Гипотеза Гольдбаха

[Rasulka]

Цитата:

Вас не смущает тот факт, что 1 - не простое число?

Вот и я хотел это спросить. Хотя есть математики, которые считают 1 простым числом

[age]

Бодигрим
Я бы охотно с вами поговорил о мании величия, но пожалуйста. В ваших комментариях никто не нуждается.
Это раз.
Во-вторых, слова никто не передергивает. Было написано конкретно "любое данное". Предоставьте.

Бодигрим в сообщении #235449 писал(а):

Вас не смущает тот факт, что 1 - не простое число?

Не смущает. 1 - это простое число.

Rasulka
.

[Бодигрим]

age в сообщении #235452 писал(а):

В ваших комментариях никто не нуждается. Тем более глупых и бессмысленных.

Ах, поберегите себя, не взваливайте чрезмерной ноши - оставьте заботу оценивать мои сообщения модераторам. Ибо только они имеют хоть какое-то право употреблять формулировки вроде "никто не нуждается". Или вы во втором часу ночи быстренько опросили всех участников форума и получили от них ответы? Право, не стоило так напрягаться ради моей скромной персоны.

age в сообщении #235452 писал(а):

Во-вторых, слова никто не передергивает. Было написано конкретно "любое данное". Предоставьте.

Я думал, что вы сами сможете перечитать соответствующие сообщения и не решился загромождать форум излишними цитатами. Ладно, поехали.

Я (сообщение #235262): "Поэтому ваше рассуждение никоим образом не помогает доказать, что для некоторого конкретного числа представлений все равно может быть ноль".
Вы (сообщение #235272): "Какого?"
Снова я (сообщение #235432): "Любого данного. Ваше рассуждение не является доказательством представимости в виде суммы двух простых какого-либо наперед заданного четного числа".

Где я здесь обещаю предоставить четное число, большее 1000 и имеющее менее 8 представлений? Или большее 4 и имеющее ровно 1 представление? Я вообще ничего здесь не говорю о существовании или несуществовании подобных чисел. Я лишь утверждаю, что ваше рассуждение не применимо к разрешению вопроса существования или несуществования таких чисел. Почему оно не применимо нужно повторить еще раз подробнее или вам ясно, почему в данном случае из оценок в среднем не следует индивидуальных фактов?

age в сообщении #235452 писал(а):

Цитата:

Смысл разбора ошибок, если это неочевидно, вообще говоря, заключается в том, чтобы их не повторяли и не делали дальнейших неправильных выводов.

Это какие же я неправильные выводы сделал? Вот если окажется, что все выводы сделал правильно, то это будет чистый флейм. Я буду вынужден обратить на это внимание.

Прочитайте мое сообщение, пожалуйста, внимательнее. Вы (вероятно - с удивлением) обнаружите вставную конструкцию "вообще говоря". Напомню, перед этим сообщением вы интересовались, с какой целью я поясняю ваши ошибки. Ну я и изложил вам свое видение функции пояснения ошибок в абстрактной формулировке.

Впрочем, вы ведь все равно уже стерли этот фрагмент вашего сообщения (как и многие места в предыдущих сообщениях)?

[age]

Droog_Andrey
Какими глупостями???

-- Вс авг 16, 2009 11:55:37 --

Бодигрим

Цитата:

Я (сообщение #235262): "Поэтому ваше рассуждение никоим образом не помогает доказать, что для некоторого конкретного числа представлений все равно может быть ноль".
Вы (сообщение #235272): "Какого?"
Снова я (сообщение #235432): "Любого данного. Ваше рассуждение не является доказательством представимости в виде суммы двух простых какого-либо наперед заданного четного числа".

