2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 12  След.
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение14.06.2009, 12:00 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
ljubarcev в сообщении #76265 писал(а):
«Еще одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения $X^3+Y^3=U^3+V^3$. Френикль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашел несколько решений, например $1729=9^3+10^3=1^3+12^3$ и $40033=16^3+33^3=9^3+34^3 (по видимому испытанным методом проб и ошибок).» (Г. Эдвардс. «Последняя теорема Ферма», под редакцией Б.Ф.Скубенко. изд. Мир. Москва, 1980 год, стр. 54.)
Задача решаема. Таковых пар сумм кубов бесконечное множество. Решение получается путем доказательства утверждения:
Любая пара целых чисел дает решение в целых числах уравнения
$X^3+Y^3=U^3+V^3$

А как быть с парой целых чисел, сумма кубов которой равна квадрату их суммы?
Сказанное запишем так:
$X^3+Y^3=(X+Y)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение14.06.2009, 17:00 
Заслуженный участник


31/12/05
1525
Виктор Ширшов в сообщении #221933 писал(а):
А как быть с парой целых чисел, сумма кубов которой равна квадрату их суммы.
Сказанное запишем так:
$X^3+Y^3=(X+Y)^2$
Сократите на $X+Y$ и сделайте подстановку $X=\frac{u+v}2+1, Y=\frac{u-v}2+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение14.06.2009, 20:03 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
tolstopuz в сообщении #221999 писал(а):
Сократите на и сделайте подстановку

Спрашивая, я имел ввиду другое: существует два целых натуральных числа (только два), которые можно представить суммой двух кубов и квадратом суммы.

Это можно обосновать, если применить закономерность $X^3+Y^3 = (X+Y)(XY +k^2)$, справедливую для любой суммы двух кубов.
Можно заметить, если Y=1, то правая часть преобразуется в вид $(X+Y)(X+k^2)$, а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1, можно найти и второе число X, которое получается равным 2.

P.S. Если говорить о закономерности для суммы двух кубов, то она может быть полезна для школьников 7-8 классов, решающих алгебраические уравнения на сокращение.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение14.06.2009, 20:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
И откуда вы взяли такую закономерность?

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение14.06.2009, 20:22 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
arseniiv в сообщении #222033 писал(а):
И откуда вы взяли такую закономерность?

Смотрите тему topic22109.html стр. 2

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение14.06.2009, 21:52 
Заслуженный участник


31/12/05
1525
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
Можно заметить, если Y=1
А если $Y\ne1$?
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1
А если не $1$?

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
существует два целых натуральных числа (только два)
Так что тот факт, что их только два, а не, скажем, тридцать семь, вы обосновать не смогли.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение26.06.2009, 07:09 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
Виктор Ширшов в сообщении #221933 писал(а):
А как быть с парой целых чисел, сумма кубов которой равна квадрату их суммы?
Сказанное запишем так: $X^3+Y^3=(X+Y)^2$

Как я понимаю, jubarcev утверждает, что для любой суммы двух кубов в целых числах есть равная сумма двух других целых чисел, возведённых в куб:$X^3+Y^3=U^3+V^3$.
tolstopuz. Я привёл пример, двух целых чисел (1,2), противоречещих утверждению.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение26.06.2009, 14:27 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
Можно заметить, если Y=1
А если $Y\ne1$?

Можно заметить то, что если $Y=1$, то в левой части получается $X^3+1^3$, а в правой части первый множитель $X+1$, а второй множитель будет $(X+k^2)$.

tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1
А если не 1?


Если и $k=1$ ($k$ будет таким, если $X=2$), то и второй множитель $X+1$.
tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
существует два целых натуральных числа (только два)
Так что тот факт, что их только два, а не, скажем, тридцать семь, вы обосновать не смогли.

Нет, уважаемый "tolstopuz" только два числа удовлетворяют приведённому равенству:$X^3+Y^3=(X+Y)^2$. Одно число я принял равным 1, а другое нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение26.06.2009, 15:18 
Заслуженный участник


31/12/05
1525
Виктор Ширшов в сообщении #224942 писал(а):
tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
Можно заметить, если Y=1
А если $Y\ne1$?

