Великая теорема Ферма. Классическое доказательство

[victor_sorokin]

В равенстве Ферма
число $a-b$ является делителем числа $q-p$,
с другой стороны $a-b>>q-p$.
Подробное доказательство будет представлено, как только улучится свободная минута.

-- Ср авг 19, 2009 12:17:58 --

Несмешное, классическое доказательство ВТФ

Обозначения чисел, участвующие в доказательстве, становятся понятными из следующих соотношений после устранения общих множителей в числах $A, B, C$ (пока $AB$ не кратно $n$):

1°) $A^n+B^n=C^n$,
2°) $A^n=C^n-B^n=(C-B)P=a^np^n=(ap)^n$,
3°) $B^n=C^n-A^n=(C-A)Q=b^nq^n=(bq)^n$,
4°) $C^n=A^n+B^n=(A+B)R$,
5°) $A+B-C=U=(A+B)-C=A+(B-C)=B+(A-C)=$
$=ap-a^n=bq-b^n=abc^*$,
где $c^*$ – наибольший общий делитель чисел $C$ и $A+B$. Откуда
6°) $p= a^{n-1}+ubc^*$ и
7°) $q=b^{n-1}+uac^*$.

Вычитая из 7° 6°, имеем:
7°) $q-p=(b^{n-1}- b^{n-1})+uc^*(a-b)$.
И факт делимости числа $q-p$ на $a-b$ налицо.

8°) Но $a-b>>q-p$, о чем говорилось в одном из предыдущих постов.

И противоречие налицо.

В случае, если $AC$, или $BC$ не кратно $n$, доказательство аналогично.

Человеку с точным количественным глазомером верность неравенства 8° представляется очевидной.

Однако до аналитического доказательства неравенства 8° можно убедиться в его верности простыми расчетами на компьютере для частного случая:

$n=3$,
$A=125, A^3=1 953 125$,
$B=64, B^3=262 144$,
$C=130,353, C^n=2 215 269$,

$C-B=66,353, a=4,048375$,
$P=\frac{A^3}{C-B}=29 435,4, p=30,875$,

$C-A=5,353, b=1,7493$,
$Q=\frac{B^3}{C-A}=48971, q=36,584$,
$a-b=2,29901, T=\frac{A-B}{a-b}=61/2,29901=26,533$,

$Q-P=19536, q-p=5,7096$ – на 26,533 НЕ делится!

[Garik2]

Так и хочется сказать новоиспеченным фермистам: "Не мучайте нас классическим невежеством!"

[victor_sorokin]

Garik2 в сообщении #236301 писал(а):

Так и хочется сказать новоиспеченным фермистам: "Не мучайте нас классическим невежеством!"

В копилку!

-- Ср авг 19, 2009 17:25:09 --

+++++++++++

Не было ни гроша, да вдруг алтын!

Существует второе, похожее, доказательство ВТФ – на базе делимости числа $a+b$ на $c^*$, что невозможно, ибо
$0,5 < \frac{a+b}{c^*} <2$ и $a+b$ не равно $c^*$.

[victor_sorokin]

Новая гипотеза на тему общих делителей:

Для взаимнопростых и не кратных простому $n$ натуральных чисел $a, b, c, d$, причем
1) число $a-b$ не кратно $n$ и
2) и число $c-d$ делится на $a-b$,
числа $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{d^n-c^n}{d-c}$ являются взимнопростыми.

-- Чт авг 20, 2009 23:11:36 --

victor_sorokin в сообщении #236618 писал(а):

Новая гипотеза на тему общих делителей:
...

Или (по сути, эквивалентная) гипотеза:

Для взаимнопростых и не кратных простому $n$ натуральных чисел $a, b, a-b, c$

числа $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{(a+c)^n-(b+c)^n}{a-b}$ являются взимнопростыми.

Известна ли эта теорема?

[age]

victor_sorokin
Я понимаю, что это все занятно.
Но какой смысл, ведь то, чем вы занимаетесь - это все равно, что неожиданно вопреки всему мировому сообществу открыть, что $2\cdot2=5$, по типу Эйлера, который нежданно негаданно установил:
$1+2+3+...=-\dfrac{1}{12}$
$1^2+2^2+3^2+...=0$

Тривиальных (арифметических) доказательств теоремы Ферма не существует. Найденное Ферма доказательство было "чудесным", но оно не было арифметическим и не включало лишь операции сложения/умножения/возведения в степень. Об этом Ферма ничего не сообщал.

