Часы

[ИСН]

C иррациональными - вопрос ставить, ИМХО, вполне можно (ну, сказав какие-то слова типа "при T\to\infty"), и получится 1/2 - я в этом уверен примерно так же, как товарищ Sasha2 уверен в аналогичном утверждении для любого случая. Разница в том, что с реальными часами у нас не было эргодичности, а тут будет.

[bot]

Вроде всё так. Какие бы ни были исходные данные, всё сводится к функции
$(-1)^{[\frac{x}{p}]+[\frac{x}{q}]}$
Надо считать её среднее значение на интервале длины $pq$. Если отношение p:q рационально, то безразлично какой интервал этой длины взять - точнее, можно эту дробь сократить и уменьшить интервал в $d^2$ раз. И ещё одно молчаливо предполагавшееся в задаче о часах обстоятельство - есть момент, когда все три стрелки совпадают. В общем случае его может и не быть - например если в наших часах передвинуть секундную стрелку на целое число делений в 00 час 00 минут. Тогда и ответ уже другой будет.
Если брать иррациональные часы, то уже не безразлично, какой интервал брать - результат будет очевидно чувствителен к сдвигу. Тогда уже надо брать среднее от средних значений. Имхо, всё должно усредниться и получиться 0.5.

[Sasha2]

А вот для часов "нормльных" я предлагаю еще и такое решение:
План решения:

1 Все множество положений разбиваем на два 1) Это то, когда чекундная стрелка лежит между часовой и минутной (ну разумеется берется кратчайшая дуга, которая их соединяет ) и 2) когда секундная стреклка не лежит между часовой и минутной.

2. Для любого положения из случая 1) мы рассмотрим другое положение которое получается, когда одна полупплоскость циферблата совмешщается с другой, будучи повернутой вокруг прямой, являющейся перпендикулярной к секундной стрелке. Кстати предлагаю для разминки показать, что таковое существует (конечно исходя опять из предположения правильности часов, т.е., когда один оборот часовой соответствует целому числу минутной, а один оборот минутной сответствует целому числу секундной). А далее мы в рассмотрение вводим любой сектор, когда секундная стрелка лежит между минутной и часовой и еще один симметричный ему, получаемый после искомого поворота (ну понятно, что например, если в первом секторе секундая стрелка убегает от часовой и догоняет минутную, то в симметричном секторе будет все наоборот - секундная стрелка будет убегать от минутной и догонять часовую). Предлагается показать, что в этих секторах (имеется ввиду для двух сразу, а не для каждого по отдельности) время, когда секундная стрелка ближе к минутной равно времени, когда она ближе к часовой). Ну это вообще задачка по физике для 9 класса и показывается это легко.
Отсюда кстати следует, что врея когда секундная ближе к минутной чем к часовой совпадает со временем, когда наоборот даже для тех положений, когда секундная стрелка находится между двумя другими.

3. Что же касается положений случая 2), то тут вообще все просто: каждому такому положению секундной, минутной и часовой стрелки мы поставим такое положение, когда секундная стрелка занимает то же самое место, а новые положения часовой и минутной стрелок берутся такими, что вместе с предыдущими являются диаметрами (ну вобщем понятно, что я хочу сказать).

Ну а далее вполне очевидно, что всеми этими положениями и исчерываются все возможные положения всех стрелок. Кстати отсюда также следует, что время, когда секундная ближе к часовой и время, когда она дальше одно и то же и для случая, когда секундная стрелка не лежит между час. и минутн.

Ну а далее если все это причесать как следует (я вообще считаю это должен сделать математик профессионал, я вот таковым не являюсь) и получится простое доказательство, которое может быть понятно и ребенку.

[Sasha2]

Да и еще для bot.
От того, что Вы сдвините секундную (да в общем то любую из стрелок) ничего не изменится. Если такое положение ест, когда три стрелки совпадают, то оно также ниекуда не денется. Да в общем то в этом нужды особой и нет.

[bot]

В том то и дело, что изменится - можно так сдвинуть, что всё будет наоборот, то есть ближе к часовой стрелке секундная будет находиться чаще, чем к минутной. Это соответствует тому, что в задаче о лишней единице у одного из векторов сменить знак на противоположный. Можно секундную сдвинуть так (не меняя при этом положения минутной и часовой), что эту лишнюю единицу придётся еще дробить и результат тогда получится промежуточный между двумя крайними.
Что касается самой формулы по которой эта вероятность считается для исходной постановки, то мне она давно известна, известна и тем, кто внимательно прочитает пост Евгения.

[Sasha2]

Да Вы поймите, что в этой задаче важно не начальное положение стрелок, а общая совокупность положений, в которых они могут находиться на циферблате, а даже более точнее их ВЗАИМНОЕ расположение друг относительно друга.

