Начну с начала.
Итак, Ферма утверждал, что уравнение
не имеет целочисленных решений при
. Попробуем доказать обратное.
1.1. Предположим, что такое решение существует, при
,
,
,
, где
,
,
- целые положительные взаимно простые числа,
, пусть
,
- целое число >2.
Тогда
.
1.2.
, где
- целое положительное число.
, где
-целое положительное число.
1.3.
,
Перемножаем левые и правые части, получаем:
,
,
.
,
,
,
, следовательно,
,
,
.
1.4.
,
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
, следовательно,
.
Левая часть равенства представляет собой значение функции
при
, а правая - при
, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при
и
равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть
,
, тогда
,
, (
,
,
(п.1.3)), следовательно,
1.6. Исследуем функцию
.
,
,
-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
.
или
,
,
Так как на сегменте
существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.
2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Итак,
Преобразуем выражение, получаем:
. Числитель правой части делится на
, знаменатель- на
.
Поскольку в множителе
слагаемых, равенство преобразуем:
Отсюда, если
не делится на
, то
, где
- общий делитель
и
(т.к.
и
- в этом случае взаимно простые числа,
и
- взаимно простые числа.
Если
делится на
и
делится на
, то
, где
- целое число.
2.2.Следовательно, чтобы равенство
было верным, необходимо сократить числитель на
, если
не делится на
, или на
, если
делит
. Аналогично надо сократить знаменатель.
2.3.
, следовательно,
делится на
(если
не делится на
, и
делит
, если
делит
).
, следовательно,
делится на
( если
не делится на
) или на
(если
делит
).
Следовательно, дробь мы сразу можем сократить на
(если
не делится на
) или на
(если
делит
и
).
Аналогично с сокращением знаменателя.
3.1. Итак, попробуем сократить .
Ищем общий множитель у числителя и знаменателя
.
сокращается на
(если
не делится на
) или на
, если
делит
. Следовательно, необходимо сократить
на
(если
не делится на
, или на
(если
делит
и
делит
), поскольку у
и
есть общий множитель
(или во втором случае
), на который мы можем сократить дробь изначально.
.
и
сокращаются на
(или во втором случае на
), следовательно, надо сократить
на
(если
не делится на
) или на
(если
делит
и
делит
).
Поскольку аналогично надо сократить знаменатель, получаем, что аналогично надо сократить
. Но это возможно ( при
и
) только в одном случае: если
,
,
и (поскольку
), если
и
.
При
уравнение не имеет решений.
4.1. При
получаем:
,
. Отсюда
, следовательно,
- четное число и
, где
- целое число. (
,
,
и
- нечетны, , следовательно,
- нечетно). Следовательно,
, а это невозможно, т.к. если
- четное число, то
и
- нечетны. Следовательно, при
уравнение
также не имеет решений.