Часы

[Sasha2]

Да нет ну все значительно проще. Можно при решении этой залдачи опираться на все возможные положения какие могут занимать стрелки, а можно и на суммарные периоды времени, когда секундная ближе к одной, чем к другой. Это неважно (Тем более, когда стрелки вращаются соразмерно, т.е. целое число оборотов одной соответствуют целому числу оборотов другой, ну тут просто нам понятно, что эти положения мы исчерпаем за вполне определенный период времени, и понятно за какой и ничего более из этого нам не нужно).
А сектор простой ну вот, посмотрите на часы: допустим угл между часовой и минутной такой-то, вот секундная входит в этот угол или сектор, как Вам нравится. Далее просто для каждого момента, когда секундная внутри этого секутора возмите другой момент, который получается, когда мы совместим одну полуокружность циферблата с другой, а линия (диаметр, делящий циферблат на две полуокружности) эта - перпендикуляр к секундной. Ну во первых, я и сказал, в качестве разминки, попробуйте показать, что такое положение после перегиба стрелки действительно могут занимать (конечно, в предположении сорахмерности их хода), ну а далее просто берем два любых таких сектора и В ЛОБ считаем времена, когда секундная ближе к одной, чем к другой. Вы получите равенство этих времен. Ну задачка то: три точки движутся по окружности с разными угловыми скоростями ... и так далее.
Угол не будет никогда выходить за 180 градусов, да и вообще каким он был, таки он и останется. Это следует просто из того, что СИММЕТРИЧНЫЕ ФИГУРЫ являются равными фигурами (Учебник геометрии 7 класс.)

Да кстати насчет больше 180 градусов, Вы там кстати написали одно косинусно соотношение, только до конца не сообразили, что рассматриваемые Вами углы не должны превышать 180 градусов. Т.е. формулу то Вы правильно написали, но забыли там mod180 если угловые скорости в градусах/с или mod(пи), если в радианах/с. Ну в общем неважно это.

[Sasha2]

Да вот кстати там это разностное косинусное соотношение получается. Что то мне припоминается, что интеграл от такой разности по целому числу периодов равен нулю. Сразу я не соображу, но вот спецы по, ну там рядам Фурье, может быть сразу в лоб поймут, что среднее значение такой функции равно нулю. Правда не могу сращу так представить, как это можно приткнуть к нашей задаче.

[Capella]

Да нет, я не забыла, что угол меньше 180 градусов. Именно на это я и упираю, когда привела мою аргументацию.
Рассмотрим снова условие. У вас минутная и часовя стрелка образуют два угла - больший и меньший, в крайнем случае эти углы равны. Весь вопрос в том, что нас автоматически будет интерессовать не какой-то определённый угол (который действиетльно меняется, т.е. может становиться как больше, так и меньше другого), а наименьший. Причём наименьшее значение могут принимать оба угла, в этом вся суть, надо и рассматривать именно тот, который такое значение принимает (так следует из условия Вашей задачи). Конечно известно, что минутная и часовая стрелки тоже движутся. Здесь возникает интересный случай (его лучше рассмотреть с более пропорциональными скоростями), а именно, что секундная войдя в "маленький" угол, выходит из "большого". В таком случае трудно сказать, к какой мере нужно отнести время.

[Sasha2]

Да не образуют они два угла, один они образуют, ну как две полупрямые образую один угол (который является наименьшим). Все, далее секундная стрелка попадает в этот угол. И рассматриваем, как с секторами. Только для этого случая.

Или она не попадает в этот угол. Тогда это уже другой случай, где мы в лоб просто одному моменту времени ставим в соответствие другой, который получается, когда мы продолжим по диаметру положения часовой и минутной стрелок. Опять же предлагаю вдуматься и убедиться в том, что такое положение стрелок возможно.

[Sasha2]

Да кстати вот Вы получили это косинусное соотношение. Если его немножко повертеть, то получится, что разность этих косинусов, пропорциональна средней величине разности расстояний между сек и мин и сек и час. Ну это то понятно. А далее применить там что то интеграл от разности косинуов типа cos(mt)-cos(nt) по периоду этой функции равен нулю. (Ну или воспользоваться как-то этим). Что получим: средняя разность этих расстояний равна нулю. Ну а далее сами делайте выводы. Правда я тут слаб в вычислениях.