[Sasha2]

Да и вообще формула для самого общего случая получается очень легко, если опереться при ее выводе на простенькую теоремку о том, что двум равным дугам сответствуют равные хорды и наоборот и большей дуге соответствует большая хорда и наоборот. Тогда время в течение которого секундная ближе к одной из двух определяется таким выражением

cos[(V3-V1)t|mod180]>cos[( V3-V2)t|mod180], где V3 - угл. скорость секундной, а V1 и V2 - угловые скорости двух других. Однако, не думаю, что воспользоваться этой формулой будет достаточно легко.

[FireFox]

bot писал(а):

Имеем часы с центральной секундной стрелкой. Все стрелки движутся абсолютно равномерно. Какова вероятность того, что при взгляде на часы мы обнаружим, что секундная стрелка ближе к минутной, чем к часовой?

А нельзя скажем решать задачу именно с вероятностной точки зрения.

Пусть $\alpha$ показание часовой стрелки, $\beta$ показание минутной, $\gamma$ показание секундной. Все три - некоторые случайные величины.

Нам фактически нужно найти совместное распределение (joint distribution)
$p(\alpha,\beta,\gamma)$.

Мы знаем, что marginal distributions
$p(\alpha)=p(\beta)=p(\gamma)\sim U[0,60]$
по условию задачи, потому как мы смотрим в случайный момент и стрелки движутся равномерно.

Чтобы получить совместное распределение, нам нужно посчитать условные распределения (conditional distribution):
$p(\alpha|\beta,\gamma)$
т.е. распределение положений часовой стрелки, зная положение минутной и секундной.
и
$p(\beta|\gamma)$
т.е. распределение положений минутной, зная положение секундной.
Эти распределения очевидны.

Из условных и marginal получаем совместное распределение.

Совместное распределение содержит ВСЮ информацию о системе стрелок и их взаимных движениях.

Теперь нам нужно посчитать
$p(\min(|\gamma-\beta|,60-|\gamma-\beta|)<\min(|\gamma-\alpha|,60-|\gamma-\alpha|))$

Скажем с помощью simulation-based method

Сам знаю, что в математике такое решение называется "из стингеров по тушканчикам"

[Sasha2]

Что то уж очень извивисто. Хотелось бы решать эту задачу так, чтобы можно было ее объяснять детям, ну и второе Ваше утверждение насчет выисления положения часовой стрелки по положению минутной и секндной. На самом деле вполне очевидно, что угол на, который поворачивается часовая вполне определен числом оборотов, которые сделал секундная и углом ну в общем то для определнности между ней и прямой 12:00-18:00. Аналогично число оборотов, коорые сделала минутная и угло, которые она образует с этой же прямой также определяются теми же координатами секунлной. Проще говоря положение часовой и минутной стрелок однозначно определяется числом оборотов, сделанных секундной стрелкой и углом, коорый она образует с какой-либо прямой циферблата в данный момент.

[Sasha2]

ИНтересно еще решить такую задачу: Какая вероятность того, что секундная стрелка будет лежать между часовой и минутной, при этом считается, что она лежит между ними если находится на кратчайшей дуге, которая соединяет минутную и часовую.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

ИНтересно еще решить такую задачу: Какая вероятность того, что секундная стрелка будет лежать между часовой и минутной, при этом считается, что она лежит между ними если находится на кратчайшей дуге, которая соединяет минутную и часовую.

Это Вы детям хотите давать? За что-же Вы их так?
При тех условиях, которые давал bot у Вас должно получиться непрерывное распределение. При Вашем дополнении вероятность того, что секундная будет лежать между двумя другими будет определяться точками. Я не думаю, что дети ещё умеют задавать меру, считать распределение, плотность непрерывных величин.
Другое дело рассмотреть тот случай, который Вы упомянули сначала - минутная стрелка перескакивает на одно деление, когда секундная делает полный круг, а часовая - когда полный круг делает минутная. У вас получится адаптированная задача для дискретных величин. Но эта задача проста. Нужно рассмотреть промежуток всего в один час. Далее рассматриваем такии интервалы, где минутная и часовая стрелки имеют чётное количество делений между собой. в такх интервалах кстати будет ровно два деления (Ваша версия рассмотреть только кратчайшую дугу не верна), достигнув которых секундная стрелка будет лежать между часовой и минутной. А всего за час таких положений минутной стрелки будет 30. Находите потом все положения (количество секунд в часе) и задача решена.

[Sasha2]

Ну отвечаю по порядку.
1. Ну, разумеется детям нужно просто поставить эту задачу, убрав из них вероятности, сформулировав вопрос примерно так, больше или меньше та или иная стрелка находится к одной, чем к другой.

2. Дети, когечно, не умеют задавать меру и считать распределение, но этого на самом деле и не нужно здесь.

3. Что касается скачкообразного движения стрелок, то вот в таком виде ее можно предлагать детям обычным на геометрии при изучении свойств углов и дуг (ну или продвинутым детям третьего класса).

