Ноль

[bot]

Отсутствие аппетита - это количественный ноль? Координатный ноль - это номер какой координаты? Что такое координата, номер? К числам это имеет хотя бы какое-то отношение?
Э-э-э, для примера возьмём число $\pi$. Не могли бы Вы сообщить мне его координату и номер этой координаты?
Плохо ведь будет, если не будет координаты у $\pi$ или номер у неё не найдётся - количественный ноль получится.

[Vallav]

bot в сообщении #243998 писал(а):

ewert в сообщении #243992 писал(а):

если операция не коммутативна, то называть её сложением как-то не принято...

Однако встречается, хотя и редко, а вот умножение разве только в школе всегда коммутативно. У англоязычных даже field - это не поле в нашем смысле, а тело - умножение не предполагается коммутативным.

Вроде сложение и умножение различаются только по
свойству
$(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$
Если бы было наоборот
$(a*b)+c=(a+c)*(b+c)$
То тогда операция $*$ была бы сложением а $+$ умножением.
И обратного относительно операции $+$
не было бы у $1$.

[ewert]

Vallav в сообщении #244056 писал(а):

Если бы было наоборот

А и наоборот запросто бывает. Например, в булевой алгебре. Там есть дистрибутивность как для умножения относительно сложения, так и наоборот.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #244063 писал(а):

Vallav в сообщении #244056 писал(а):

Если бы было наоборот

А и наоборот запросто бывает. Например, в булевой алгебре. Там есть дистрибутивность как для умножения относительно сложения, так и наоборот.

Надо сказать, что в булевой алгебре сложением обычно обозначают симметрическую разность, а умножением пересечение. И дистрибутивность после этого остаётся только "в одну сторону".

Но как пример системы с двумя бинарными операциями, каждая из которых дистрибутивна относительно другой, булева алгебра подходит. В булевой алгебре (даже в любой дистрибутивной решётке)

$$x \cap (y \cup z) = (x \cap y) \cup (x \cap z)$$

$$x \cup (y \cap z) = (x \cup y) \cap (x \cup z)$$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244069 писал(а):

И дистрибутивность после этого остаётся только "в одну сторону".

Но как пример системы с двумя бинарными операциями, каждая из которых дистрибутивна относительно другой, булева алгебра подходит.

Блин: опять противоречие...

[Vallav]

Профессор Снэйп в сообщении #244069 писал(а):

ewert в сообщении #244063 писал(а):

Vallav в сообщении #244056 писал(а):

Если бы было наоборот

А и наоборот запросто бывает. Например, в булевой алгебре. Там есть дистрибутивность как для умножения относительно сложения, так и наоборот.

Надо сказать, что в булевой алгебре сложением обычно обозначают симметрическую разность, а умножением пересечение. И дистрибутивность после этого остаётся только "в одну сторону".

Но как пример системы с двумя бинарными операциями, каждая из которых дистрибутивна относительно другой, булева алгебра подходит. В булевой алгебре (даже в любой дистрибутивной решётке)

$$x \cap (y \cup z) = (x \cap y) \cup (x \cap z)$$

$$x \cup (y \cap z) = (x \cup y) \cap (x \cup z)$$

В этом случае операции симметричны.
И без разницы, какую назвать умножением, а какую
сложением.
Я же говорил про случай, когда они отличаются.
И чем именно они при этом отличаются.

[Кардановский]

ewert: Ваше замечание принимаю.

-- Чт сен 17, 2009 17:23:30 --

Someone: Насколько я Вас понял,Вы и,видимо не только Вы, аргументируете о том,что содержание понятия НОЛЬ неодинаково для различных случаев и зависит от рассматриваемой в данный момент математической конкретики... Если это так,то видимо одной из актуальных для математики задачей является формулировка общего определения понятия 0,охватывающего все случаи...

[master]

bot в сообщении #244018 писал(а):

Отсутствие аппетита - это количественный ноль?

Если вы аппетит измеряете числами, то да

bot в сообщении #244018 писал(а):

Координатный ноль - это номер какой координаты?