[victor_sorokin]

age в сообщении #236627 писал(а):

Тривиальных (арифметических) доказательств теоремы Ферма не существует. Найденное Ферма доказательство было "чудесным", но оно не было арифметическим и не включало лишь операции сложения/умножения/возведения в степень. Об этом Ферма ничего не сообщал.

Дорогой age, для "простого" доказательства не хватает последнего звена - Леммы:

Для взаимнопростых и не кратных простому $n$ натуральных чисел $a, b, a-b$

числа $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}$ являются взимнопростыми.

При наличии этой леммы число $q-p$ делится не только на $a-b$, но и на $A-B$, что С ПОЛНОЙ ОЧЕВИДНОСТЬЮ невозможно.

[anwior]

victor_sorokin
Браво! Так держать!

Наводишь численный пример, чтобы убедить нас в верности
соотношения 8), однако не замечаешь (или не желаешь замечать),
что убедил в обратном.

Теперь проверяй своим точным количественным глазомером:
у тебя в предпоследней строке расчетов

$a-b=2,29901$

в последней строке твоих расчетов

$q-p=5,7096$

В общем --- будь здоров! Не кашляй!
Выпей чаю за успех безнадежного дела!

[victor_sorokin]

anwior в сообщении #236664 писал(а):

Теперь проверяй своим точным количественным глазомером:
у тебя в предпоследней строке расчетов

$a-b=2,29901$

в последней строке твоих расчетов

$q-p=5,7096$

В общем --- будь здоров! Не кашляй!

Перед тем, как поститься, не мешало бы, братан, прочесть самую последнюю фразу:

"число $q-p (=5,7)$ делится не только на $a-b$, но и на $A-B (=61)$".

Так что "будь здоров! Не кашляй!"

-- Пт авг 21, 2009 12:03:16 --

victor_sorokin в сообщении #236653 писал(а):

Для взаимнопростых и не кратных простому $n$ натуральных чисел $a, b, a-b$

числа $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}$ являются взимнопростыми.

Годится и такая формулировка Леммы:
Для взаимнопростых и не кратных простому $n$ натуральных чисел $a, b, a-b$

числа $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}$ и $\frac{(a-1)^n-(b-1)^n}{a-b}$ являются взимнопростыми.

[age]

victor_sorokin
$\dfrac{4^5-3^5}{4-3}=11\cdot71$
$\dfrac{5^5-4^5}{5-4}=11\cdot191$
$\dfrac{7^5-6^5}{7-6}=11\cdot821$


-- Сб авг 22, 2009 20:35:35 --

Хотите понять теорему Ферма?
Решите следующую задачку:
Всем известна формула Пифагоровых троек:
$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2$.
Докажите, что нельзя найти никакого другого решения, которое не описывалось бы этой формулой. Или же приведите такое решение!

[victor_sorokin]

age в сообщении #237068 писал(а):

victor_sorokin
$\dfrac{4^5-3^5}{4-3}=11\cdot71$
$\dfrac{5^5-4^5}{5-4}=11\cdot191$
$\dfrac{7^5-6^5}{7-6}=11\cdot821$

- Спасибо за полезный пример, который, к счастью, не отрезает путь к доказательству ВТФ, ибо оказалось, что при первой формулировке леммы я упустил – из желания упростить – два условия:
число $c-d>2$, ибо делится на $n$, и, кроме того, $c^n-d^n$ делится на $a^n-b^n$. Однако в упрощении леммы пока нет необходимости – предполагаемый инструмент работает и без упрощения. И если я вышел на доказательство самого П.Ферма, то лемма должна доказываться с помощью… линейных диофантовых уранений, в крайнем случае – с помощью теории Диофанта, изложенной им в четвертой книге его «Арифметики». Начало доказательства я приведу при первой возможности.

age в сообщении #237068 писал(а):

Хотите понять теорему Ферма?
Решите следующую задачку:
Всем известна формула Пифагоровых троек:
$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2$.
Докажите, что нельзя найти никакого другого решения, которое не описывалось бы этой формулой.

