урала", предложив очень правдоподобный вариант доказательства. Он состоит из двух кратких лемм:
а) каждое простое число q вида n2^(2^k) + 1 является сомножителем числа abc в равенстве Ферма;
б) множество чисел q бесконечно.
Верность обеих лемм очевидна, но вот их доказательство… Вторая лемма отняла у меня 5 лет тщетных поисков. Первую я вскоре доказал, но как будто имеется опровергающий пример…
Активное полугодовое участие в форумах позволило выдвинуть множество принципиально новых идей, но все (?) они не сработали. Однако они не оказались бесполезными, но позволили сформулировать важный вывод: противоречие равенства Ферма следует искать ВНЕ самого равенства – в его связи с другими математическими объектами, которые либо являются следствиями равенства Ферма, либо, напротив, равенство Ферма есть какое-либо простейшее следствие неведомой фундаментальной теоремы.
…Еще раз просматривая идеи последнего полугодия, в том числе и рассмотренные на форумах, я хочу вернуться к одной (от 31 августа), отброшенной, возможно, из-за какого-то ошибочного ощущения. Вот оно.

Пусть число цифр в наибольшем из чисел с равно r.
Умножим равенство Ферма на n^r.
И теперь, если мы прибавим к каждому их чисел a, b, c по n^[-r(n-1)], то – как это следует из выражения после раскрытия биномов Ньютона – мы отклонимся от равенства менее чем на 1. То есть, с точностью до 1 мы получаем равенство
a^(n-1) + b^(n-1) = c^(n-1), невозможность которого показать очень просто.

Ну и, наконец, о возможности доказательства ВТФ с помощью равенств-сателлитов. Перспективу в этом направлении дает нецелочисленное равенство
(c^n + b^n) = (c^n - a^n) + (a^n + b^n), где целые числа a, b, c взяты из равнества Ферма. Откуда, как будто, следует, что число с не явялется целым (поскольку выражения в первой и третьей скобках представляют собою степени нецелых чисел, но именно последнее выражение порождает (или порождается) число c^n).

Ну а далее посмотрим на отзывы.

Виктор Сорокин

[M'SH]

Цитата:

a^(n-1) + b^(n-1) = c^(n-1), невозможность которого показать очень просто.

Виктор, допустим это равенство невозможно ( т.е. Вы это доказали). Докажите тогда "следствие", что тогда и a^n + b^n = c^n невозможно.