Ну почему, как только возникает конкретная интересная тема - вас сразу тянет в филисофию и "потрепаться"? Две страницы флуда и только два -три поста по теме.
По теме.
Мне кажется, что подход к изложению зависит о количества часов. На специальности ИС (Инф. системы) есть предмет Алгебра и геометрия (3 кредита - 2 лекции и 1 практическое). Там просто гонка. Я даю определение определителя 2х2 и доказываю его свойства: о поведении его при транспонировании, перестановке строк (столбцов), умножении строки на число, разложение в сумму и критерий равенства нулю. Причём, в последнем, обращаю внимание на частные случаи, когда строчки (столбцы) равны и когда один нулевой. Доказательства - руками. Потом говорю о линейной комбинации строк и ввожу понятие алгебраического дополнения. И ввожу определение через разложение по первой строке. Потом идут свойства. Свойство, что можно разлагать по любой строке (столбцу) приходится давать без доказательства, но на примерах иллюстрирую. А половинку критерия равенства нулю обещаю доказать позже, в главе векторные пространства. А остальные свойства иллюстрирую на примере 3х3.
С мотивацией важности этой конструкции, обычно. проблем не возникает. Говорю, что встречается там, там, там и т.д. Просто, потом, в течение всего курса постоянно обращаю на это внимание. Убедился, что считают определители нормально (с арифметикой, правда, есть проблемы
)
Да, забыл. Трачу полторы - две лекции. На практике, приходится давать индивидуальные задания.
Ещё мне кажется. что прежде, чем думать о подходе в излжении, надо понять что мы хотим, чтобы они умели с этим делать.
равен единице. Второе --- при перемене мест столбцов меняется знак. Третье --- определитель линеен относительно операций над отдельными столбцами (надеюсь понятно, что я имею в виду). Потом из этих трёх фактов выводятся основные свойства определителей, и для пущего запоминания приводится интерпретация определителя как "ориентированного" объёма.
, он (школьник) ответил, что 
, ибо сложение коммутативно. Раз Винберг в курсе алгебры даёт определение определителя аксиоматически, то если это было бы методически неправильно, то его бы поправили. Всё-таки это университетский курс. Пусть студенты привыкают к аксиоматике.
И ещё после анализа был курс дифур (2 кредита) А теперь всё "лишнее" убрали, а оставили только 3 кредита на АиГ и 3 кредита на Мат.Ан. Я в шоке. 
Посчитал по определению, разложив по первой строке. Потом транспонировал, посчитал - тот же результат. Потом разложил по другой строке - опять тот же. Потом получил в столбце три нолика - опять разложил. Ну и к треугольному виду привёл.