Где я здесь обещаю предоставить четное число, большее 1000 и имеющее менее 8 представлений? Или большее 4 и имеющее ровно 1 представление? Я вообще ничего здесь не говорю о существовании или несуществовании подобных чисел. Я лишь утверждаю, что ваше рассуждение не применимо к разрешению вопроса существования или несуществования таких чисел. Почему оно не применимо нужно повторить еще раз подробнее или вам ясно, почему в данном случае из оценок в среднем не следует индивидуальных фактов?

Мой вопрос "Какого?" относился не к возможности доказательства, а к поиску числа, количество представлений которого может быть ноль.

-- Вс авг 16, 2009 12:04:43 --

Бодигрим
Да стер. Потому что вступать с вами в перебранку бессмысленно.

[Батороев]

age в сообщении #235517 писал(а):

Мой вопрос "Какого?" относился не к возможности доказательства, а к поиску числа, количество представлений которого может быть ноль.

Только начинайте поиск такого числа сразу с $ 15\cdot {10^{17}}$.


-- Вс авг 16, 2009 16:30:05 --

age в сообщении #235165 писал(а):

Батороев
Еще как интересно! Проблема Гольдбаха ставит вопрос еще уже: не существует такого четного числа вообще, которое не имеет даже всего одного представления! Я же в своей задаче ограничился четными числами, большими $1000$ и имеющими 8 различных представлений.

Я выиграл - у меня больше :
"Найдите четное число, превосходящее $1000$ и имеющее менее $15$ различных представлений".

[Someone]

http://primes.utm.edu/ писал(а):

An integer greater than one is prime if its only positive divisors are itself and one (otherwise it is composite).

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number писал(а):

A natural number is called a prime, a prime number or just prime if it has exactly two distinct divisors.

...

The crucial importance of prime numbers to number theory and mathematics in general stems from the fundamental theorem of arithmetic which states that every positive integer larger than $1$ can be written as a product of one or more primes in a way which is unique except possibly for the order of the prime factors.

...

Primality of one

The importance of this theorem is one of the reasons for the exclusion of $1$ from the set of prime numbers. If $1$ were admitted as a prime, the precise statement of the theorem would require additional qualifications, since $3$ could then be decomposed in different ways

$$3=1\cdot 3\text{ and }3=1\cdot 1\cdot 1\cdot 3=1^3\cdot 3\text{.}$$

Until the 19th century, most mathematicians considered the number $1$ a prime, the definition being just that a prime is divisible only by $1$ and itself but not requiring a specific number of distinct divisors. There is still a large body of mathematical work that is valid despite labeling $1$ a prime, such as the work of Stern and Zeisel. Derrick Norman Lehmer's list of primes up to $10,006,721$, reprinted as late as $1956$, started with $1$ as its first prime. Henri Lebesgue is said to be the last professional mathematician to call $1$ prime. The change in label occurred so that the fundamental theorem of arithmetic, as stated, is valid, i.e., “each number has a unique factorization into primes.” Furthermore, the prime numbers have several properties that the number $1$ lacks, such as the relationship of the number to its corresponding value of Euler's totient function or the sum of divisors function.

[age]

Someone
Спасибо! Кое-что прояснили.

Батороев в сообщении #235559 писал(а):

"Найдите четное число, превосходящее $1000$ и имеющее менее $15$ различных представлений".

Число $992$ имеет $14$ представлений, включая $991+1$. К сожалению $992<1000$.
Следующим интересным числом является $1112$ - $16$ представлений. Дальше в пределах $100000$ интересных чисел нет, т.к. почти все они имеют не меньше $18$ представлений.
Кстати, свыше $50000$ минимальное число представлений $100$.

[age]

Батороев в сообщении #235096 писал(а):

Поэтому наименьшее число пар простых, которые в сумме дают четное число $> 1000$, с небольшой погрешностью, согласно моим выкладкам можно рассчитать по формуле:
$ 1000\cdot \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1 \cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 9\cdot 11 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 21 \cdot 27 \cdot 29}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\cdot 13 \cdot 17\cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31} = $ $ =1000\cdot \dfrac{9 \cdot 15 \cdot 21 \cdot 27}{4 \cdot7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 31}=15, 5 $.