4. С непрерывным случаем все сложнее, конечно. Но я ведь четко указал, какие два сектора надо брать (образованные минутной и часовой, когда секундная между ними). Да конечно эти секторы сами смещаются, но при пребывании в них секундной стрелки время, когда она ближе к часовой совпадает со временм, когда она ближе к минутной. Вот и все. По сути дела здесь доказано даже больше, а именно показаны те отдельные участки, при проведении в которых секундная ближе к часовой и наоборот одинковое время.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Ну отвечаю по порядку.
1. Ну, разумеется детям нужно просто поставить эту задачу, убрав из них вероятности, сформулировав вопрос примерно так, больше или меньше та или иная стрелка находится к одной, чем к другой.

На языке математики под слововыражением "больше-меньше" обычно понимают.... вероятность события

Sasha2 писал(а):

2. Дети, когечно, не умеют задавать меру и считать распределение, но этого на самом деле и не нужно здесь.

Да в принципе не имеет смысла как называть то, что здесь нужно, смысл в том, как Вы "больше-меньше" собираетесь считать.

Sasha2 писал(а):

3. Что касается скачкообразного движения стрелок, то вот в таком виде ее можно предлагать детям обычным на геометрии при изучении свойств углов и дуг (ну или продвинутым детям третьего класса).

Ой-ля-ля Вообще-то то, что писала я, это задача по дискретной вроятности, а не по геометрии.
ЗЫ Про третий класс весьма тонкая шутка, учитывая, что геометрия вводиться с 5 (насколько мне известно)

Sasha2 писал(а):

4. С непрерывным случаем все сложнее, конечно. Но я ведь четко указал, какие два сектора надо брать (образованные минутной и часовой, когда секундная между ними). Да конечно эти секторы сами смещаются, но при пребывании в них секундной стрелки время, когда она ближе к часовой совпадает со временм, когда она ближе к минутной. Вот и все. По сути дела здесь доказано даже больше, а именно показаны те отдельные участки, при проведении в которых секундная ближе к часовой и наоборот одинковое время.

Ха, здесь вообще умора. Т.е. всё решение вероятностной задачи свелось к тому, чтобы показать равность временных интервалов (ну или углов) между минутной и часовой стрелками!
Итак, просто для того чтобы Вы знали: под вероятностью понимается соотношения выгодных случаев к общему их числу. Это число, причём лежит между 0 и 1. В данном случае под выгодным числом случаев будет пониматься точка, лежащая в пределах этого интервала, а под общим случаем, сам интервал. Чтобы не мучиться с мерами и тому подобными вещами, я и предложила взять дискретный случай.

[Sasha2]

Да ну зачем мудоствовать там, где мудрости никакой нет. А в данном случае, все действительно так, решение вероятностной задачи сводится к тому, тобы показать равность временных интервалов. Что тут удивительного?
Вас что, тоже удивляет, что решение некоторых вероятностных задач сводится к подсчету числа, ну например выпадания определенных комбинаций игральных костей и так далее. Или может быть Вы хотите, чтобы ту всю теорию вероятности Вам излагали.

P.S. Ну вообще то сейчас геометрия изучается с 7 класса.

И не стоит придираться к отдельным опечаткам (больше или меньше, ну конечно я имел ввиду больше или меньше времени). А что разве Вы не согласны с тем, что отношение этих вероятностей равно отношению этих времен?

А для скачкообразного случая я вообще изложил это решение в самом начале, оно вообще тривиально и не заслуживает рассмотрения.

Ну и также для Вашего образования также поясню, что под вероятностью понимается и отношение мер двух множеств, наверно Вы знаете каких, не буду далее ничего писать.
Вот и разбирайте эту задачу далее, ну конечно Вы можете использовать и пространство всех положений стрелок, и пространство всех времен, как удобно. Главное то, показать, что можно получить биективное соответствие между определенными двумя множествами, ну тоже наверно Вы догадываетесь между какими именно.

[Capella]

На первый взгляд у меня опять возникают сомнения, что эти интервалы равны. Во первых, у Вас снова есть какой-то сектор. Как я уже говорила, можно под множеством, описывающим общий случай, понимать время (или расстояние) пройденное секундной стрелкой. Понятно, что оба сектора будут иметь разную величину и совпадать только если минутная и часовая стрелка образуют прямую с углом в 180 градусов. Симметрии здесь не получиться, т.к. если угол увеличивается и выходит за интервал в 180 градусов, то он автоматически перестаёт быть тем углом, который мы принимаем за выгодный случай. Практически угол у Вас будет иметь функциональную зависимость, временной максимум которой не будет превышать $ \frac 1 2 $ по отношению к сумме обоих углов.

Возникает вопрос: равность каких двух интервалов Вы хотите показывать?

И насчёт биективности тоже возникает определённое сомнение.