Можно заметить то, что если $Y=1$, то в левой части получается $X^3+1^3$, а в правой части первый множитель $X+1$, а второй множитель будет $(X+k^2)$.

А если $Y\ne1$?
Виктор Ширшов в сообщении #224942 писал(а):
tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1
А если не 1?


Если и $k=1$ ($k$ будет таким, если $X=2$), то и второй множитель $X+1$.

А если $k \ne 1$?
Виктор Ширшов в сообщении #224942 писал(а):
tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):
Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
существует два целых натуральных числа (только два)
Так что тот факт, что их только два, а не, скажем, тридцать семь, вы обосновать не смогли.

Нет, уважаемый "tolstopuz" только два числа удовлетворяют приведённому равенству:$X^3+Y^3=(X+Y)^2$.
Только вот доказать этот факт вы не смогли.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение26.06.2009, 20:13 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
tolstopuz в сообщении #224958 писал(а):
Только вот доказать этот факт вы не смогли.

Разве я что-то доказывал. Я просто не без оснований утверждаю, что если X=1, а Y=2 или наоборот (других вариантов нет), то $X^3+Y^3=(X+Y)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение28.06.2009, 09:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Уважаемый ljubarcev, уважаемые участники!
Прошу заметить, что задачка о равенстве двух кубических форм - довольно старая решенная задачка, решение которой было найдено еще в 17 веке. Поэтому мне хотелось бы предложить вам подумать над несколько другими вопросами.
1. Верно ли то, что все решения уравнения $x^3+y^3=p^3-q^3$ исчерпываются формулой $(2a^3b-b^4)^3+(a^4-2ab^3)^3=a^3(a^3+b^3)^3-b^3(a^3+b^3)^3$. Или возможны иные решения?
2. Известно, что Л.Эйлер ошибся, когда предположил, что уравнение $x^4+y^4=a^4-b^4$ не может иметь решений. Известны как минимум два его решения, найденные с помощью средств ЭВМ:
$95800^4+217519^4=422481^4-414560^4$
$2682440^4+15365639^4=20615673^4-18796760^4$
А что вы скажете о нахождении формулы решения данных уравнений?

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение28.06.2009, 10:41 


04/01/09
141
age в сообщении #225232 писал(а):
Известны как минимум два его решения, найденные с помощью средств ЭВМ:
...
причем второе из них неверно.

Вы отметили очень важное свойство второго решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение28.06.2009, 11:36 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
sf1
http://www.ega-math.narod.ru/Singh/ch4.htm
http://lib.rus.ec/b/121387/read
post156410.html
topic20858.html
- та же ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение28.06.2009, 20:07 
Заслуженный участник


31/12/05
1525
Виктор Ширшов в сообщении #225025 писал(а):
Я просто не без оснований утверждаю, что если X=1, а Y=2 или наоборот
Эту часть вы утверждаете не без оснований.
Виктор Ширшов в сообщении #225025 писал(а):
(других вариантов нет)
А эту - без оснований.

-- Вс июн 28, 2009 20:17:58 --

age в сообщении #225232 писал(а):
А что вы скажете о нахождении формулы решения данных уравнений?
Второе уравнение приводится к пучку эллиптических кривых, как описано в статье

Noam D Elkies: On A^4+B^4+C^4=D^4,Mathematics of Computation,Oct.1988

Примеры расчетов здесь (четвертая и пятая ссылки):

http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/dioph46e.html

 Профиль  
                  
 
 Re: О сумме двух кубов
Сообщение28.06.2009, 20:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
tolstopuz
Спасибо. И все же мне хотелось бы формулу алгебраического решения в буквенной форме, подобно той, что я записал выше. Это могло бы помочь найти решения уравнения для 5-х и 6-х степеней:
$x^5+y^5=a^5-b^5$
$x^6+y^6=a^6-b^6$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 179 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group