Гипотеза Гольдбаха

[age]

ILYA_First в сообщении #211899 писал(а):

Коллеги, меня давно мучает такой вопрос. Каким образом из разрешения гипотезы Римана будет следовать доказательство проблемы Гольдбаха?
Может у кого-то есть ссылка на инфу по данной теме...
Буду очень признателен!

Например, таким. Пусть количество простых чисел в ряду от $1$ до $x$ равно $\dfrac{x}{ln(x)}$. Тогда среднее расстояние между двумя простыми числами в окрестностях $x$ будет $ln(x)$. Причем это справедливо для любых простых чисел.
Возьмем некоторое четное число $P$. Тогда в соответствии с гипотезой Римана, число простых, не превышающих $P$ составит $\dfrac{P}{ln(P)}$, а среднее расстояние между простыми в окрестности $P$ будет $ln(P)$.
Но тогда количество всех возможных представлений данного четного числа простыми числами $\dfrac{P^2}{ln^2(P)}$ значительно превышает расстояния $ln(P)$ между любыми простыми числами в ряду от $1$ др $P$.
Что также говорит о том, что количество представлений четного числа двумя простыми по мере роста числовой оси возрастает.

Так, число $100$ имеет $6$ представлений, $98 - 4, 96 - 7, 94 - 5, 92 - 4, 90 - 10, 86 - 5$.
А число $1000$ - аж $28$ представлений.

-- Пт авг 14, 2009 00:46:54 --

В принципе, величина $ln(x)$ - расстояния между простыми числами в окрестности некоторого числа $x$ - величина средняя. Но можно оценить и точную величину такого расстояния, которой не может превосходить данная величина. Т.е. ввести функцию $M(x)$ - максимального расстояния между двумя простыми числами в ряду от $1$ до $x$. Если даже она превзойдет $2ln(x)$ то все равно для данного максимального "окна" каждое входящее четное число будет представимо какими-то двумя простыми. К сожалению $M(x)$ не определяется однозначно. Для простых чисел $3271$ и $3299$ окно составляет $28$, а $ln(x)=8,1$. Т.е. $28>3ln(3299)$.

Интересная задача: найти такое четное число $P>1000$, которое имеет меньше $8$ представлений двумя простыми.

[tolstopuz]

age в сообщении #234948 писал(а):

Интересная задача: найти такое четное число $P>1000$, которое имеет меньше $8$ представлений двумя простыми.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Goldbach-1000000.png

[Droog_Andrey]

age в сообщении #234948 писал(а):

К сожалению $M(x)$ не определяется однозначно.

Есть гипотеза, что $\forall \varepsilon>0: M(x) = o[\ln^{2+\varepsilon}x]$. См. также
http://users.cybercity.dk/~dsl522332/ma ... gaps20.htm
http://www.ieeta.pt/~tos/gaps.html
http://www.trnicely.net

age в сообщении #234948 писал(а):

Интересная задача: найти такое четное число $P>1000$, которое имеет меньше $8$ представлений двумя простыми.

http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html

[Батороев]

age в сообщении #234948 писал(а):

Интересная задача: найти такое четное число $P>1000$, которое имеет меньше $8$ представлений двумя простыми.

Попробую робко предположить, что таких чисел нет...
т.к. они могли бы идти вразрез с моими наработками в соседней теме.

[age]

tolstopuz, Droog_Andrey
Спасибо. Интересные материалы.

Батороев
Ну да. Всякая интересная задача имеет подвох.
А это значит, что хотя бы одно представление уж точно найдется наверняка. Количество представлений гарантированно увеличивается, и вопрос решения проблемы Гольдбаха лишь в недостаточном понимании нами простых чисел и как следствие - невозможности формализации строгого доказательства. Хотя интуитивно она очевидна абсолютно.

[Батороев]

age
Задача может быть задачей, если она имеет решение или хотя бы сформулирована как-то иначе, типа:
"Докажите, что среди чисел, больших 1000, есть такое-то-такое число или опровергните", а просить "найти черную кошку в темной комнате, в которой ее нет", это на мой взгляд, неинтересно.
Если все же такое число существует, озвучьте его.
Тогда я "сдам в архив" мои выкладки.

Как мне представляется, наименьшее число пар простых, в сумме дающих некоторое четное число, может быть у чисел вида $2P$, где $P$ - простое число.
Для четных чисел, превышающих 1000, в создании составных чисел могут участвовать только простые числа, непревышающие $ 31\leq \sqrt {1000} $.
Поэтому наименьшее число пар простых, которые в сумме дают четное число $> 1000$, с небольшой погрешностью, согласно моим выкладкам можно рассчитать по формуле:
$ 1000\cdot \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1 \cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 9\cdot 11 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 21 \cdot 27 \cdot 29}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\cdot 13 \cdot 17\cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31} = $ $ =1000\cdot \dfrac{9 \cdot 15 \cdot 21 \cdot 27}{4 \cdot7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 31}=15, 5 $.

