О сумме двух кубов

[Виктор Ширшов]

ljubarcev в сообщении #76265 писал(а):

«Еще одна задача Ферма, заинтересовавшая Эйлера, состоит в следующем: дано число, которое является суммой двух кубов; запишите его в виде двух кубов другим способом. Здесь кубы предполагаются рациональными, однако можно обычным образом избавиться от знаменателей и свести задачу к нахождению всех целочисленных решений уравнения $X^3+Y^3=U^3+V^3$. Френикль, перед которым Ферма поставил эту задачу, нашел несколько решений, например $1729=9^3+10^3=1^3+12^3$ и $40033=16^3+33^3=9^3+34^3 (по видимому испытанным методом проб и ошибок).» (Г. Эдвардс. «Последняя теорема Ферма», под редакцией Б.Ф.Скубенко. изд. Мир. Москва, 1980 год, стр. 54.)
Задача решаема. Таковых пар сумм кубов бесконечное множество. Решение получается путем доказательства утверждения:
Любая пара целых чисел дает решение в целых числах уравнения
$X^3+Y^3=U^3+V^3$

А как быть с парой целых чисел, сумма кубов которой равна квадрату их суммы?
Сказанное запишем так:
$X^3+Y^3=(X+Y)^2$

[tolstopuz]

Виктор Ширшов в сообщении #221933 писал(а):

А как быть с парой целых чисел, сумма кубов которой равна квадрату их суммы.
Сказанное запишем так:
$X^3+Y^3=(X+Y)^2$

Сократите на $X+Y$ и сделайте подстановку $X=\frac{u+v}2+1, Y=\frac{u-v}2+1$.

[Виктор Ширшов]

tolstopuz в сообщении #221999 писал(а):

Сократите на и сделайте подстановку

Спрашивая, я имел ввиду другое: существует два целых натуральных числа (только два), которые можно представить суммой двух кубов и квадратом суммы.

Это можно обосновать, если применить закономерность $X^3+Y^3 = (X+Y)(XY +k^2)$, справедливую для любой суммы двух кубов.
Можно заметить, если Y=1, то правая часть преобразуется в вид $(X+Y)(X+k^2)$, а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1, можно найти и второе число X, которое получается равным 2.

P.S. Если говорить о закономерности для суммы двух кубов, то она может быть полезна для школьников 7-8 классов, решающих алгебраические уравнения на сокращение.

[arseniiv]

И откуда вы взяли такую закономерность?

[Виктор Ширшов]

arseniiv в сообщении #222033 писал(а):

И откуда вы взяли такую закономерность?

Смотрите тему topic22109.html стр. 2

[tolstopuz]

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):

Можно заметить, если Y=1

А если $Y\ne1$?

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):

а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1

А если не $1$?

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):

существует два целых натуральных числа (только два)

Так что тот факт, что их только два, а не, скажем, тридцать семь, вы обосновать не смогли.

[Виктор Ширшов]

Виктор Ширшов в сообщении #221933 писал(а):

А как быть с парой целых чисел, сумма кубов которой равна квадрату их суммы?
Сказанное запишем так: $X^3+Y^3=(X+Y)^2$

Как я понимаю, jubarcev утверждает, что для любой суммы двух кубов в целых числах есть равная сумма двух других целых чисел, возведённых в куб:$X^3+Y^3=U^3+V^3$.
tolstopuz. Я привёл пример, двух целых чисел (1,2), противоречещих утверждению.

[Виктор Ширшов]

tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
Можно заметить, если Y=1
А если $Y\ne1$?

Можно заметить то, что если $Y=1$, то в левой части получается $X^3+1^3$, а в правой части первый множитель $X+1$, а второй множитель будет $(X+k^2)$.

tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1
А если не 1?

Если и $k=1$ ($k$ будет таким, если $X=2$), то и второй множитель $X+1$.

tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
существует два целых натуральных числа (только два)
Так что тот факт, что их только два, а не, скажем, тридцать семь, вы обосновать не смогли.