Во первых не номер а "номер", имелось ввиду что координата отождествляется с числом как комнаты в отеле.
Любой если задается первым

[Someone]

Кардановский в сообщении #244129 писал(а):

видимо одной из актуальных для математики задачей является формулировка общего определения понятия 0,охватывающего все случаи

Нисколько эта задача не актуальна, и вообще такой задачи нет. Я же, по-моему, ясно сказал: "ноль" - это одно из широко распространённых названий нейтрального элемента бинарной операции. Понимаете, один математик, рассматривая алгебраическую структуру, может назвать операцию в ней "сложением", а нейтральный элемент - "нулём". Другой имеет полное право, рассматривая ту же алгебраическую структуру, назвать ту же операцию "умножением", а нейтральный элемент - "единицей". А третий вообще обойдётся терминами "бинарная операция" и "нейтральный элемент". И ничего ему за это не будет. Поэтому "общее определение" - это нейтральный элемент (может быть, даже односторонний). Больше ничего в общем случае сказать нельзя.

[arseniiv]

Теория групп - тому большое подтверждение; хотя в ней и есть традиции на название операции у абелевых групп сложением, а неабелевых - умножением...

[Mathusic]

Никогда о такой традиции не слышал.

[Профессор Снэйп]

Vallav в сообщении #244079 писал(а):

В этом случае операции симметричны.
И без разницы, какую назвать умножением, а какую
сложением.
Я же говорил про случай, когда они отличаются.
И чем именно они при этом отличаются.

В смысле? Вы объединение от пересечения не отличаете?

Булева алгебра, кстати, самодвойственная структура. У неё всегда есть антиизоморфизм на себя, переводящий объединение в пересечение и наоборот. Но для произвольной дистрибутивной решётки (или даже алгебры Ершова, aka дистрибутивной решётки с нулём и относительными дополнениями, то есть идеала булевой алгебры) это не так.

Ещё в аксиоматической теории множеств есть специальная аксиома объединения (без неё никак), а вот аксиомы пересечения нет, ибо существование пересечения есть следствие аксиомы выделения.

[ZVS]

Доброе время суток.

Someone в сообщении #244192 писал(а):

"ноль" - это одно из широко распространённых названий нейтрального элемента бинарной операции..

Поэтому "общее определение" - это нейтральный элемент (может быть, даже односторонний). Больше ничего в общем случае сказать нельзя.

Ага.Только надо уточнить, что не существует никаких бинарных операций, без так называемого "нейтрального" элемента.И вообще никакой алгебры и всего,всего,всего.
Обозначив как нечто-то чего НЕТ, мы в виде формального элемента имеем полную противоположность его сущности.Далее, какие бы свойства мы не пытались определить, для данного элемента,они ВСЕГДА будут противоречивыми,ввиду двойственности смысла ,антогонистичности формы и содержания понятия нуля.Математики могут понять только форму,только то, что формально ОПРЕДЕЛЕНО.
И вполне логично использовать все, именно в данном смысле.
Но, с нулём происходит следующее: при решении прикладных задач,а теория ничего не стоит, если не позволяет решать практические задачи,мы НЕИЗБЕЖНО должны вытаскивать на свет Божий именно сущность нуля-то,чего НЕТ!
И ирония в том, что как раз бинарная логика применяемая в прикладных задачах, выявляет антогонизмы сущности и формы нуля.
"Отсутствие результата - тоже результат", ныне любимая поговорка физиков-теретиков, при обсуждении экспериментов.Вот уж кто поплатился, за попытки формально описывать законы природы.
Про финансистов и говорить нечего.
Выражение "отрицательный рост", даже не удивляет..

[ewert]

ZVS в сообщении #244641 писал(а):

Только надо уточнить, что не существует никаких бинарных операций, без так называемого "нейтрального" элемента.

Существуют. Самый назойливый пример -- векторное произведение.

[STilda]

при переводе векторного произведения в термины произведения кватернионов появляется нейтральный элемент.
можно говорить что "истинное" векторное произведение это четырехмерая бинарная операция с нейтральным элементом, но мы сузили до 3х-мерия и получили простую функцию двух аргументов.