В этом расчете не учитываются пары, в которых могли бы дополнительно участвовать сами простые, непревышающие $31$.
Под словами "с небольшой погрешностью" я подразумеваю погрешность в пределах $1$%, но никак не $50$%.
Т.е. я утверждаю, что для чисел, превышающих 1000, меньше $15$ вариантов представлений быть не может.

[age]

Батороев
Еще как интересно! Проблема Гольдбаха ставит вопрос еще уже: не существует такого четного числа вообще, которое не имеет даже всего одного представления! Я же в своей задаче ограничился четными числами, большими $1000$ и имеющими 8 различных представлений.
Решения к сожалению дать не могу, но из изложенных выше ссылок полностью следует, что предложенная мной задача эквивалентна проблеме Гольдбаха. Смысл ее постановки в том, что ряд количества представлений расходится. Чем больше $x$, тем больше способов представления. Поэтому проблема Гольдбаха представляет собой тривиальный случай, к сожалению с нашими знаниями о простых числах недоказуемый.
Я тоже не могу привнести ничего нового в решение данной проблемы, кроме того что было изложено выше. Необходимо повышать общую грамотность населения в области простых чисел!

[Droog_Andrey]

Народ, а давайте может про Гольдбаха не в этой теме..?

[Бодигрим]

age в сообщении #234948 писал(а):

Возьмем некоторое четное число $P$. Тогда в соответствии с гипотезой Римана, число простых, не превышающих $P$ составит $P\over\ln P$, а среднее расстояние между простыми в окрестности $P$ будет $\ln P$.

Это прекрасно. Только неправильно.

Из гипотезы Римана не следует, что число не превышающих $P$ простых (обозначим его через $\pi(P)$) составит точно $P\over\ln P$ (иначе гипотезу Римана можно было бы легко проверить и убедиться, что она не верна). Вы забыли указать асимптотическую погрешность формулы. На самом деле и без гипотезы Римана известно, что $\pi(P) \asymp {P\over\ln P}$ при $P\to\infty$. Гипотеза Римана позволяет лишь уточнить степень уклонения $\pi(P)$ от указанной асимптотики. Однако для ваших дальнейших рассуждений эти уточнения не нужны.

Да, а что такое "простые в окрестности $P$"?

age в сообщении #234948 писал(а):

Но тогда количество всех возможных представлений данного четного числа простыми числами $P^2\over \ln^2 P$ значительно превышает расстояния $\ln P $ между любыми простыми числами в ряду от 1 до $P$.

Вы забыли главное слово - "в среднем". Поэтому ваше рассуждение никоим образом не помогает доказать, что для некоторого конкретного числа представлений в виде суммы двух простых больше ноля.

[age]

Бодигрим в сообщении #235262 писал(а):

Это прекрасно. Только неправильно.

Из гипотезы Римана не следует, что число не превышающих $P$ простых (обозначим его через $\pi(P)$) составит точно $P\over\ln P$ (иначе гипотезу Римана можно было бы легко проверить и убедиться, что она не верна). Вы забыли указать асимптотическую погрешность формулы. На самом деле и без гипотезы Римана известно, что $\pi(P) \asymp {P\over\ln P}$ при $P\to\infty$. Гипотеза Римана позволяет лишь уточнить степень уклонения $\pi(P)$ от указанной асимптотики. Однако для ваших дальнейших рассуждений эти уточнения не нужны.

Ну и что? К чему вы это написали?

-- Сб авг 15, 2009 12:23:35 --

Бодигрим в сообщении #235262 писал(а):

Поэтому ваше рассуждение никоим образом не помогает доказать, что для некоторого конкретного числа представлений все равно может быть ноль.

Какого?

[Бодигрим]

age в сообщении #235272 писал(а):

Ну и что? К чему вы это написали?

Там в первой же строке указано к чему. К тому, что вы включили в свое сообщение ряд неправильных/неточных положений, факт неправильности/неточности которых я далее по сообщению поясняю.

age в сообщении #235272 писал(а):

Бодигрим в сообщении #235262 писал(а):

Поэтому ваше рассуждение никоим образом не помогает доказать, что для некоторого конкретного числа представлений все равно может быть ноль.

Какого?

Любого данного. Ваше рассуждение не является доказательством представимости в виде суммы двух простых какого-либо наперед заданного четного числа.

