Решить диофантово уравнение x^3 + y^3 = 7 z^3

[Руст]

Найти все решения в целых числах у уравнения:
$x^3+y^3=7z^3.$

[vbn]

$$ (2a, -a, a), a \in \mathbb Z - решения.
Как же доказать, что других решений нет?

[Руст]

Другие решения есть.

[Brukvalub]

Видна,как минимум, симметрия по перестановке x и y

[juna]

Если найдено одно решение, то из него можно размножать другие: $a^3+b^3=7$, то $m=a-\frac{3ab^3}{b^3-a^3}$, $n=b+\frac{3a^3b}{b^3-a^3}$, $m^3+n^3=7$.
Более детально нужно рассматривать эллиптическую кривую $q^2=7v^3-\frac 1 {108}$, приводить к форме Вейерштрасса и т.д.

[Brukvalub]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Если найдено одно решение, то из него можно размножать другие: $a^3+b^3=7$, то $m=a-\frac{3ab^3}{b^3-a^3}$, $n=b+\frac{3a^3b}{b^3-a^3}$, $m^3+n^3=7$.
Более детально нужно рассматривать эллиптическую кривую $q^2=7v^3-\frac 1 {108}$, приводить к форме Вейерштрасса и т.д.

А разве такое размножение непременно приводит к целым числам? (если, например, $a=2$ и $b=-1$)...

[juna]

При $a=2$, $b=-1$ получаем, например, следующее решение $5^3+4^3=7*3^3$.

[Brukvalub]

Написал, не посмотрев еще раз в условие

[Руст]

Надо вычислить ранг эллиптической кривой (равный 1), установить отсутствие периодической части группы рациональных точек и образующую точку $(2,-1)$. Тогда все решения выражаются через кратные относительно сложения в этой кривой точки $(2,-1)$ и мультипликативные множители $a$.

[MMyaf]

$(\frac {x} {z}) ^3 + (\frac {y} {z}) ^3 = 7$
$(\frac {x}{z} + \frac {y}{z})((\frac {x} {z}) ^2 - \frac {x} {z} \frac {y} {z} + (\frac {y} {z}) ^2) = 7
Слева стоит произведение, справа простое число. Существует две возможности.
Возможность под номером 1:
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{z} + \frac{y}{z} = 1,\\ (\frac {x}{z}) ^2 - \frac{x}{z} \frac{y}{z} + (\frac {y}{z}) ^2 = 7 \end{array} \right. $
Возможность 2:
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{z} + \frac{y}{z} = 7,\\ (\frac {x}{z}) ^2 - \frac{x}{z} \frac{y}{z} + (\frac {y}{z}) ^2 = 1 \end{array} \right. $
Решаем эти две системы отностиельно $\frac{x}{z} , \frac{y}{z} $
И получаем из первой системы:
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {x}{z} = -1,\\ \frac {y}{z} = 2 \end{array} \right. $
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {x}{z} = 2,\\ \frac {y}{z} = -1 \end{array} \right. $
Вторая система решений не дает.
Ответ: $(-z, 2 z, z), (2 z, -z, z), z$ - принадлежит целым числам.

[Руст]

Пример $x/z+y/z=3,x=4,y=5,z=3$?

[MMyaf]

Мда... . Проглядел, что множители могут то быть не только целыми, а и дробными.
Вот еще одно из решений $(a, -a, 0), a$ - принадлежит целым числам.Мда... .

[Руст]

Количество взаимно простых решений бесконечно.

[MMyaf]

Цитата:

Мда... . Проглядел, что множители могут то быть не только целыми, а и дробными.
Вот еще одно из решений (a, -a, 0), a - принадлежит целым числам.Мда... .

Этим я хотел сказать, что идея была фикс.

[juna]

Цитата:

Надо вычислить ранг эллиптической кривой (равный 1), установить отсутствие периодической части группы рациональных точек и образующую точку $(2,-1)$. Тогда все решения выражаются через кратные относительно сложения в этой кривой точки $(2,-1)$ и мультипликативные множители $a$.

Да. Похоже, Руст перестарался со сложностью задачи. Действительно, множество рациональных точек эллиптической кривой является конечнопорожденной абелевой группой и представляется в виде: $Z^r\times Kr$, где $r$ - ранг эллиптической кривой, $Kr$ - группа кручения. Уравнение $a^3+b^3=7$ после преобразований приводит к следующей эллиптической кривой $y’^2=x’^3-49/108$. Для такого вида эллиптической кривой группа кручения определяется по числу $-49/108$ и равна нулю (нуль - единственная точка кручения). Ранг $r$ определяет, сколько различный рациональных точек нужно взять, чтобы сумма точек эллиптической кривой $a_1T_1+a_2T_2+…+a_rT_r$ всегда давала различные точки (теорема Морделла). Если $r=1$, то достаточно всего одной точки. Однако мне неизвестны общие методы вычисления ранга, кроме гипотезы Берча. В условия нашей задачи нужно показать, что две точки – уже лишку, кроме того, ранг не равен нулю, иначе имелось бы лишь конечное множество рациональных точек.
Представленные выше формулы для размножения точек были получены следующим образом: пусть $a^3+b^3=N$, ищем $x,y$, $x^3+y^3=N$. Предполагаем $y=b+t$, $x=a-\frac{b^2}{a^2}t$ и ищем рациональное $t$, удовлетворяющее этим условиям. Находим $t=\frac{3a^3b}{b^3-a^3}$. Я знаю, что для некоторых $N$ эти формулы не дают всех решений. Например, для $N=9$ соответствующая задача имеется у Г.Э.Дьюдени «Кентерберийские головоломки» задача №20. Первое положительное решение очевидно $2^3+1^3=9$, следующее положительное, полученное по предложенным формулам, содержит в знаменателе 21 цифру, однако решение Г.Э.Дьюдени много короче: $(\frac{415280564497}{348671682660})^3+(\frac{676702467503}{348671682660})^3=9$.