Это проще сделать, если иметь под руками доказательство формулы.
А суть ВТФ я определил бы так. Если под производной понимать изменение системы от возмущения, то по первым двум производным равенство Ферма ничем не отличается от равенства $a+b=c$.

[Коровьев]

victor_sorokin в сообщении #237227 писал(а):

И если я вышел на доказательство самого П.Ферма, то лемма должна доказываться с помощью… линейных диофантовых уранений, в крайнем случае – с помощью теории Диофанта, изложенной им в четвертой книге его «Арифметики». Начало доказательства я приведу при первой возможности.

С "леммой" всё ясно. Контрпримеры вам даны в соответствующей теме. Не ясно, как с таким багажом знаний вы собираетесь осилить Диафанта и на кой сей багаж вам нужен. Есть современные, доступные даже школьникам, книги по теории чисел. Почитайте хоть одну, не говорю уж изучить, и, может, поймёте, что доказывать БТФ такими сверхпримитивными методами, всё равно, что искать чёрную кошку в тёмной комнате, когда её там нет.
(Прости меня Крнфуций, что применил сие изречение к такой мелочи.)

[age]

victor_sorokin
Теорема Ферма родилась после того как ее автор просматривал именно эту формулу.

-- Пн авг 24, 2009 02:17:52 --

victor_sorokin в сообщении #237227 писал(а):

И если я вышел на доказательство самого П.Ферма, то лемма должна доказываться с помощью… линейных диофантовых уранений, в крайнем случае – с помощью теории Диофанта, изложенной им в четвертой книге его «Арифметики». Начало доказательства я приведу при первой возможности.

Сколько у вас энергии! Я поражаюсь. Вот бы ее в полезное русло.

[victor_sorokin]

age в сообщении #237397 писал(а):

victor_sorokin
Теорема Ферма родилась после того как ее автор просматривал именно эту формулу.

-- Пн авг 24, 2009 02:17:52 --

victor_sorokin в сообщении #237227 писал(а):

...Начало доказательства я приведу при первой возможности.

Сколько у вас энергии! Я поражаюсь. Вот бы ее в полезное русло.

Размышления над ВТФ - не самый худший вид времяпрепровождения. Если не зацикливаться, то ВТФ спасает от сумасшествия от бессмыслицы жизни.

Если П.Ферма действительно нашел доказательство Тоеремы, то оно не заумное, а неожиданное - использующее инструмент, лежащий не под фонарем.

Полезная энергия никому не нужна, так что приходится удовлетворяться бесполезной.

Пока на очереди еще одна идея есть. А там посмотрим...

С уважением и наилучшими пожеланиями,

В.С.

[age]

victor_sorokin в сообщении #237579 писал(а):

Если П.Ферма действительно нашел доказательство Тоеремы, то оно не заумное, а неожиданное - использующее инструмент, лежащий не под фонарем.

Я поспорю. Помните доказательство Малой теоремы? Вы видели хоть раз в жизни нечто более восхитительное?

[victor_sorokin]

age в сообщении #237599 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #237579 писал(а):

Если П.Ферма действительно нашел доказательство Тоеремы, то оно не заумное, а неожиданное - использующее инструмент, лежащий не под фонарем.

Я поспорю. Помните доказательство Малой теоремы? Вы видели хоть раз в жизни нечто более восхитительное?

Этих доказательств как-будто восемь. Я доходил до всего сам. И моё (разумеется, "велосипед") было основано на биноме Ньютона. Оно весьма примитивно.
Я мало встречал красивых доказательств...

-- Вт авг 25, 2009 00:37:45 --

...как и любых решений вообще. Об очень красивых решениях я написал и опубликовал ряд заметок.

-- Вт авг 25, 2009 00:50:03 --

Вот пусть и неверная ("бред"!), но красивая идея доказательства ВТФ:
Если совокупность трех чисел a+b, c-b, c-a рассматривать как независимую систему векторов, то, согласно теореме о линейно независимой системе векторов, их линейная комбинация (a+b)R-(c-b)P-(c-a)Q может быть равной нулю лишь в одном случае: R=P=Q=0...