О сумме двух кубов

[tolstopuz]

age в сообщении #225338 писал(а):

Спасибо. И все же мне хотелось бы формулу алгебраического решения в буквенной форме

Мне бы тоже, но увы. Что есть, то есть.

[age]

tolstopuz
В общем я сейчас немножко думаю, на самом деле, над этой проблеммкой. И мне удалось достичь следующего результата:
Решения уравнения $x^4+y^4=a^4-b^4$ должны удовлетворять условиям:
$x^4=2c^2-6d^2+7cd$
$y^4=cd$
Для некоторых $c$ и $d$.
Вот пока здесь тупик.

[tolstopuz]

age в сообщении #225373 писал(а):

Для некоторых $c$ и $d$.

Для некоторых целых, некоторых рациональных, некоторых действительных или некоторых комплексных? Если для некоторых целых или для некоторых рациональных, то это утверждение неверно - подставьте $x$ и $y$ из любого из приведенных вами же численных примеров, сведите к биквадратному уравнению и убедитесь сами.

[ljubarcev]

[\guote] Штршов писал: "Нет, уважаемый "tolstopuz" только два числа удовлетворяют приведённому равенству:$X^3+Y^3=(X+Y)^2$. Одно число я принял равным 1, а другое нашёл".[/guote]
Уважаемый господин Ширшов! Вы не правы. Пара натуральных чисел $x=2;y=2$ так же является решением равенства $x^3+y^3=(x+y)^2$, так как $2^3+2^3=(2+2)^2$.
Дед.

[Виктор Ширшов]

ljubarcev. А Вы время зря не теряли. В самом деле, равенство $x^3+y^3=(x+y)^2$ сохраняется и при $x=y=2$. Но и закономерность $x^3+y^3=(x+y)(xy+k^2)$, где $k=x-y=y-x=0$ выполняется.

[ljubarcev]

Виктор Ширшов в сообщении #231499 писал(а):

ljubarcev. А Вы время зря не теряли. В самом деле, равенство $x^3+y^3=(x+y)^2$ сохраняется и при $x=y=2$. Но и закономерность $x^3+y^3=(x+y)(xy+k^2)$, где $k=x-y=y-x=0$ выполняется.

Уважаемый господин Ширшов! Ведь равенство $x^3+y^3=(x+y)(xy+k^2)$ является тождеством и выполняется при любых $x;y$, то есть при любом натуральном $k=y-x$ или $k=x-y$. Но это не имеет отношения к рассматриваемому Вами равенству.
$x^3+y^3=(x+y)^2$, которое действительно имеет в натуральных числах только два решения, чего Вы , как Вам и указывал tolstopuz, не доказали. Докажем.
$x^3+y^3=(x+y)^2$. Так как $x+y$ не равно нулю, после сокращения получаем $x^2-xy+y^2=x+y$, $(y-x)^2=x+y-xy$. В последнем равенстве слева имеем квадрат - всегда натуральное число. Справа число будет натуральным только и только при $x=y=2$ и $(x=1;y=2)$ или $(x=2;y=1)$. Других решений нет.
Дед.

[Виктор Ширшов]

ljubarcev в сообщении #76265 писал(а):

Любая пара целых чисел дает решение в целых числах уравнения: $X^3+Y^3=U^3+V^3$

Виктор Ширшов в сообщении #221933 писал(а):

А как быть с парой целых чисел, сумма кубов которой равна квадрату их суммы?
Сказанное запишем так: $X^3+Y^3=(X+Y)^2$

Это уравнение - пример противоречивости Вашего утверждения.
Оно в самом деле мною не доказывалось, а только решалось при помощи закономерности $X^3+Y^3=(X+Y)(XY+k^2)$, где $k$ - разность между $X,Y$. Я нашёл одно решение, Вы - второе, приняв $X$ и $Y$ равными 2.
Доказательства у Вас я не увидел, поэтому не поздравляю.

[Nilenbert]

Если что, уравнение $x^3+y^3=(x+y)^2$ имеет в целых чисkах только такие решения:
1)$(a,-a)\forall a \in Z$
2)$(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2)$
Набросок доказательства:
Можем переписать уравнение в виде $(x+y)((x^2-xy+y^2)-(x+y))=0$. ПРиравнивая нулю первую скобку получим первую серию решений. Если же нулю равна вторая скобка, то $x^2-xy+y^2=x+y$. Пусть тогда $x+y=p,xy=q$.Уравнение перепишется в виде:$p^2-3q=p$. К тому же надо учесть неравенство $p^2-4q=(x-y)^2\ge 0$.Получим систему:

$$ p^2-p=3q p^2\ge 4q $$

Рассматривая этут систему получим,что $0\le q\le 4$.

[tolstopuz]

Nilenbert в сообщении #239253 писал(а):

Если же нулю равна вторая скобка, то $x^2-xy+y^2=x+y$. Пусть тогда $x+y=p,xy=q$.

На прошлой странице я предложил подстановку, еще проще ведущую к ответу:

tolstopuz в сообщении #221999 писал(а):

$X=\frac{u+v}2+1, Y=\frac{u-v}2+1$.