[Capella]

Вот задача которую Вы поставили:

Sasha2 писал(а):

ИНтересно еще решить такую задачу: Какая вероятность того, что секундная стрелка будет лежать между часовой и минутной, при этом считается, что она лежит между ними если находится на кратчайшей дуге, которая соединяет минутную и часовую.

Приведу конкретный пример: допустим часова стрелка находиться на 12 часах, а минутная на 3. Они образуют угол включающий следующи цифры (12, 1, 2, 3). Но так-же они образуют и угол включащий цифры с 3 до 12. Из условия, для меня ясно, что надо найти вероятность нахождения секундной стрелки между 12 и 3, при этом нужно учесть, что минутная стрелка тоже движется увеличивая этот угол. Далее тоже условие, что и в задаче bota (за исключением того, что вместо вероятноти быть ближе к какой-либо стрелки нас интересует вероятность нахождения стрелки в маленьком углу). Отсюда я и имела ввиду, что существует два угла - наименьший угол представляет "успех", наибольший "неуспех", их сумма равна общему количеству событий. При этом я Вам написала, какая сложность может возникнуть с этими углами.

Если-же Вы рассматриваете такую задачку: определить к какой стрелке ближе находиться секундная внутри маленького угла, то я не понимаю в чём сложность, тем более при равномерной скорости секундной стрелки

[Sasha2]

Нет так усложнять не надо, кстати можно и для каждого сектора, когда секундная лежит между минутной и часовой взять для него и сектор являющийся симметричным, т.е. секндная лежит на продожении секундной, минутная на продолжении минутной, часовая на продолжении часовой. Просто приделайте к этим стрелкам еще такие же, т.е. они уже не радиусы, а диаметры. Это другой тип соответствия, ну тут вообще надеюсь наглядность такой конструкции не вызовет у Вас затружнений. И рассмотрите тогда так. Далее все как и выше.
Я уже не знаю, как уж их поворачивать, получается все одно и тоже 50%.

[Sasha2]

А вот, что касается второй задачи, то тут уже мне кажется (я еще не решал правда), что вот так в лоб ответ я не смогу получить.

[Capella]

Sasha2

Да всё равно в принципе не верно....
Ну во первых, не нужно никаких диаметров, а просто берём нулевую меру вне интервала. А внутри нтервала нельзя решать с помощью симметрии, и вообще там сложно. Возьмём случай "5 часов наоборот" (часовая на 12, а минутная на 5). Секундная стрелка должна пробежать 150 градусов, но весь прикол в том что это не так. Секундная стрелка выйдет из интервала не в 5 часов, а несколькими градусами позже. Вообще, для большей наглядности, возьмите такии соотношения скоростей: $ \frac 1 2 : 1 : 2 $. Ну соотвественно и часовая будет двигаться, уже сокращая интервал. Придётся искать лимит, середину системы (внимание, середина снова не будет равняться середине наибольшего промежутка), ну и со всеми вытекающими последствиями....
И не забывайте, что это ещё конкретный пример, Вы-же просите решить задачу в общем виде

[Sasha2]

Да второй вариант с продолжением стрелок не проходит, а первый все таки остается правильным.
Ну и конечно, она должна пробежать не 150 градусов, а несколько больше - это очевидно и сколько это больше Вы можете сами высчитать - это на самом деле не сложно, это простенькая задачка.

Дело в другом, в первом варианте Вы получаете еще один такой сектор, но только там уже секундная стрелка поравнявшись с минутной будет от нее убегать и догонять часовую.
Грубо говоря первый сектор - секундная поравнялась с часовой и догоняет минутную, второй сектор точно такой же, только секундная поравняласть с минутной и догоняет часовую. ВОт в этих двух секторах и надо считать время, когда секундная ближе к минутной и к часовой, суммарные эти времена равны.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Да второй вариант с продолжением стрелок не проходит, а первый все таки остается правильным.
Ну и конечно, она должна пробежать не 150 градусов, а несколько больше - это очевидно и сколько это больше Вы можете сами высчитать - это на самом деле не сложно, это простенькая задачка.