Кстати, хорошая формула.

$$k_{min}=\dfrac N2\prod\limits_{p<\sqrt{N}}{\left(\dfrac{p-2}{p}\right)}$$

Я проверил ее для всех четных, меньших тысячи. Почти для всех очень хорошие приближения к минимуму разложений. Например, для числа $512$ ваша формула дает $10$ разложений. Реально же $11$.
Как вы ее получили?
2. Не проще ли использоваться формулу $k_{min}\sim\dfrac{\sqrt{N}}{2}$?

[Droog_Andrey]

Вообще-то ссылку на эту формулу я давал в самом начале:
http://ieeta.pt/~tos/goldbach.html

Там и ссылка есть:
G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Some problems of `partitio numerorum'; III: on the expression of a number as a sum of primes, Acta Mathematica, vol. 44, pp. 1-70, 1922.

[Батороев]

age в сообщении #236043 писал(а):

Кстати, хорошая формула.

$$k_{min}=\dfrac N2\prod\limits_{p<\sqrt{N}}{\left(\dfrac{p-2}{p}\right)}$$

Как вы ее получили?

Droog_Andrey в сообщении #236174 писал(а):

Вообще-то ссылку на эту формулу я давал в самом начале:
http://ieeta.pt/~tos/goldbach.html

Там и ссылка есть:
G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Some problems of `partitio numerorum'; III: on the expression of a number as a sum of primes, Acta Mathematica, vol. 44, pp. 1-70, 1922.

Я по-англицки читать так и не научился, поэтому приходится все самому придумывать.

В ссылке Droog_Andrey'я что-то не нашел такой же формулы (может, просто не узнал?).

age в сообщении #236043 писал(а):

2. Не проще ли использоваться формулу $k_{min}\sim\dfrac{\sqrt{N}}{2}$?

Если Вы подставите в мою формулу все последовательные нечетные числа, включая и составные (а не только простые, как у меня), то получите свой вариант. Но эти варианты различаются.

[valent voron]

Батороев
Интересную формулу вы предлагаете для определения минимального числа представлений.
В общем виде ее можно записать:
$Nf >=0,5d\prod\frac{p-2}p}$ (при р=2 П=0,5)
где d - четное число,
р - простое число, определяемое по формуле $p <=\sqrtd$
На какой теоретической базе найдена эта формула?
Эта формула не учитывает неравномерность числа представлений. Здесь не хватает коэффициента А, кторый это учитывает. Ваше замечание, что наименьшее число пар у чисел
вида 2р не совсем точно. Минимальное число представлений у чисел вида $2^n$, т.е. А=1.
Наибольшее число пар у чисел вида $\prodp=2*3*5*....p$/
Коэффициент А можно найти по формуле:
$A=\prod\frac{p-1}{p-2}$
где р - простые делители числа d (степень не учитывается), при р=2 А=1

[vorvalm]

Батороев
Определение числа р в вашей функции довольно сомнительно. Сомножители числа N могут
быть больше $\sqrt{N}$. Предложите более внятное объяснение.

[Батороев]

Нет составных чисел $N$ таких, меньшие простые множители которых были бы больше $\sqrt N$. Если мы проверили делимость чисел до $N$ на эти меньшие множители, то таким образом выявили все составные числа в этом диапазоне.

[vorvalm]

Батороев
Вы путаете проверку числа N на простоту, где, действительно, надо проверять
до $p <\sqrt{N}$, c представлением составного числа двумя сомножителями.
Если один из них $<\sqrt{N}$, то другой $>\sqrt{N}$

[Батороев]

vorvalm
Ответьте мне, бывают составные числа, не превышающие $N$, не содержащие простые множители, не превышающие $\sqrt N$?
И мы с Вами решим, кто из нас и что путает.