Если излагать фольклорно, то ваше рассуждение лишь доказывает, что количество таких представлений "в среднем по больнице" больше 1. Но это никак не помогает доказать, что в нашей больнице все живы - может там кто-то с 42 градусами в горячке мечется, а кто-то уже в холодильнике лежит.

[age]

Бодигрим в сообщении #235432 писал(а):

Там в первой же строке указано к чему. К тому, что вы включили в свое сообщение ряд неправильных/неточных положений, факт неправильности/неточности которых я далее по сообщению поясняю.

С какой целью поясняете?

Бодигрим в сообщении #235432 писал(а):

Любого данного. Ваше рассуждение не является доказательством представимости в виде суммы двух простых какого-либо наперед заданного четного числа.

Если излагать фольклорно, то ваше рассуждение лишь доказывает, что количество таких представлений "в среднем по больнице" больше 1. Но это никак не помогает доказать, что в нашей больнице все живы - может там кто-то с 42 градусами в горячке мечется, а кто-то уже в холодильнике лежит.

Нет, вы не поняли. Оно доказывает не это. А что количество таких представлений неуклонно растет. Будьте так любезны, дайте ответ на задачку:

найти такое четное число $P>1000$, которое имеет меньше $8$ представлений двумя простыми.

Если вы считаете, что действительно существует четное число, большое четырех, которое имеет всего одно представление. Приведите это число.

[Rasulka]

Цитата:

Если вы считаете, что действительно существует четное число, большое четырех, которое имеет всего одно представление. Приведите это число.

Вопрос адресован не ко мне, но ответ, вроде бы, прост. Это число 6, которое имеет только одно представление 3+3. (если, конечно, вы считаете это за 1 представление )
Кстати, 12 тоже подходит.

[age]

Rasulka
$3+3$
$5+1$
$7+5$
$11+1$

[Бодигрим]

age в сообщении #235439 писал(а):

Вас кто-то просил пояснять? Какой вы вообще смысл вложили в это пояснение? С какой целью? С целью разжигания флейма на форуме? Или такой специалист? Жаль что нельзя объяснить лично.

Что касается первого вопроса, то отвечаю: нет, никто не просил. У меня как-то не срослось с манией величия: я часто пишу сообщения без особой просьбы, выраженной предварительно в письменной форме и подкрепленной дензнаками. Тщу себя надеждой, что я на этом форуме не один такой.

Что касается дальнейших вопросов - я повторю еще раз: с целью пояснения ваших ошибок. Смысл разбора ошибок, если это неочевидно, вообще говоря, заключается в том, чтобы их не повторяли и не делали дальнейших неправильных выводов.

age в сообщении #235439 писал(а):

Нет, вы не поняли. Оно доказывает не это. А что количество таких представлений неуклонно растет.

Отчего же не понял? Понял. Да простится мне такой аргумент: об этом даже в Википедии написано. Без ошибок.

Но вы-то утверждали, что ваше рассуждение доказывает гипотезу Гольдбаха. Действительно, вот

ILYA_First в сообщении #211899 писал(а):

Коллеги, меня давно мучает такой вопрос. Каким образом из разрешения гипотезы Римана будет следовать доказательство проблемы Гольдбаха?
Может у кого-то есть ссылка на инфу по данной теме...
Буду очень признателен! :)

и далее вы, цитируя его, начинаете свое сообщение следующим образом

age в сообщении #234948 писал(а):

Например, таким.

Согласование падежных форм говорит нам о том, что дальнейший текст следует подразумевать доказательством проблемы Гольдбаха при условии гипотезы Римана.

age в сообщении #235439 писал(а):

Будьте так любезны, дайте ответ на задачку:найти такое четное число $P>1000$, которое имеет меньше 8 представлений двумя простыми. Если вы считаете, что действительно существует четное число, большое четырех, которое имеет всего одно представление. Приведите это число.Так что насчет "любого данного" пожалуйста возьмите свои слова назад. А вообще-то слова назад мужики не берут. Отвечайте за свои слова. Приводите четное число "любое данное", которое не имеет таких представлений.

Не стоит передергивать мои слова. Я не утверждал, что искомое вами число существует. Но я утверждал, что его несуществование не следует из приведенной вами оценки в среднем.

Далее, после того, как Rasulka привел пример четного числа, большего 4, имеющего ровно одно представление, вы предъявили по два "представления" для 6 и 12:

age в сообщении #235446 писал(а):

$3+3$
$5+1$
$7+5$
$11+1$ :D

Вас не смущает тот факт, что 1 - не простое число?