Дело в том, что у Вас получается компактный носитель, который мало того, что движется, так ещё и расширяется. У Вас не просто секундная стрелка пробежит больше 150 градусов, у Вас углы между минутной и часовой стрелкой в момент захода и выхода секундной стрелки будут абсолютно разными. Самое трудное будет определить момент, когда оба расстояния между минутно-секундной и часовой-секундной будут равными. Причём в редакции, что движение осуществляют как минутная, так и часовая стрелки. Здесь, на мой взгляд, всё сводиться к изначальной формулировке задачи botom

Sasha2 писал(а):

Грубо говоря первый сектор - секундная поравнялась с часовой и догоняет минутную, второй сектор точно такой же, только секундная поравняласть с минутной и догоняет часовую. ВОт в этих двух секторах и надо считать время, когда секундная ближе к минутной и к часовой, суммарные эти времена равны.

Так именно к этому сводиться задача bota.

[Sasha2]

Ну как это трудно. Ну вот аналогичная задача:
Движутся три точки в одну и ту же сторону, одна со скоростью V1, другая V2 и третья V3, скорость V3 больше чем V1 и V2, в некоторый момент точка 3 поравнялась с точкой 1 и в этот же момент времени расстояние между ней и точкой 2 равно L (и эта вторая точка впереди первой и третьей). Найдите момент, когда расстояние от 1 до 3 равно расстоянию от 3 до 2, а также найдите момент, когда третья догонит вторую. ЧТо тут сложного, все просто как три рубля.

А далее все то же самое только 3 точка уже равняется со второй, а первая впереди и все они движутся также в одну и ту же сторону.

Теперь все это переведите в углы и угловые скорости.

[bot]

Sasha2 писал(а):

Движутся три точки в одну и ту же сторону, одна со скоростью V1, другая V2 и третья V3, скорость V3 больше чем V1 и V2, в некоторый момент точка 3 поравнялась с точкой 1 и в этот же момент времени расстояние между ней и точкой 2 равно L (и эта вторая точка впереди первой и третьей). Найдите момент, когда расстояние от 1 до 3 равно расстоянию от 3 до 2, а также найдите момент, когда третья догонит вторую. Что тут сложного, все просто как три рубля.

Определить, кто кого, когда догонит - нет проблем, это и трёх рублей не стоит. А что это даст для вычисления вероятности?
Давайте испортим часы:
Часовая стрелка движется с некоторой скоростью, неважно какой (можно с нулевой или даже с отрицательной - то есть против естественного для часовой стрелки хода).
Минутная и секундная стрелки движутся в одном направлении с одинаковыми скоростями, отличными от скорости часовой. Теперь рассмотрите вероятность для секундной быть ближе к минутной чем к часовой. Вы без труда обнаружите, что эта вероятность зависит только величины постоянного опережения секундной от минутной (или минутной от секундной) и в этой зависимости может быть любым числом от 0 до 1. Вот к примеру 3 случая:
1) Секундная и минутная слиплись. P=1
2) Секундная опережает минутную (или отстаёт о неё) на четверть окружности. P=0.5
3) Положение секундной диаметрально противоположно положению минутной. P=0.

[Capella]

bot

А я тем временем такое очень адаптированное условие придумала: минутная стрелка на 12 часах, часовая скажем на 4. А теперь зададим следующии скорости минутной и секундной $1 : 2$, а часовой зададим такую маленькую, что ей можно пренебречь (т.е. секундная выйдет из интервала в 4 часа). Ежу понятно, что секундная будет бежать интервал в 120 градусов, правда после 60 она всё ещё будет ближе к минутной, которая пройдёт за это время интервал в 30 градусов... Вообще вероятность будет зависеть от скорости стрелок
Лучше всего рассматривать такии задачи при различных скоростях, выраженных следующим соотношением (это как у
bota): $ \frac 1 k : 1 : n$
И ещё, конечно в каком-то конкретном случае вероятность может быть $ \frac 1 2 $, но этот случай необходимо высчитывать

[Sasha2]

Для вычисления вероятности это ничего не даст, но это даст для доказательства гипотезы того, что часовая стрелка пребывает ближе к минутной одно и то же время, что и к часовой.