(где $u$ и $v$ - целые числа одной четности)

Сразу же получаем $u^2+3v^2=4$, то есть $(u,v)=(\pm1,\pm1)$ или $(u,v)=(\pm2,0)$.

ljubarcev в сообщении #239144 писал(а):

Так как $x+y$ не равно нулю, после сокращения получаем $x^2-xy+y^2=x+y$, $(y-x)^2=x+y-xy$. В последнем равенстве слева имеем квадрат - всегда натуральное число.

Тоже неплохо. Для убеждения особо упертых можно переписать в виде $(y-x)^2=1-(y-1)(x-1)$ и заменить слово "натуральное" на "целое неотрицательное".

Виктор Ширшов в сообщении #239242 писал(а):

Доказательства у Вас я не увидел, поэтому не поздравляю.

Ну теперь-то вам показали целых три доказательства.

[Виктор Ширшов]

tolstopuz в сообщении #239316 писал(а):

Для убеждения особо упертых можно переписать в виде $(y-x)^2=1-(y-1)(x-1)$ и заменить слово "натуральное" на "целое неотрицательное"... Ну теперь-то вам показали целых три доказательства.

Предполагаю, будут и другие доказательства приведённого мною тождества. Убеждать "особо упёртого" не надо, так как эти доказательства меня сейчас мало интересуют. Может быть, зимой я к ним вернусь, когда свободного времени появится больше. А пока убеждайте других участников в том, что Ваше доказательство самое правильное.

[tolstopuz]

Виктор Ширшов в сообщении #239242 писал(а):

Доказательства у Вас я не увидел, поэтому не поздравляю.

Теперь самое время поздравить нас троих.

Виктор Ширшов в сообщении #239452 писал(а):

А пока убеждайте других участников в том, что Ваше доказательство самое правильное.

Зачем?

[ljubarcev]

Уважаемые господа! Задача о сумме двух кубов, как видно из темы, вызывает по прежнему определенный интерес.
С подачи Виктора Ширшова мы рассмотрели равенство
$x^3+y^3=(x+y)^2$. Это равенство с двумя неизвестными,
Предлагаю усложнить задачу и доказать утверждение «равенство $x^3+y^3=z^2$ при попарно взаимно простых $x;y;z$ и $x<y<z$ имеет единственное решение в натуральных числах $x=1$; $y=2$; $z=3$». Ведь действительно $1^3+2^3=3^2$. Если это утверждение доказать оно станет простенькой теоремой, которая может оказаться полезной при доказательстве «отрицательных» утверждений.
Дед.

[grisania]

ljubarcev в сообщении #239594 писал(а):

Уважаемые господа! Задача о сумме двух кубов, как видно из темы, вызывает по прежнему определенный интерес.
С подачи Виктора Ширшова мы рассмотрели равенство
$x^3+y^3=(x+y)^2$. Это равенство с двумя неизвестными,
Предлагаю усложнить задачу и доказать утверждение «равенство $x^3+y^3=z^2$ при попарно взаимно простых $x;y;z$ и $x<y<z$ имеет единственное решение в натуральных числах $x=1$; $y=2$; $z=3$». Ведь действительно $1^3+2^3=3^2$. Если это утверждение доказать оно станет простенькой теоремой, которая может оказаться полезной при доказательстве «отрицательных» утверждений.
Дед.

age пишет такое на ветке Petern1
"Вот Petern1 действительно открыл очень полезную тему, где привел некоторые интересные свойства неполных квадратов и параметрическое решение уравнения $x^3+y^3=z^2$".
Я посмотрел и не нашел, уж очень ветка замусорена.
Однако разве ваша гипотеза не будет следовать из параметрических решений Petern1?

[age]

grisania
ljubarcev
Ребята, только потом напишете, что вам стыдно!

Petern1 в сообщении #167981 писал(а):

5) Сумма кубов может быть равна квадрату.
Формулы вычисления $a ,b$ таких, сумма кубов которых равна квадрату
$a=4k(k^3-1)$ $[20_a]$ ,
$b=8k^3+1^4$ $[20_b]$ .

$64k^3(k^3-1)^3+(8k^3+1)^3=(8k^6+20k^3-1)^2$
В соседнюю ветку трудно заглянуть.

[grisania]

age в сообщении #239601 писал(а):

grisania
ljubarcev
Ребята, только потом напишете, что вам стыдно!

Petern1 в сообщении #167981 писал(а):

5) Сумма кубов может быть равна квадрату.
Формулы вычисления $a ,b$ таких, сумма кубов которых равна квадрату
$a=4k(k^3-1)$ $[20_a]$ ,
$b=8k^3+1^4$ $[20_b]$ .

$64k^3(k^3-1)^3+(8k^3+1)^3=(8k^6+20k^3-1)^2$
Должно быть стыдно! В соседнюю ветку трудно заглянуть.

Стыдно, стыдно. Теперь вопрос? Как с небходимостью дела обстоят? Про единственность молчу. Даже в Лемме Эйлера не доказана единственнсть представлений.