Массивные калибровочные поля и преобразования сдвига

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #240246 писал(а):

Поле $\xi(\phi),$ заданное на многообразии M, всё равно глобально.

Я не знаю такого термина - глобальное поле. В контексте обсуждаемого есть локальная и глобальная симметрия лагранжиана.

[Munin]

Преобразование глобально. А является оно не полем, а полем преобразований в пространстве $\phi.$ Диффеоморфизмом, если вам угодно. Но - глобальным, то есть константным по $x.$

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #240365 писал(а):

Преобразование глобально. А является оно не полем, а полем преобразований в пространстве $\phi.$ Диффеоморфизмом, если вам угодно. Но - глобальным, то есть константным по $x.$

Опять мы скатываемся на обсуждение понятий и терминов. Ну если это полезно, то продолжим. Преобразования репараметризации в пространстве полей локальны(что это принятый термин см. например http://arxiv.org/abs/0808.0663 в 2.1, 2.3) в том смысле, что преобразование зависит от точки приложения. Согласен, что калибровочные локальные преобразования "локальны" в другом смысле чем репараметризации, а именно зависимостью от $x$. Из-за этого разного смысла, в первом случае нет расслоения и не надо вводить калибровочные поля для локальной репараметр. инвариантности. Лагранжиан выбран так что она просто есть. Во втором случае возникает слой-поля, база-$x$ и калибр. поле-связность.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #240710 писал(а):

Опять мы скатываемся на обсуждение понятий и терминов.

Да вообще-то нет. Я пытаюсь сосредоточить обсуждение на вещах существенных, типа зависимости преобразования от $x.$

ИгорЪ в сообщении #240710 писал(а):

что это принятый термин см. например http://arxiv.org/abs/0808.0663 в 2.1, 2.3

Ну, в струнах терминология может отличаться от КТП-шной, хотя согласен на репараметризацию.

ИгорЪ в сообщении #240710 писал(а):

Преобразования репараметризации в пространстве полей локальны(что это принятый термин см. например http://arxiv.org/abs/0808.0663 в 2.1, 2.3) в том смысле, что преобразование зависит от точки приложения. Согласен, что калибровочные локальные преобразования "локальны" в другом смысле чем репараметризации, а именно зависимостью от $x$.

Отлично. Значит, у указанных вами репараметризаций локальности по $\boldsymbol{x}$ нет, и таким образом, они не позволяют перевести одно поле в другое произвольно заданное. А ваше первоначальное предложение именно таким недостатком и обладало. Продолжим с этого места?

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #240725 писал(а):

Значит, у указанных вами репараметризаций локальности по х нет, и таким образом, они не позволяют перевести одно поле в другое произвольно заданное. А ваше первоначальное предложение именно таким недостатком и обладало.

Речь про сигма модель? Если да, то почему не позволяют? Или какое предложение вы имеете ввиду?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #240753 писал(а):

Речь про сигма модель? Если да, то почему не позволяют?

Про нелинейную сигма-модель. Почему не позволяют: пусть в одной точке $x_1$ имеются $\phi=\phi_1,$ $\partial\phi/\partial x=(\phi_,)_1,$ а в другой точке $x_2$ будут $\phi=\phi_1,$ $\partial\phi/\partial x=(\phi_,)_2\ne(\phi_,)_1.$ Тогда никаким $\xi(\phi)$ нельзя добиться совпадения в этих точках градиентов.

[ИгорЪ]

Значения поля и его градиентов в разных точках не имеет отношения к параметризационной инвариантности (ПИ). ПИ связывает разные поля, $\phi = \psi+ \xi(\psi)$ и выражает произвольность задания координат в target space. Калибровочные (КП) тоже связывают разные поля, а не их значения в точках. Я не прав?

p.s. интересно а троли в ветке так и не появятся?

[Munin]

Простите, а при чём тут репараметризационная инвариантность? Вам с самого начала было указано, что недостатком вашей модели является совсем другое.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #240863 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #240753 писал(а):

Речь про сигма модель? Если да, то почему не позволяют?

Про нелинейную сигма-модель. Почему не позволяют: пусть в одной точке $x_1$ имеются $\phi=\phi_1,$ $\partial\phi/\partial x=(\phi_,)_1,$ а в другой точке $x_2$ будут $\phi=\phi_1,$ $\partial\phi/\partial x=(\phi_,)_2\ne(\phi_,)_1.$ Тогда никаким $\xi(\phi)$ нельзя добиться совпадения в этих точках градиентов.

Я переспросил и ответил

ИгорЪ в сообщении #240881 писал(а):

Значения поля и его градиентов в разных точках не имеет отношения к параметризационной инвариантности (ПИ). ПИ связывает разные поля, $\phi = \psi+ \xi(\psi)$ и выражает произвольность задания координат в target space. Калибровочные (КП) тоже связывают разные поля, а не их значения в точках. Я не прав?

Репараметризационная инвариантность и сигма модель возникли в заявленной теме как пример локальной инвариантности не требующей введения калибровочного поля. А в чем недостаток модели можно уточнить? В исчезновении поля $\phi$?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #240935 писал(а):

А в чем недостаток модели можно уточнить? В исчезновении поля $\phi$?

Утундрий в сообщении #235621 писал(а):

Преобразованиями функций поля $\varphi$ вида $\varphi \to \varphi + a$ с произвольными функциями $a$ полностью покрываются все возможные функции поля. Трактуя эти преобразования как калибровочные приходится принять, что все вообще мыслимые функции $\varphi$ описывают одно и то же состояние :)

Другими словами, всегда можно использовать калибровку в которой $\varphi \equiv 0$.

У меня странная роль в этом триалоге... :-)

[ИгорЪ]

Замечание дельное. Ёще раз, посмотрите Хиггса, там тоже пропадает голдстоуново поле, придавая массу калибровочному. Но там есть "ручной" потенциал для СНС. Здесь он не нужен. Это преимущество. Чем плоха возможность чистой калибровки $\phi=0$? Это часто встречается.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #240956 писал(а):

Ёще раз, посмотрите Хиггса, там тоже пропадает голдстоуново поле, придавая массу калибровочному.

И что?

ИгорЪ в сообщении #240956 писал(а):

Чем плоха возможность чистой калибровки $\phi=0$? Это часто встречается.

Тем, что $\phi$ - единственное поле, за исключением "калибрующего", в вашей модели. Получается, ваша модель описывает только одно физическое поле, а не пару полей. А "часто встречающаяся калибровка $\phi=0$" относится к случаю, когда $\phi$ - скалярная часть 4-векторного поля, остальные 3 компоненты выживают и несут много физики.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #240960 писал(а):

И что?

Да то, что нет криминала в исчезновении поля! Криминал как раз в том, если бы безмассовый скаляр остался - нет иго в природе, пока, по крайней мере.

Munin в сообщении #240960 писал(а):

Получается, ваша модель описывает только одно физическое поле, а не пару полей.

Правильно, одно массивное калибровочное, и заметьте никаких бозонов Хиггса искать не надо!

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #240964 писал(а):

Правильно, одно массивное калибровочное

Одно, массивное, но уже не калибровочное, а просто поле.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #240981 писал(а):

но уже не калибровочное

Так Хиггсов механизм и называется нарушением локальной калибровочной симметрии. Поля не калибровочные уже... В нашем случае фиксация $\phi=0$ видимо тоже нарушает локальную симметрию, но без Х-бозона и без потенциала.