Нет, уважаемый "tolstopuz" только два числа удовлетворяют приведённому равенству:$X^3+Y^3=(X+Y)^2$. Одно число я принял равным 1, а другое нашёл.

[tolstopuz]

Виктор Ширшов в сообщении #224942 писал(а):

tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
Можно заметить, если Y=1
А если $Y\ne1$?

Можно заметить то, что если $Y=1$, то в левой части получается $X^3+1^3$, а в правой части первый множитель $X+1$, а второй множитель будет $(X+k^2)$.

А если $Y\ne1$?

Виктор Ширшов в сообщении #224942 писал(а):

tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
а если знать, что k - разность между X и Y, то приняв его равным 1
А если не 1?

Если и $k=1$ ($k$ будет таким, если $X=2$), то и второй множитель $X+1$.

А если $k \ne 1$?

Виктор Ширшов в сообщении #224942 писал(а):

tolstopuz в сообщении #222059 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #222030 писал(а):
существует два целых натуральных числа (только два)
Так что тот факт, что их только два, а не, скажем, тридцать семь, вы обосновать не смогли.

Нет, уважаемый "tolstopuz" только два числа удовлетворяют приведённому равенству:$X^3+Y^3=(X+Y)^2$.

Только вот доказать этот факт вы не смогли.

[Виктор Ширшов]

tolstopuz в сообщении #224958 писал(а):

Только вот доказать этот факт вы не смогли.

Разве я что-то доказывал. Я просто не без оснований утверждаю, что если X=1, а Y=2 или наоборот (других вариантов нет), то $X^3+Y^3=(X+Y)^2$.

[age]

Уважаемый ljubarcev, уважаемые участники!
Прошу заметить, что задачка о равенстве двух кубических форм - довольно старая решенная задачка, решение которой было найдено еще в 17 веке. Поэтому мне хотелось бы предложить вам подумать над несколько другими вопросами.
1. Верно ли то, что все решения уравнения $x^3+y^3=p^3-q^3$ исчерпываются формулой $(2a^3b-b^4)^3+(a^4-2ab^3)^3=a^3(a^3+b^3)^3-b^3(a^3+b^3)^3$. Или возможны иные решения?
2. Известно, что Л.Эйлер ошибся, когда предположил, что уравнение $x^4+y^4=a^4-b^4$ не может иметь решений. Известны как минимум два его решения, найденные с помощью средств ЭВМ:
$95800^4+217519^4=422481^4-414560^4$
$2682440^4+15365639^4=20615673^4-18796760^4$
А что вы скажете о нахождении формулы решения данных уравнений?

[sf1]

age в сообщении #225232 писал(а):

Известны как минимум два его решения, найденные с помощью средств ЭВМ:
...
причем второе из них неверно.

Вы отметили очень важное свойство второго решения.

[age]

sf1
http://www.ega-math.narod.ru/Singh/ch4.htm
http://lib.rus.ec/b/121387/read
post156410.html
topic20858.html
- та же ошибка.

[tolstopuz]

Виктор Ширшов в сообщении #225025 писал(а):

Я просто не без оснований утверждаю, что если X=1, а Y=2 или наоборот

Эту часть вы утверждаете не без оснований.

Виктор Ширшов в сообщении #225025 писал(а):

(других вариантов нет)

А эту - без оснований.

-- Вс июн 28, 2009 20:17:58 --

age в сообщении #225232 писал(а):

А что вы скажете о нахождении формулы решения данных уравнений?

Второе уравнение приводится к пучку эллиптических кривых, как описано в статье

Noam D Elkies: On A^4+B^4+C^4=D^4,Mathematics of Computation,Oct.1988

Примеры расчетов здесь (четвертая и пятая ссылки):

http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/dioph46e.html

[age]

tolstopuz
Спасибо. И все же мне хотелось бы формулу алгебраического решения в буквенной форме, подобно той, что я записал выше. Это могло бы помочь найти решения уравнения для 5-х и 6-х степеней:
$x^5+y^5=a^5-b^5$
$x^6+y^6=a^6-b^6$